向量法求异面直线的夹角、线面角和二面角

有关角的几个概念或范围范围平面角空间中的角baO从一点引出的两条射线组成的图形两条直线的夹角2,0异面直线的夹角abb'Ba’∥a,b’∥b,a’、b’交于O.∠AOB是异面直线a、b所成的角。2,0a'AOall'θ直线和平面所成的角l’是l在平面a内的射影,l’与l的夹角是l与a所成的角。2,0二面角OABlβaOA⊥l,OB⊥lOAa,OBβ∠AOB是二面角a—l—β的平面角。,0βabABCD设异面直线a、b的夹角为θcosθ=AB,CDcos||=AB·CD·AB||CD||θ=AB,CD或θ=π－AB,CD利用两条直线的方向向量的夹角的余弦的绝对值为两直线的夹角的余弦而得。1、求两异面直线所成的角2、求直线和平面所成的角βCBθn设直线BA与平面β的夹角为θ，n为平面β的法向量,Ag1n与向量BA的夹角为锐角g1当12gθ=βCBAθng2n与向量BA的夹角为钝角g2当22gθ=|||||||,cos|sinBAnBAnBAnbaln1n2g3.法向量的夹角与二面角的平面角的关系设,=gn1n2设a—l—b的平面角为－gbaln1n2gg两个平面的法向量在二面角内同时指向或背离。baln1n2gbaln1n2g设,=gn1n2设a—l—b的平面角为g两个平面的法向量在二面角内一个指向另一个背离。|||||||,cos||cos|212121nnnnnn1GKFEAB1C1D1CDBAzyx例1：棱长为1的正方形ABCD—A1B1C1D1中,E,F,G,K分别是棱AD,AA1,A1B1,D1D的中点，①求A1D与CK的夹角；②DD1与平面EFG所成的角；（用三角函数表示）③二面角G—EF—D1的大小（用三角函数表示）解：以D为坐标原点DA,DC,DD1为单位正交基底建立直角坐标系。GKFEA1B1C1D1CDBAzyx①∵A1(1,0,1)D(0,0,0)C(0,1,0)21,0,0K∴DA1=(1,0,1)21,1,0CK,CKcosDA1=||CK·||DA1CKDA1·4112211010∴DA1与CK的夹角为1010arccos②DD1与平面EFG所成的角；（用三角函数表示）zyxGKFEA1B1C1D1CDBA，0,0,21E，21,0,1F.1,21,1G，21,0,21EF1,21,21EG设面EGF的法向量=(x,y,z)nn·EG=0n·EF=00212102121zyxzx即令x=1,得=(1,1,－1)nzyxGKFEA1B1C1D1CDBADD1∵=(0,0,1),cosDD1n11DDnDDn31∴DD1与平面EFG所成的角为33arccos2③二面角G—EF—D1的大小（用三角函数表示）zyxGKFEA1B1C1D1CDBA由②知面GEF的法向量=(1,1,－1)n而面DAD1A1法向量DC=(0,1,0),,cosDCnDCnDCn3331∴二面角G—EF—D1为33arccosDBCAszxy解:建立如图所示的直角坐标系0,0,21D则C(1,1,0),S(0,0,1)AD0,0,21且AD是面SBA的法向量设平面SCD的法向量n=(x,y,z)例2.如图,在底面是直角梯形的四棱锥S—ABCD中,∠ABC=90°,SA⊥面ABCD,SA=AB=BC=1,.21AD求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值。DC0,1,21SD1,0,21n·DC=0n·SD=0DBCAszxy即021yx021zx令x=1,则，21y21zn∴21,21,1∴cosa=n·AD|n|·|AD|36从而tana22例3在三棱锥D—ABC中,底面△ABC是等腰直角三角形,侧面△DBC是等边三角形,平面DBC⊥平面ABC,AB=AC=4,E,F分别为BD,AD中点。①求二面角F—CE—D的大小；②直线CE与平面ABC所成的角；O解：找BC的中点O,连AO,DO∵△ABC是等腰三角形△DBC是等边三角形∴AO⊥BC于ODO⊥BC于O∴DO⊥面ABC故可以以O为坐标原点OA、OC、OD分别为x,y,z轴建立如图所示的直角坐标系zyxBFEDACABCOxy0,0,22A①0,22,0,B0,22,0C62,0,0D6,2,0E6,0,2FxOzyBFEDACABCOxy0,0,22A①0,22,0,B0,22,0C62,0,0D6,2,0E6,0,2F0,2,2EF6,23,,oCE设面EFC的法向量=(x,y,z)nn·CE=0n·EF=0由0623022zyyx得令x=13,1,1n得因OA⊥面BCD,故的方向向量OA=(1,0,0)为面BCD的一个法向量mmn,cos5155即二面角F—CE—D的大小为55arccos②直线CE与平面ABC所成的角；xOzyBFEDACm=(0,0,1)∵平面ABC的法向量为6,23,oCE又mCE,cos2262362160,mCE∴直线CE与平面ABC所成的角30°