多缝夫琅禾费衍射

15.8多缝夫琅禾费衍射所谓多缝是指在一块不透光的屏上，刻有N条等间距、等宽度的通光狭缝。夫琅禾费多缝衍射的装置如图所示。其每条狭缝均平行于y1方向，沿x1方向的缝宽为a，相邻狭缝的间距为d，不透光缝宽度b,其关系如下：d=a+b（也叫光栅常数）。光栅常数与光栅单位长度的刻痕数N的关系：d=1/N。x1xPSdGP0L1L2ab2单缝衍射条纹光栅衍射谱线夫琅禾费单缝和多缝衍射的区别：双缝衍射单缝衍射3dabf所以，利用平行光照射多缝时，其每一个单缝都要产生自己的衍射，形成各自的一套衍射条纹。当每个单缝等宽时，各套衍射条纹在透镜焦平面上完全重叠，其总光强分布为它们的干涉叠加。假设图中是线光源，则N个狭经受到平面光波的垂直照射。如果选取最下面的狭缝中心作为x1的坐标原点，并只计x方向的衍射。4①多缝衍射的光强分布11111i/1(1)i/i/i/222111(1)222i/ii2i(1)212i(1)2()dddd=[1]dsinsin2sikxxflaaadNdkxxfkxxfkxxfaaadNdakxxfNaNEPCexCexexexCeeeexNCae(54)n2按照(22)式，观察屏上P点的光场复振幅为：11i(11,ddkxxyyfExyCexy－＋）/（）（22）5式中2πsin(55)d220sinsin2()(56)sin2NIPI它表示在x1方向上相邻的两个间距为d的平行等宽狭缝，在P点产生光场的相位差。相应于P点的光强度为：式中，I0是单缝衍射情况下P0点的光强。由上述讨论可以看出，平行光照射多缝时，其每个狭缝都特在P点产生衍射场，由于这些光场均来自同一光源，彼此相干，将产生干涉效应，使观察屏上的光强度重新分布。因此，多缝衍射现象包含有衍射和干涉双重效应。多缝干涉因子单缝衍射因子Pxdf狭缝1狭缝26由(56)式可见，N个狭缝的衍射光强关系式中包含有两个因子：一个是单缝衍射因子(sin/)2,另外一个因子是[sin(N/2)/sin(/2)]2，根据以上公式的推导过程可以看出，它是N个等振幅，等相位差的光束干涉因子。因此，多缝衍射图样具有等振幅，等相位差多光束干涉和单缝衍射的特征。220sinsin2()(56)sin2NIPI20sin(50)II222200sinsinsin2()=4cos(57)2sin2NIPII为简单，以双缝衍射情况予以说明。此时，N＝2，P点的光强为：等振幅双光束干涉因子7(a)是等振幅双光束干涉强度分布cos2(/2)曲线；(b)是单缝衍射强度分布(sin/)2曲线；(c)是双缝衍射强度分布曲线。根据上个式子，绘出了如右图所示的d＝3a情况下的双缝衍射强度分布曲线，其中:由该图可见，双缝衍射强度分布是等振幅双光束干涉和单缝衍射的共同作用结果，实际上也可看作是等振幅双光束干涉受到单缝衍射的调制。abc8cos2(/2)10m=-7-6-5-4-3-2-1012345678-8-6-4-202468/2sin2/201-3-2-023I0(sin2/)cos2(/2)4I0m=-8-7-6-5-4-3-2-10123456789n=-2-101239III1245-1-2-4-5如果只有衍射：如果只有干涉：干涉、衍射均有之：缺级缺级-1-212-22衍射条纹的形成N=5;d=3a1022sin2sin2N22sin22022sinsin2sin2NIN=4,d=3a-6-5-4-3-2-10123456m=-6-5-4-3-2-10123456n=-2-1012-2-1012/211I1245-1-2-4-5N=3缺级缺级245-1-4-5I1-2缺级缺级N=4I1245-1-2-4-5缺级缺级N=51245-1-2-4-5N=2I缺级缺级N不同的光栅光强d=3a12I1245-1-2-4-5缺级缺级N=2双缝衍射缺级缺级I125-1-2-5336-60I124-1-2-4336-60缺级缺级d=3ad=4ad=5a13综上所述，多缝衍射是干涉和衍射的共同效应，它可看作是等振幅、等相位差多光束干涉受到单缝衍射的调制。需要指出的是，单缝衍射因子只与单缝本身的性质有关，而多光束干涉因子则因源于狭缝的周期性排列，与单缝本身的性质无关。因此，如果有N个性质相同，但形状与上述狭缝有异的孔径周期排列。则在其衍射强度分布公式中，仍将有上述的多光束干涉因子。此时，只要把单个衍射孔径的衍射因子求出来，乘以多光束干涉因子，即是这种周期性孔径衍射的光强度分布。为了清楚起见，下图给出了夫琅禾费单缝和五种多缝的衍射图样照片（N分别等于1、2、3、5、6、20）。14②多缝衍射图样特性(i)多缝衍射的强度极值◆多缝衍射主极大由多光束干涉因子可以看出，当2π0,1,2,mm或sin(58)dm时，多光束干涉因子为极大值，称此时的多缝衍射为主极大。多缝衍射图样特性可以由多光束干涉和单缝衍射特性确定。2πsin(55)d由于多缝衍射主极大强度为:22M0sin(59)INI它们是单缝衍射在各级主极大位置上所产生强度的N2倍，其中，零级主极大的强度最大，等于N2I0。2πlim[sin(/2)/sin(/2)]mNN15N=2m=dsin/m=dsin/N很大m=dsin/N=4主极大明条纹位置由缝间干涉决定。16()π0,1,2,;1,2,,12NNmmmmN当N/2等于的整数倍，而/2不是的整数倍，即或sin(60)mdmN时，多缝衍射强度最小，为零。比较(58)式和(60)式可见，在两个主极大之间，有(N－1)个极小。◆多缝衍射极小假设N=2，那么m=1,因此=，3，5，由(60)式，相邻两个极小(零值)之间(m＝1)的角距离为:(61)cosNdsin(60)cos1cosmmdmdNNmNd17I1245-1-2-4-5N=3缺级缺级245-1-4-5I1-2缺级缺级N=4I1245-1-2-4-5缺级缺级N=51245-1-2-4-5N=2I缺级缺级N不同的光栅光强d=3a18◆多缝衍射次极大2sin12N由多光束干涉因子可见，在相邻两个极小值之间，除了是主极大外，还可能是强度极弱的次极大。在两个主极大之间，有(N－2)个次极大，次极大的位置近似由220002220.0453πsin22MIIINII即最靠近零级主极大的次极大强度，只有零级主极大的4.5％。此外，次极大的宽度随着N的增大而减小。当N很大时，它们将与强度零点混成一片，成为衍射图样的背景。在N/23/2时，衍射强度为:决定.19I1245-1-2-4-5N=3缺级缺级245-1-4-5I1-2缺级缺级N=4I1245-1-2-4-5缺级缺级N=51245-1-2-4-5N=2I缺级缺级N不同的光栅光强d=3a20(ii)多缝衍射主极大角宽度22(62)cosNd该式表明，狭缝数N愈大，主极大的角宽度愈小。多缝衍射主极大与相邻极小值之间的角距离是Δ，主极大的条纹角宽度为:(61)cosNd245-1-4-5I1-2缺级缺级N=4I1245-1-2-4-5缺级缺级N=521由于多缝衍射是干涉和衍射的共同效应，所以存在缺级现象。对于某一级干涉主极大的位置，如果恰有sin/＝0，即相应的衍射角同时满足sin0,1,2,sin1,2,dmmann(iii)缺级或dmna则该级主极大将消失，多缝衍射强度变为零，成为缺级。缺级sin1,2,(51)nna单缝衍射的暗条纹sin(58)dm多缝干涉的亮条纹2232mdabmnnaaba1,2,3,n故33,6,9,mn1245-1-2-4-5I缺级缺级-2223(ⅳ)多缝衍射图样特性从以上讨论可以看出，在多缝衍射中，随着狭缝数目的增加，衍射图样有两个显著的变化：一是光的能量向主极大的位置集中(为单缝衍射的N2倍)；二是亮条纹变得更加细而亮(约为双光束干涉线宽的1/N)。对于一个N＝104的多缝来说，这将使主极大光强增大108倍，条纹宽度缩为万分之一。24例1：用波长为500nm的单色光垂直照射到每毫米有500条刻痕的光栅上，求：1)第一级和第三级明纹的衍射角；2)若缝宽与缝间距相等，由用此光栅最能看到几条明纹。由光栅方程mdsin可知：第一级明纹m=125.010210500sin691d821401＝第三级明纹m=375.01021050033sin693d534803＝md63102500/101解：1)光栅常量252)理论上能看到的最高级谱线的极限，对应衍射角θ=π/2，41050010296maxdm第2、4级明纹不出现，从而实际只能看到5条明纹。即最多能看到第4级明条纹)(adnm考虑缺级条件d/a=(a+a)/a=226例题2波长为6000Å的单色光垂直入射在一光栅上，第二级明纹出现在sin2=0.2处，第4级为第一个缺级。求(1)光栅上相邻两缝的距离是多少？(2)狭缝可能的最小宽度是多少？(3)按上述选定的a值，实际上能观察到的全部明纹数是多少？解:（1）mdsinmmd6sin14nmadnmmda5.14min（2）27max1sinmm，106.06maxmmdm在-900θ900范围内可观察到的明纹级数为m=0,1,2,3,5,6,7,9,共15条明纹（3）由光栅方程，理论上能看到的最高级谱线的极限，对应衍射角θ=π/2