正态总体的抽样分布

正态总体的抽样分布一、样本均值分布定理设总体是X的样本。样本均值（标准化）记为分布二、1.定义:设随机变量相互独立,都服从标准正态分布N(0,1),则称统计量：所服从的分布为自由度为n的分布.注:自由度是指*右端所含独立的随机变量的个数。分布的密度函数为来定义.通过积分其中伽玛函数2—分布的密度函数曲线000)2(21);(2122xxexnnxfxnn由分布的定义，不难得到：且X1,X2相互独立，这个性质叫分布的可加性.(2)设则2.2分布的性质222,2EnDn（）0,1,~(0,1)iiiEXDXXN证：2422()312,1,2,iiiDXEXEXin22211().nniiiiEEXEXn所以22211()2.nniiiiDDXDXn21,iEX24421()2xEXxedx23212xxde223222113322xxxeexdx应用中心极限定理可得，若则当n充分大时，)(~2nXnnX2的分布近似正态分布N(0,1).(3)对于给定的正数称满足条件的点为分位点.分布的上(4)分布的分位点P443分布表供查阅。例即对于给定的称满足条件的点为分布的“上百分位点”上侧分位点。双侧分位点。当时下侧分位点双侧分位点分布的下侧分位点。相互独立,都服从正态分布则问题设为什么？例2设总体X~N（0，0.32）,n=10,求解∵X/0.3~N（0，1），∴T的密度函数为：212)1()2(]2)1[();(nnxnnnnxf记为T～t(n).所服从的分布为自由度为n的t分布.)(2n1.定义:设X～N(0,1),Y～则称变量,且X与Y相互独立，三、t分布t(n)的概率密度为212)1()2(]2)1[();(nnxnnnnxf（1）具有自由度为n的t分布的随机变量T的当n充分大时，其图形类似于标准正态分布密度0);(nxfLimx（2）t分布的密度函数关于x=0对称，且数学期望和方差为:E(T)=0;D(T)=n/(n-2),对n2函数的图形.很大.不难看到，当n充分大时，t分布近似N(0,1)分布.但对于较小的n，t分布与N(0,1)分布相差2.性质对于给定的正数称满足条件的点为百分位点”。分布的“上例查t分布表，附表33、t分布的分位点取当时分布上侧α分位点分布下侧α分位点分布双侧α分位点t的分布的双侧α分位点为满足),(~),(~2212nYnX若X~F(n1,n2)，X的概率密度为0001))(()()()(),;(222221212112121212121xxxxnnxfnnnnnnnnnnnnn1.定义:设X与Y相互独立，则称统计量服从自由度为n1及n2的F分布，四、F分布n1称为第一自由度，n2称为第二自由度，记作F~F(n1,n2).即它的数学期望并不依赖于第一自由度n1.(2)X的数学期望为:2)(22nnXE若n22(1)由定义可见，121nXnYF~F(n2,n1)2.性质(3)F分布的分位点对于给定的正数称满足条件的点为分位点。分布的上关于F分布分位点的重要结论表中所给的都是很小的数，如0.01，0.05等当表中查不出，可由以上结论较大时，如0.95，休息片刻定理1(样本均值的分布)设X1,X2,…,Xn是取自正态总体),(2N则有),(~2nNX的样本，N取不同值时样本均值的分布X四、几个重要的抽样分布定理222(1)~(1)nSn关于的简要说明22221(1)1()niinSXX＝X从以上两式子看出，仅和不同1()0niiiXXX但是，第一个式子，自由，第二式＝无形中多了一个条件，减少了一个自由度2(1)n故为)1(~)1()1(222nSn设X1,X2,…,Xn是取自正态总体),(2N2SX和分别为样本均值和样本方差,则有.)2(2相互独立和SX的样本,N取不同值时的分布定理2(样本方差的分布)例题分析设X1,X2,…,Xn是取自正态总体的样本,分别为样本均值和样本方差,则有（与样本均值和样本方差有关的一个分布）当则由t-分布的定义：且它们独立。定理3Y~N(μ2,σ22)：Y1，Y2，…,Yn2，它们相互独立，则若X~N(μ1,σ12)：X1，X2，…,Xn1（1）4.两个正态总体定理3(两总体样本均值差的分布))2(~112)1()1()(21212122221121nntnnnnSnSnYX，，设),(~),(~2221NYNXYX和分别是这两个样本的样本且X与Y独立,X1,X2,…,1nX是取自X的样本,取自Y的样本,分别是这两个样本的样本方差,均值,2221SS和则有Y1,Y2,…,2nY是定理3(两总体样本方差比的分布))1,1(~2122222121nnFSS，设),(~),,(~222211NYNXYX和分别是这两个样本的且X与Y独立,X1,X2,…,1nX是取自X的样本,取自Y的样本,分别是这两个样本的样本方差,均值，2221SS和则有Y1,Y2,…,2nY是样本设X:X1，X2，…，Xn1.2.若X~N（0，1），则两个最常用统计量及三大分布的定义四大统计量Y~N(μ2,σ22)：Y1，Y2，…,Yn2，它们相互独立，则若X~N(μ1,σ12)：X1，X2，…,Xn1（1）（2）当σ12=σ22=σ2时，两个正态总体（3）设X1,X2,X3,X4是总体N（0，1）的样本，则：请回答：例题分析设X1,X2,X3,X4是总体例题分析1212222()/22/2YYYYZSS(2)t212YY-YZZ强调与独立，与独立2,(0,)128X,X,XN设是来自于总体的一个样本例题分析221234225678(X-X)()Y=()()XXXXXX求的分布请回答22X~N(,),,X,,()12nX,XX设总体样本来自未知则下列结论正确n222ii=1n22ii=1n22i2i=1n222i2i=11(A)S=(X-X)~(n-1)1(b)(X-X)~(n-1)1(c)(X-X)~(n-1)1(d)S=(X-X)~(n)n-1n请回答：设总体X~N（μ，σ2），X1，X2，…，X8为一个样本，则（）成立。(2)~t(7)（1）~t(8)(4)~t(8)(3)~t(7)请回答：设是来自正态总体N(μ，σ2）的样本，是样本均值，记则服从自由度为n-1的t分布的随机变量是．练习12nX||,||1()0,X,X,XX:xxfx设总体的密度函数为其他为取自的一个样本求2(1)(X),D(X)(2)E(S)E练习6221234562X~N(0,1),,Y=(X+X+X)(X+X+X)C,~12X,XXcY设总体样本令求常数使分布练习n2221X~N(0,1),,,()(A)~N(0,1)(B)n~(0,1)()~()(D)X/~(1)12NiIX,XXXSXXNCXnstn设总体样本和为样本均值和方差则成立练习2X~(),Y=X?tk设问服从什么分布并确定其参数练习X~F(,),{1}{1}0.5mmpXpX设随机变量证明练习22222222XY,(A)X+Y(B)X+Y(C)X,Y(D)X/Y设随机变量和都服从标准正态分布则服从正态分布服从分布服从分布都服从F分布练习22X~N(,),,X,(1)E(|X-|)0.1(2)P(|X-|0.1)0.9512X,XXnn设总体样本来自样本取多大时有