向量数乘运算及其几何意义

2.2.3向量数乘运算及其几何意义向量的加法(三角形法则)如图,已知向量和向量,作向量.作法:ABoabbaababbaO在平面中任取一点aOAO作过bABA作过baOB则向量的加法(平行四边形法则)作法:oABC如图,已知向量和向量,作向量.abbaababO在平面中任取一点aOAO作过bOBO作过OACBOBOA平行四边形为边作、以baOC则向量的减法(三角形法则)如图,已知向量和向量,作向量.作法:ABoabbaababbaO在平面中任取一点aOAO作过bOBO作过baBA则.)()()(aaaaaaa和作出：，练习：已知非零向量aaaaOABCaaaPQMN想一想：变化？和的长度与方向有什么相同的向量相加以后，BCABOAOC由图知，，aaaa3记为：.a3OC即的方向相同，的方向与显然aa3倍，的长度的的长度是3aa3.||||a3a3MNQMPQPN由图知，，)()()(aaaa3记为：.a3PN即的方向相反，的方向与显然aa3.||||a3a3定义：，记作的积是一个向量，与向量一般地，实数aa下：它的长度与方向规定如；||||||)1(aa；的方向相同的方向与时，当aa0)2(；的方向相反的方向与时，当aa0.00a时，当问题1：你能通过上述的具体实例总结出更具一般性的向量数乘的定义吗？问题2：你能说明它的几何意义吗？讲授新课aaa实数与向量，可以作积，但不可以作加减法，即＋，－是的．无意义注意：讲授新课aa2a6)2(3aaa6)2(3实数与向量的积的运算律：aa)()(之间的联系）与（思考：aa623讲授新课a实数与向量的积的运算律：a5aaa32)32(a2a3aaa)(的联系与思考：aaa32)32(讲授新课实数与向量的积的运算律：bbaba22)(2ba)(2bab2baba)(的联系与思考：baba22)(2aa2定义，可得运算律：根据实数与向量的积的为实数，则、设)()1(aa)()2()()3(ba)(结合律)(第一分配律)(第二分配律；a)(；aa.ba向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。1例计算：；a431)()(；aba2ba32)()()(.)()()(cb2a3cb3a23解：a4)3()1(a43)(；a12原式)(2ab2a2b3a3；b5原式)(3cb2a3cb3a2.c2b5a课本P905)32(4)23(5)1(abba)(21)23(41)2(31)2(bababaabba1281015ba23bababa212121433231ba)212132()214331(ba311211ayxayx)()()3(课本P905ayaxayaxay2讲授新课思考)0(aaa有何关系？与结论：.,是共线向量，那么如果baab讲授新课思考结论：？那么共线向量，是与反过来，如果abba.abba那么是共线向量，，如果讲授新课.,abab，使得有唯一一个实数当且仅当共线与非零向量向量结论：共线向量定理课本P904是否共线：与量、判断下列各小题中向ba4;2,2)1(ebea;22,)2(2121eebeeaba解：共线。与baba2解：共线。与ba例..33是否共线与试判断，已知，如图AEACBCDEABADABCDE解：DEADAEBC3AB3)(BCAB3，AC3共线与AEAC.ECA.33三点的位置关系。、、试判断，已知，如图变式一：BCDEABAD.A且有公共点三点共线、、ECA共线与AEAC共线与AEAC例..是否共线与试判断，已知，如图AEACBC3DEAB3ADABCDE解：DEADAEBC3AB3)(BCAB3，AC3BCDE3DEBC//变式二：求证：共线与ECDBDEBC//共线与AEAC不在同一直线上与且DEBC例6:解：作图如右OABC依图猜想:A、B、C三点共线∴A、B、C三点共线.abbb已知任意两非零向量a、b，试作OA=a+b,OB=a+2b,OC=a+3b。你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗？为什么？ba∵AB=OB-OA∴AC=2AB又AC=OC-OA=a+3b-(a+b)=2b=a+2b-(a+b)=b又AB与AC有公共点A，b中，解：在平行四边形ABCD.-baDBbaAC，∵ADBMCa如图:ABCD的两条对角线交于点M,且,用，表示bADaAB,.,,,MDMCMBMAba例7:MAMBMCMDAM-AC21.2121baDB21.21-21baAC21.2121baDM-DB21ba2121定理的应用：1.证明向量共线2.证明三点共线:AB=λBCA,B,C三点共线3.证明两直线平行:AB=λCDAB∥CDAB与CD不在同一直线上直线AB∥直线CD.aλb使，λ个实数共线，那么有且只有一b与)0a(a如果共线向量定理几何问题向量化