正态总体均值方差的区间估计

四.区间估计譬如，在估计湖中鱼数的问题中，若我们根据一个实际样本，得到鱼数的极大似然估计为1000条.12ˆˆ{}1P[]湖中鱼数的真值1ˆ2ˆ1.区间估计定义：12ˆˆ{}1P),,,,(ˆˆ2111nXXX),,,(ˆˆ2122nXXX)ˆˆ(21满足设是一个待估参数，给定,0若由样本X1,X2,…Xn确定的两个统计量则称区间是的置信水平（置信度、置信概率）为的置信区间.]ˆ,ˆ[21121ˆˆ和分别称为置信下限和置信上限.2.估计的精度要尽可能的高.如要求区间12ˆˆ长度尽可能短，或能体现该要求的其它准则.]ˆ,ˆ[211.要求以很大的可能被包含在区间}ˆˆ{21P内，就是说，概率要尽可能大.即要求估计尽量可靠.可靠度与精度是一对矛盾，一般是在保证可靠度的条件下尽可能提高精度两个要求：1.选取未知参数的某个估计量，ˆ2.寻找置信区间的方法ˆ{||}1P使得2.根据置信水平，找一个正数，1误差限.ˆˆ3.由不等式ˆ||可以解出：~N(0,1)选的点估计为X求参数的置信水平为的置信区间.例1设X1,…Xn是取自的样本，,2已知),(2N1XZn取明确问题,是求什么参数的置信区间?置信水平是多少？寻找未知参数的一个良好估计.解：寻找一个待估参数和估计量的函数，要求其分布为已知.有了分布，就可以求出U取值于任意区间的概率.,1对给定的置信水平查正态分布表得2,Z对于给定的置信水平(大概率),根据U的分布，确定一个区间,使得U取值于该区间的概率为置信水平.2{||}1XPZn使α/2α/2Xφ(x)1-αzα/2-zα/2]21)([2z22{}1PXZXZnn从中解得2{||}1XPZn由于是所求的置信区间为22(,)XZXZnn置信区间不是唯一的.对于同一个置信度,可以有不同的置信区间.置信度相同时,当然置信区间越短越好.一般来说,置信区间取成概率对称区间.注意从例1解题的过程，我们归纳出求置信区间的一般步骤如下:1.明确问题,是求什么参数的置信区间?置信水平是多少?12.寻找参数的一个良好的点估计T(X1,X2,…Xn)称S(T,)为枢轴量.3.寻找一个待估参数和估计量T的函数S(T,),且其分布为已知.只能含有待估参数4.对于给定的置信水平，根据S(T,)的分布，确定常数a,b，使得11P(aS(T,)b)=5.对“a≤S(T,)≤b”作等价变形,得到如下形式:12ˆˆ{}1P12ˆˆ(,)1则就是的100()％的置信区间.一、单个总体的情况二、两个总体的情况第五节正态总体均值与方差的区间估计1.均值的置信区间2.方差的置信区间1.两个总体均值差的置信区间2.两个总体方差比的置信区间设总体X~N(μ,σ2),X1,X2,…,Xn为一组样本，(1)σ2已知,求μ的置信度为1-α置信区间一、单个正态总体数学期望的区间估计)1,0(N~nXZ/①从点估计着手构造枢轴量:③μ的1-α置信区间:),(22nzXnzX②构造Z的一个1-α区间:2{||}1XPZn(2)σ2未知,求μ的置信度为1-α置信区间①从点估计着手构造枢轴变量:nSXT/)1n(t~)1n(t2/②构造T的一个1-α区间:1))1(|(|2/ntTP1}nS)1n(tXnS)1n(tX{P2/2/③μ的1-α置信区间:)nS)1n(tX,nS)1n(tX(2/2/Xf(x)α/2α/21-α/2(1)tn例1设正态总体的方差为1,根据取自该总体的容量为100的样本计算得到样本均值为5,求总体均值的置信度为0.95的置信区间.解已知σ2=1,α=0.05,μ的1-α置信区间：),(22nzXnzX查表：22()1,1.962zzμ的1-α置信区间:(4.804,5.196)例2有一大批糖果.现从中随机地取16袋,称得重量(单位:克)如下：506508499503504510497512514505493496506502509496假设袋装糖果的重量近似服从正态分布,求平均重量的区间估计,置信系数是0.95.解未知σ2,α=0.05,求μ的1-α置信区间:)nS)1n(tX,nS)1n(tX(2/2/μ的1-α置信区间:(500.4,507.1)查表：2(1)2.1315tn计算：503.75,6.2022xs设总体X~N(μ,σ2),X1,X2,…,Xn为一组样本，总体均值未知二、单个正态总体方差的区间估计①构造枢轴变量:22)1(SnQ)1n(~2②构造Q的一个1-α区间:1}{21QP③解不等式得到σ2的1-α置信区间:))1()1(,)1()1((2212222nSnnSnXf(x)α/2α/21-αλ1λ21-α/2)1(22n)1(221n例3投资的回收利用率常常用来衡量投资的风险.随机地调查了26个年回收利润率(%),标准差S(%).设回收利润率为正态分布,求它的方差的区间估计(置信系数为0.95).解总体均值未知,α=0.05,方差的区间估计.))1()1(,)1()1((2212222nSnnSn查表得方差的区间估计22(0.615,1.905)SS(1)σ12,σ22已知,μ1-μ2的1-α置信区间)1,0(~//)()(22212121NnnYXZ①相对μ1-μ2，构造枢轴变量:②构造Z的一个1-α区间:③概率恒等变形，得到μ1-μ2的1-α置信区间:1)(22zZzP))(,)((22212122221212nnzYXnnzYX设X~N(μ1,σ12),Y~N(μ2,σ22),从中分别抽取容量为n1,n2的样本,且两组样本独立，样本均值和样本方差分别记为.S,Y;S,X2221三、两个正态总体均值差的区间估计(2)σ12=σ22=σ2,σ2未知,μ1-μ2的1-α置信区间121212()()~(2)1/1/XYTtnnSnn①对于μ1-μ2，构造枢轴变量:②构造T的一个1-α区间:③变形得到μ1-μ2的1-α置信区间:121221212211(()(2),11()(2))XYtnnSnnXYtnnSnn1))2(|(|212nntTP例4某工厂利用两条自动化流水线罐装番茄酱,分别从两条流水线上抽取随机样本:和,计算出(克),(克),.假设这两条流水线上罐装番茄酱的重量都服从正态分布,其总体均值分别为,且有相同的总体方差.试求总体均值差的区间估计,置信系数为0.95.1221,,,XXX1721,,,YYY6.10X5.9Y7.4,4.22221SS21,21解σ12=σ22=σ2,σ2未知,μ1-μ2的0.95置信区间:121221212211(()(2),11()(2))XYtnnSnnXYtnnSnn222112212(1)(1)2nSnSSnn其中查表得122(2)2.0518tnn故μ1-μ2的0.95置信区间:(1.81,4.01)(1)对于σ12/σ22，构造枢轴变量:(2)构造F的一个1-α区间:(3)解不等式得σ12/σ22的1-α置信区间:)1,1(~//2122222121nnFSSF)1n,1n(F2121Xf(x)α/2α/2)1n,1n(F212λ1λ21-αP(λ1Fλ2)=1-α)1n,1n(F1122/)SS)1n,1n(F,SS)1n,1n(F1(22211222221212四、两个正态总体方差比σ12/σ22的1-α置信区间例5为了比较用两种不同方法生产的某种产品的寿命而进行一项试验.试验中抽选了由方法一生产的16个产品组成一随机样本,其方差为1200小时;又抽选了由方法二生产的21个产品组成另一随机样本,得出的方差为800小时.试以95%的可靠性估计两总体方差之比的置信区间.解设方法一生产的产品的寿命为方法二生产的产品的寿命为要求的置信度为95%的置信区间.Y~N(μ2,σ22),X~N(μ1,σ12),σ12/σ22查表得122122(1,1)2.57,(1,1)2.76FnnFnn)SS)1n,1n(F,SS)1n,1n(F1(22211222221212故的0.95置信区间:(0.58,4.14)2122由上述方法求得的总体均值差或总体方差比的置信区间,我们在实际中通常有下列结论:(1)若的置信区间的下限大于零,则可认为;若的置信区间的上限小于零,则可认为;若的置信区间包含零,则可认为21212121.2121(2)若的置信区间的下限大于1,则可认为若的置信区间的上限小于1,则可认为;若的置信区间包含1,则可认为σ12/σ22σ12/σ22σ12/σ22σ12σ22σ12σ22σ12=σ22.