向量法求异面直线的夹角、线面角和二面角的平面角及距离

βabABCD设异面直线a、b的夹角为θcosθ=AB,CDcos||=AB·CD·AB||CD||θ=AB,CD或θ=π－AB,CD利用两条直线的方向向量的夹角的余弦的绝对值为两直线的夹角的余弦而得。1求直线和直线所成的角一、用向量法求角2、求直线和平面所成的角βCBθn设直线BA与平面β的夹角为θ，n为平面β的法向量,Ag1n与向量BA的夹角为锐角g1当12gθ=βCBAθng2n与向量BA的夹角为钝角g2当22gθ=balqn1n2g3.法向量的夹角与二面角的平面角的关系设,=gn1n2设a—l—b的平面角为qq－gbalqn1n2gg两个平面的法向量在二面角内同时指向或背离。balqn1n2gbalqn1n2g设,=gn1n2设a—l—b的平面角为qqg两个平面的法向量在二面角内一个指向另一个背离。二：向量法求距离AB1、已知A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)|AB|=ABAB212212212zzyyxx212212212,zzyyxxdBA其中dA,B表示A与B两点间的距离，这就是空间两点间的距离公式。2.点到平面的距离已知AB为平面a的一条斜线段,n平面a的法向量.则A到平面a的距离||AB·n||nd=αBCAnβa3.直线和它平行平面的距离n已知直线a∥平面β,求a到平面β的距离AB在a和平面β上分别任取一点A和Bn是平面β的一个法向量直线a和它平行平面β的距离为||AB·n||nd=βa4.两个平行平面间的距离ABn||AB·n||nd=A、B分别是a、β上的任意点，n是平面a、β的一个法向量ababAB只需在两条异面直线a、b上分别任取一点A、B。设与a、b的方向向量都垂直的向量为n则nn·a=0n·b=0∴a、b之间的距离||AB·n||nd=3、求两条异面直线的距离1GKFEAB1C1D1CDBAzyx例1：棱长为1的正方形ABCD—A1B1C1D1中,E,F,G,K分别是棱AD,AA1,A1B1,D1D的中点，①求A1D与CK的夹角；②求点B到平面EFG的距离；③二面角G—EF—D1的大小（用三角函数表示）④DD1与平面EFG所成的角；（用三角函数表示）⑤求A1D与CK之间的距离。解：以D为坐标原点DA,DC,DD1为单位正交基底建立直角坐标系。GKFEA1B1C1D1CDBAzyx①∵A1(1,0,1)D(0,0,0)C(0,1,0)21,0,0K∴DA1=(1,0,1)21,1,0CK,CKcosDA1=||CK·||DA1CKDA1·4112211010∴DA1与CK的夹角为1010arccos②求点B到平面EFG的距离；zyxGKFEA1B1C1D1CDBA，0,0,21E，21,0,1F.1,21,1G，21,0,21EF1,21,21EG设面EGF的法向量=(x,y,z)nn·EG=0n·EF=00212102121zyxzx即令x=1,得=(1,1,－1)n0,1,21BE而∴点B到平面EFG||BE·n||nd=312123③二面角G—EF—D1的大小（用三角函数表示）zyxGKFEA1B1C1D1CDBA由②知面GEF的法向量=(1,1,－1)n而面DAD1A1法向量DC=(0,1,0),,cosDCnDCnDCn3331在二面角G—EF—D1内是指向面GEFnDC是背离平面DAD1A1∴二面角G—EF—D1为33arccos④DD1与平面EFG所成的角；（用三角函数表示）zyxGKFEA1B1C1D1CDBA由②知面GEF的法向量=(1,1,－1)nDD1∵=(0,0,1),cosDD1n11DDnDDn31,∴DD1n33arccos∴DD1与平面EFG所成的角为33arccos233arccos2⑤求A1D与CK之间的距离。GKFEA1B1C1D1CDBAzyx2110，，CKA1D∵=(－1,0,－1)DAn1令CKn=(x,y,z)n且设001DAnCKn由0021zxzy得令x=2,得=(2,－1,－2)nGKFEA1B1C1D1CDBAzyx=(2,－1,－2)n2100，，DK∴A1D与CK之间的距离||DK·n||nd=9131例2正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中底面边长为4,侧棱长为5,P为CC1上的任意一点.①求证:BD⊥AP②C1P=2,求二面角A—B1P—B的正切值。zyxA1B1C1D1CDBAP①证明：以D为坐标原点建立如图所示坐标系。∴A(4,0,0),B(4,4,0)D(0,0,0)由已知可知P(0,4,z)APBD=(－4,4,z),=(－4,－4,0),AP·BD=16－16=0AP⊥BDAP⊥BD②C1P=2,求二面角A—B1P—B的正切值。解：P(0,4,3)B1(4,4,5)zyxA1B1C1D1CDBAPAP=(－4,4,3)PB1=(4,0,2)令平面APB1的法向量为=(x,y,z)n0240344zxzyx得n·n·AP=0PB1=0由令x=2得=(2,5,－4)n而面BCPB1的法向量为CD的方向向量=(0,1,0)m,cosmn45535在二面角A—B1P—B内是指向平面APB1nzyxA1B1C1D1CDBAP在二面角A—B1P—B内是指向平面APB1nm在二面角A—B1P—B内是背离平面BCPB1故二面角A—B1P—B的平面角为,mn不妨令二面角A—B1P—B的平面角为tan1,cos12mn552∴二面角A—B1P—B的正切值为552例3在三棱锥D—ABC中,底面△ABC是等腰直角三角形,侧面△DBC是等边三角形,平面DBC⊥平面ABC,AB=AC=4,E,F分别为BD,AD中点。①求二面角F—CE—D的大小；②求点B到平面CEF的距离；③直线CE与平面ABC所成的角；O解：找BC的中点O,连AO,DO∵△ABC是等腰三角形∴AO⊥BC于ODO⊥BC于O∴DO⊥面ABC故可以以O为坐标原点OA、OC、OD分别为x,y,z轴建立如图所示的直角坐标系zyxBFEDACABCOxy0,0,22A①0,22,0,B0,22,0C62,0,0D6,2,0E6,0,2FxOzyBFEDACABCOxy0,0,22A①0,22,0,B0,22,0C62,0,0D6,2,0E6,0,2F0,2,2EF6,23,,oCE设面EFC的法向量=(x,y,z)nn·CE=0n·EF=0由0623022zxyx得令x=13,1,1n得因OA⊥面BCD,故的方向向量OA=(1,0,0)为面BCD的一个法向量mmn,cos5155xOzyBFEDAC3,1,1nm=(1,0,0)mn,cos5155在二面角F—CE—D内3,1,1n指向面EFC,nm在二面角F—CE—D内是背离面BCD∴二面角F—CE—D的大小等于mn,即二面角F—CE—D的大小为55arccos②求点B到平面CEF的距离；xOzyBFEDAC解：由①知平面CEF的法向量为3,1,1nBC0,22,0B0,22,0C0,24,0点B到平面CEF的距离nnBCd5245104③直线CE与平面ABC所成的角；xOzyBFEDACm=(0,0,1)∵平面ABC的法向量为6,23,oCE又mCE,cos2262362160,mCE∴直线CE与平面ABC所成的角30°