向量法解立体几何

空间“综合”问题向量法解立体几何问题的优点:1.思路容易找,甚至可以公式化；一般充分结合图形发现向量关系或者求出(找出)平面的法向量、直线的方向向量，利用这些向量借助向量运算就可以解决问题.2.不需要添辅助线和进行困难的几何证明;3.若坐标系容易建立,更是水到渠成.复习引入如图，已知：直角梯形OABC中，OA∥BC,∠AOC=90°，SO⊥面OABC，且OS=OC=BC=1，OA=2。求：(1)异面直线SA和OB所成的角的余弦值(2)OS与面SAB所成角的余弦值(3)二面角B－AS－O的余弦值OABCSxyz【课后作业】zxy分析:钢板所受重力的大小为500kg，垂直向下作用在三角形的中心O，如果能将各顶点出所受的力1F、2F、3F用向量形式表示，求出其合力，就能判断钢板的运动状态.F1F2F3ACBO500kg例1、如图,一块均匀的正三角形面的钢板的质量为，在它的顶点处分别受力、、，每个力与同它相邻的三角形的两边之间的夹角都是，且.这块钢板在这些力的作用下将会怎样运动？这三个力最小为多大时，才能提起这块钢板？500kg1F2F3F60123200FFFkg解：如图，以点A为原点,平面ABC为xAy坐标平面，AB方向为y轴正方向,AB为y轴的单位长度，建立空间直角坐标系─Axyz,则正三角形的顶点坐标分别为设1F方向上的单位向量坐标为(,,)xyz，由于1F与AB,AC的夹角均为60，∴131cos60(,,)(,,0)2221cos60(,,)(0,1,0)2①②xyzxyz又∵2221xyz③∴由①②③可解得112x,12y,23z.∴1112200(,,)1223F同法可求得2112200(,,)1223F,312200(,0,)33F(0,0,0)A,(0,1,0)B,31(,,0)22C合力123FFF11211212200(,,)(,,)(,0,)1223122333200(0,0,6)这说明，作用在钢板的合力方向向上,大小为2006kg,作用点为O.由于2006500,所以钢板仍静止不动要提起这块钢板,设123FFF=x,则需6500x,解得5006x，因此,要提起这块钢板,1F、2F、3F均要大于5006kg．合力就是以1F、2F、3F为棱的平行六面体的对角线向量(如图所示)F1F3F2F1F2F3ACBO500kgF1F3F2例4如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC,E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.(1)求证：PA//平面EDB(2)求证：PB⊥平面EFD(3)求二面角C-PB-D的大小。ABCDPEFABCDPEFXYZG解：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1(1)证明：连结AC,AC交BD于点G,连结EG(1,0,0),(0,0,1),11(0,,)22APE依题意得)021,21(，的坐标为故点是此正方形的中心，所以点是正方形，因为底面GGABCDABCDPEFXYZG)21,0,21(),1,0,1(EGPA且EGPAEGPA//2，即所以EDBPAEDBEG平面且平面而,EDBPA平面所以，//(2)求证：PB⊥平面EFDABCDPEFXYZ)1,1,1(),0,1,1(2PBB）证明：依题意得（021210),21,21,0(DEPBDE故又DEPB所以,,EDEEFPBEF且由已知EFDPB平面所以(3)求二面角C-PB-D的大小。ABCDPEFXYZ的平面角。是二面角故）可知由（）解：已知（DPBCEFDDFPBEFPB,2,3)1,,(),,,(zyxPFzyxF则的坐标为设点PBkPF因为(,,1)(1,1,1)(,,)xyzkkkk所以kzkykx1,,即0DFPB因为0131)1,,()1,1,1(kkkkkkk所以31k所以)323131(，，的坐标为点F)21,21,0(的坐标为又点E)61,61,31(FE所以2131613666)32,31,31()61,61,31(cosFDFEFDFEEFD因为.60,60的大小为即二面角所以DPBCEFD1．如图3-5，已知两条异面直线所成的角为θ，在直线a、b上分别取E、F，已知A’E=m，AF=n，EF=l，求公垂线AA′的长d.EFEAAAAF解：22()EFEAAAAF2222()EAAAAFEAAAEAAFAAAF当E,F在公垂线同一侧时取负号当d等于0是即为“余弦定理”,AAEAAAAF=π—θ（或θ），AFEA,22222lEAAAAFEAAF2222cosmdnmn2222cosdlmnmnnabCDABCD为a,b的公垂线则||||nABnCDA，B分别在直线a,b上已知a,b是异面直线，n为的法向量异面直线间的距离即间的距离可转化为向量在n上的射影长，21,llCD111101.4,,2,90,ABCABCAAABCACBCBCAEABCEAB例已知：直三棱柱的侧棱底面中为的中点。求与的距离。zxyABCC1).4,2,0(),0,0,2(),0,1,1(),0,0,0(,1BAECxyzC则解：如图建立坐标系),4,2,2(),0,1,1(1BAEC则的公垂线的方向向量为设).,,(,1zyxnBAEC001BAnECn即04220zyxyx取x=1,则y=-1,z=1,所以)1,1,1(n).0,0,1(,,ACAC在两直线上各取点.332||||1nACndBAEC的距离与EA1B1xyzABCDE2、如图，四面体DABC中，AB，BC，BD两两垂直，且AB=BC=2，点E是AC中点；异面直线AD与BE所成角为，且，求四面体DABC的体积。10cos103、在如图的实验装置中，正方形框架的边长都是1，且平面ABCD与平面ABEF互相垂直。活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM和BN的长度保持相等，记CM=BN=（1）求MN的长；（2）a为何值时？MN的长最小？（3）当MN的长最小时，求面MNA与面MNB所成二面角的余弦值。(02).aaABCDEFMNa4、如图6，在棱长为的正方体中，分别是棱AB,BC上的动点，且。（1）求证：；（2）当三棱锥的体积取最大值时，求二面角的正切值。''''CBAOOABCBFAEECFA''BEFB'BEFB'FE、O’C’B’A’OABCEF图6O’C’B’A’OABCEF图65、如图，平行六面体中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱的长为b,且求（1）的长；（2）直线与AC夹角的余弦值。ABCDABCDAA0120.AABAADACBDABCDABCD