向量法证明正弦定理

5.9正弦定理、余弦定理1教学目标1、了解向量知识应用。2、掌握正弦定理推导过程。3、会利用正弦定理证明简单三角形问题。4、会利用正弦定理求解简单斜三角形边角问题。教学重点：正弦定理证明及应用难点：1、向量知识在证明正弦定理时的应用，与向量知识的联系过程。2、正弦定理在解三角形时应用思路。正弦定理及其应用1、正弦定理形式的提出abc===2RsinAsinBsinC正弦定理演示YX2、正弦定理的向量证明BAC想一想：如何用向量法证明正弦定理？BA在Y轴上的投影为CA在Y轴上的投影为BAsinB=CAsinCBACA=sinCsinBabc==sinAsinBsinC同理可得|BA|cos(90o-B)=|BA|sinB|CA|cos(90o-C)=|CA|sinCabc===2RsinAsinBsinC正弦定理：公式变形式：a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinCabcsinA=,sinB=sinC=2R2R2R，a:b:c=sinA:sinB:sinC利用正弦定理可以实现边角互化，可以解决以下两类问题：1、已知两角和任一边，求其它两边和一角。2、已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角。(从而进一步求出其他的边和角，包括解的个数的讨论问题)(1),sinsinABCABabAB中111(2)sinsinsin222SabCbcAacB22sinsinsin(4RABCabcRABCR为外接圆的半径）1()(2rabcrABC为内切圆的半径）oABCa=3,b=2,B=45,例：在中，已知解此三角形。解：由正弦定理：ab323==sinA=.sinAsinBsinAsin452A=60120或A=60C=75A=120C=15bc2c6+2==c=2sin75=.sinBsinCsin45sin752bc2c6-2==c=2sin15=.sinBsinCsin45sin152为什么有两解的情况？A是锐角时知识归纳①已知两角及一边解三角形一定只有一解。②已知两边及一边的对角解三角形，可能无解、baACBabsinA时无解。a=bsinA时一解absinA时若ba时两解，b≦a时一解BaA为直角或钝角时abABCabABCab时有一解，一解或两解。a≦b时无解。随堂练习1、正弦定理适用的范围是A、直角三角形B、锐角三角形C、钝角三角形D、任意三角形D2ABCa=8,B=60,C=75,b=32A42B43C46D3、在中，已知那么、、、、C3ABCa=23,b=22,B=45,A=A60120B60C30150D30、在中，已知那么、或、、或、A4、在△ABC中，“A=B”是“sinA=sinB”的___条件。A、充分不必要B、必要不充分C、充分必要D、不充分也不必要C5、在△ABC中，a=18,b=20,A=150o,则满足此条件的三角形的个数是A、0B、1C、2D、无数个AsinAcosB6ABC=,BabA30B45C60D90、在中，若那么的值是、、、、B7ABC3a=2bsinA,B25ABCD363366、在中，若那么的值是、、、或、或Cabc8ABCp:==,q:ABCsinBsinCsinApq、在中，若是正三角形，那么是的A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充分必要条件D、不充分也不必要条件C（三维第一课时第4题）9ABCAC=3A=45C=75BC=_____、在中，，，，那么210ABCa+b=12,A=60,B=45,a=___________,b=__________、在中，那么36-126126-2411ABCA:B:C=1:2:3,a:b:c=_______、在中，若那么132：：12ABCb=3,c=33,B=30a=_______、在中，已知那么3或6例1、已知△ABC中，c=10,A=45o,C=30o,求a,b和B（三维）accsinA10sin45=a===102sinAsinCsinCsin30解：B=180-A+C=180-45+30=105bccsinB10sin105=b===56+2sinBsinCsinCsin302ABCb=12,A=30,B=45,例、在中，已知三角形，并求出它的外接圆半径和三角形的面积。解这个bb12=2RR===62sinB2sinB2sin45解：又A=30o,B=45o,所以C=105o2+6sinC=sin105=sin60+45=4bsinA12sin30a===62sinBsin45由正弦定理bsinC12sin105c===61+3sinBsin45ABC116+2S=absinC=6212=181+3224（例1变式）例3、已知下列各三角形中的两边及其一边的对角，先判断三角形是否有解？有解的作出解答。1a=7,b=8,A=105;2a=23,b=6,A=301a=7,b=8,ab,A=10590,解：本题无解。2a=23,b=8,ab,A=3090bsinA=6sin30=3absinA,又本题有两解。bsinA6sin303sinB===a223由正弦定理得B=60o或120o,asinC23sin90c===43sinAsin30当B=60o时，C=90o.当B=120o时，C=30o.asinC23sin30c===23sinAsin30B=60C=90c=43B=120,C=30,c=23，，或（三维）4ABCa=2,b=3,A=45,BCc例、在中，已知求、及ab=,sinAsinB解：由正弦定理得bsinA3323sinB==sin45==,a2222∵ba,∴BA=45o,∴有两解B=60o或120o1)当B=60o时，C=75o,asinC2sin756+2c===,sinAsin4522)当B=120o时，C=15o,asinC2sin156-2c===,sinAsin452（例2变式）为锐角，试判断此三角形的形状。例5、在△ABC中，如果lga-lgc=lgsinB=-lg,且B22lgsinB=-lg2sinB=B=452解：a2sinA2lga-lgc=-lg2==c2sinC2由2sin135-C=2sinC2sin135cosC-cos135sinC=2sinC2cosC+2sinC=2sinCcosC=0C=90所以此三角形为等腰直角三角形（三维）226ABCtanA:tanB=a:b,ABC例、在中，若判定的形状。222222asinAsinAcosBsinA==bsinBcosAsinBsinB解：由正弦定理得cosBsinA=sinBcosB=sinAcosAcosAsinBsin2B=sin2A2A=2B2A+2B=或A=BA+B=2或所以三角形ABC是等腰三角形或直角三角形。（例3变式）