2 误差分析基础及测量不确定度

2误差分析基础及测量不确定度2.1测量精度检测或测量的精度是相对的。测量几厘米直径钢球需毫米级检测精度精密光学测量0.01um，微机械加工纳米精度测量精度高的检测对测量条件要求高，测量成本大。需权衡条件，选择适当的测量精度。测量精度可以用误差来表示，精度低即测量误差大。2.2.1真值、测量值与误差的关系误差x：测量值M偏离真值A0的程度n次测量的算术平均值则有限次测量中，测量值的平均值与真值之间的偏差n足够大时：0xMA0AA0limnAA11niiAMn2.2.2几种误差的定义残差：各测量值Mi与平均值A的差方差：标准误差：方差的均方根值，表示Mi偏离A0的程度0iiivMAv22011niiMAn2011niiMAn真值标准差小的测量称为精密测量，即精密度高协方差与相关系数两组测量值xik和xjk的平均值分别为Ai和Aj，协方差被定义为相关系数是标准化的协方差相关系数是-1到+1的实数举例：企业产量与成本，职工工资与年龄211ijnXXikijkjkXAXAn2,ijijXXijXXrXX,1,1ijrXX以概率线形相关,0,ijrXX线形不相关，相互独立2.2.3测量的准确度与精密度精密度：用同样的方法与设备对同一未知量进行多次检测时，测量值之间差异的大小。差异小的测量称为精密测量，即精密度高，反之，精密度低。准确度：在同样条件下，进行无数次测量时平均值与真值的偏差大小。偏差小的测量为准确测量，即准确度高。（a）（b）（c）不精密不准确精密不准确精密准确2.2.3测量的准确度与精密度准确度：测量平均值与真值之间的差异精密度：测量值之间的差异曲线1：δ小，σ大，准确但不精密曲线2：δ大，σ小，精密但不准确要同时兼顾准确度与精密度真值b组测量a组测量2.3误差原因分析①被检测物理模型的前提条件属理想条件，与实际检测条件有出入；②测量器件的材料性能或制作方法不佳使检测特性随时间而发生劣化；③电气、空气压、油压等动力源的噪声及容量的影响；④检测线路接头之间存在接触电势或接触电阻；⑤检测系统的惯性即迟延传递特性不符合检测的目的要求，因此要同时考虑系统静态特性和动态特性；误差原因分析⑥检测环境的影响，包括温度、湿度、气压、振动、辐射等；⑦不同采样所得测量值的差异造成的误差；⑧人为的疏忽造成误读，包括个人读表偏差，知识和经验的深浅，体力及精神状态等因素；⑨测量器件进入被测对象，破坏了所要测量的原有状态；⑩被测对象本身变动大，易受外界干扰以致测量值不稳定等。2.4误差分类系统误差：指测量器件或方法引起的有规律的误差，体现为与真值之间的偏差。可校对、修正随机误差：除可排除的系统误差外，另外由随机因素引起的，一般无法排除并难以校正的误差。随机误差概率符合统计规律粗大误差：由于观测者误读或传感要素故障引起的歧异误差。坏值，应予剔除2.5.1随机误差概率及概率密度函数的性质误差函数的有关符号：1）：误差x发生的概率密度2）：误差为x的概率，称为概率元3）：误差在a与b之间的概率4）所有误差存在的概率等于1yfxpxfxdxbapaxbfxdx1pxfxdx2.5.1随机误差概率及概率密度函数的性质测量次数增多，统计误差频率后，可发现随机误差的性质1）对称性：大小相同符号相反的误差发生的概率相同2）抵偿性：由对称性可知，当测量次数时，全体误差的代数和为零，即3）单峰性：绝对值小的误差比绝对值大的误差发生的概率大4）有界性：绝对值非常大的误差基本不发生n1lim0ninix2.5.1随机误差概率及概率密度函数的性质具有上述特性的随机误差的概率密度分布曲线f(x)则应该满足如下各条件：1）对于所有的误差x，都有f(x)0；2）f(x)为偶函数，正负对称分布；3）x=0时f(x)取最大值；4）随x0，f(x)单调减小；5）f(x)曲线在误差x较小时呈丄凸，在x较大时呈下凸理论和实践证明：满足上述统计特征的随机误差在测量次数极大时必然服从正态分布。图示的正态分布数学表达式为高斯分布函数，这个式子说明了随机误差的理论分布规律，也称为误差法则。正态分布常用来表示。（测量真值），（标准误差）。2.5.2正态分布函数及其特征点22212xyfxe20,NA0Aσ越小，正态分布曲线越陡，小误差出现的概率大，说明测量值集中，测量精密度高。表征了测量值偏离真值的离散程度。故等精度测量是一种σ值相同的测量。2.5.3置信区间与置信概率置信区间：随机变量取值的范围，常用正态分布的标准误差的倍数来表示，即，z为置信系数。置信概率：随机变量在置信区间内取值的概率置信水平：随机变量在置信区间以外取值的概率置信系数越大，置信区间越宽，置信概率越大，随机误差的范围也越大，对测量精度的要求越低。若取，查表得置信概率95%，置信水平5%。zz22202||2xzzzzpxzfxdxedx1||xzpxz22.6.1误差传递法则间接检测量Y与互相独立的直接检测量有如下的函数关系：，并且的标准偏差分别为时，Y的标准偏差1）简易情况：时，12,,XX12,,YXX12,,XX12,,Y12YXX2212Y222212121221111122122211122nnnnniiiiiiiiiiiiYnniiiiyxxxxxxnnnxxnn证明：2.6.1误差传递法则2）任意线性结合：3）一般情况：各检测量取平均值，在间接检测量附近展开泰勒级数，略去高次误差项1niiiYaXk2221nYiiia12,,,nYXXX2210nYiiiddx12,,,nmmm012,,,nYmmm0121200022222221212000nnYnnYYxxxxxxxxx近似成线性组合泰勒级数泰勒级数的定义:若函数f（x）在点的某一邻域内具有直到（n+1）阶导数，则在该邻域内f（x）的n阶泰勒公式为：以上函数展开式称为泰勒级数。泰勒级数在近似计算中有重要作用。在泰勒公式中，取x0=0，得到的级数称为麦克劳林级数。200'''000002!!nnxxxxfxfxfxxxfxfxn000!nnnxxfxfxn2'''00002!!nnxxfxffxffn222222122222111nAAnnnnnnn所以：例：一组测量值的算术平均值为，测量值之间相互独立，测量的标准误差同为时，求其平均值的标准误差。12()/nAMMMn例题解：根据误差传递公式：根据上式可知平均值的标准误差为。这意味着多次测量时，取其平均值作为测量结果时，误差相对变小，可提高测量精度倍。nn2.6.2不等精度测量的加权及其误差同一未知量，不同检测方法，m组不等精度的测量数据。精密度高的测量数据具有较大的可靠性，这种可靠性的大小称为权重，通常用加权平均的方法计算总均值。1）权重的大小：用方差倒数表示2）加权平均1222212111::::::mmppp121222mmmpppXXXpppX2222221212Xmmiiipppppp2解：4:9:3691:41:111:1:1::232221321ppp取p1=36,p2=9,p3=435.149364392361例：已知3,3;2,2;1,1332211XXX求加权平均值和加权标准偏差。例题222222123222223123694()1()2()30.857494949Xiiipppppp2.8粗大误差检验检验原则：设置一定的置信概率，看这个可疑值的误差是否还在置信区间内，即剔除那些概率很低的粗大误差。检验方法：1）简单检验方法：先将可疑值除外，用其余数据求平均值及平均残差，计算可疑值与的残差v，如果，则剔除。2）格罗布斯（Grubbs）检验方法：先算出包括可疑值在内的这组数据的平均值及其标准残差若可疑值，则剔除。为n次测量下置信水平为时的界限系数，可查表获得。X||ivnX||4vX21ixXn/nvnn为剔除可疑值后样本数标准偏差。值和除，求剔除前后的平均是否应该剔除。若要剔，试判断可疑值，，，，，，例：有一组测量数据2010209733217.561097332X解：25.1735.1735.1775.1795.17105.1736ivn12483.1417.52020Xv23.4871ivn剔除后281.6129.72nvXi，剔除前：高。可见，剔除后的精度要例题应该剔除第二章作业P232-22-32-5习题分析2-2解：误差传递法则代入得：整理得：222221212()()ZZZXX1212221XZZXXXX其中：222221122221()()ZXXX2221212()()()ZZXX习题分析2-3解：T=30℃时电阻值为：根据误差传递合成法则：其中：代入运算得：则：01(20)610.004(3020)6.24RRT0222222200(120)(20)()RRTTRTRo5o10.018,1,410RTCC23.0410R306.240.030TR习题分析2-41234222212331111::::::1:1:25:100pppp123412342234ppppXXXXppppX解：测量数据方差为权重，有：加权算数平均值：偏差：2222222212343124Xiiiipppppppp=0.00089=2.99915习题分析2-511183niiXxn解：10个测量数据平均值为：标准偏差为：2()ˆ25.5311iivxXnn剔除数据243后，9个测量数据，平均值=176.33，标准偏差=15.28，平均残差=12.96习题分析2-5/60/25.532.35iv1.简单检验法：243－176.33=66.674×12.96=51.84，应该剔除2.格罗布斯检验法：10个数据（包括可疑值）标准差=25.53可疑数据243残差=243－183=60，其残差比为：查表，n=10，比较条件是否成立，得：置信概率95%时剔除，置信概率99%时保留。/inv