多缝的夫琅禾费衍射

abdθθθLP0P§5.3多缝的夫琅和费衍射双缝干涉光屏上条纹亮度很小。解决办法：多缝干涉。a：透光缝宽度、b：档光部分宽度。d=a+b为相邻两缝的间距。对每一条单缝：A→aθ、A0→a0、u→α当衍射角为θ时：20)sin(IIsinauusinAA020)uusin(IIsinausinaa0abdθθθLP0P同时各单缝之间还会产生干涉现象。根据双缝干涉明条纹公式：所以：多缝夫琅和费衍射的光强分布为单缝衍射和多缝干涉的总效果。20)sin(IIsina当衍射角θ一定时，所有单缝衍射条纹在屏上的位置完全重合。因此，多缝衍射条纹比单缝衍射条纹明亮很多。ksind相邻单缝间干涉条纹也完全重合。sinaa01、光强分布：(N=6)ONδδδδABaθaθCθΔL衍射角为θ时，相邻狭缝出射的平行光之间的光程差和相位差为：sind2,sindL由振幅矢量法：2NsinOC2A,2sinOC2asind2令则：sindsina其中单缝衍射因子缝间干涉因子)sinNsin()sin(asinNsinaA0220)sinNsin()sin(II2、缝数N对多缝干涉条纹的影响（多缝使条纹细而明亮）：aθAaθaθaθaθaθ当δ=0，2π，4π，…时⑴主极大（明条纹中心）：ksindk22当即时：0sin,0Nsin22N)sinNsin(,NsinNsin或此时缝间干涉因子最大，所以满足下式),2,1,0k(ksind的位置为多缝干涉的主极大，且光强为每条单缝在该处光强的N2倍！INI2如：双缝I=4Iθ6缝I=36Iθ220)sinNsin()sin(II⑵极小（暗条纹中心）：则缝间干涉因子：0)sinNsin(2即满足以上条件处出现极小。因：Nn处为相邻两个主极大之间的N-1个极小。0sink2k当：0Nsinn2NnN但：220)sinNsin()sin(II1N2,,2N,1Nn所以：aθA=6aθ①、⑦aθA=060°②aθA=0120°③aθA=0180°④36I0N26ππ12π2π⑦005π10π⑥004π8π⑤003π6ππ④002π4π③00π2π②36I0N20000①2)sinNsin(332343563653222NN02INIaθA=0240°⑤aθA=0300°⑥⑶次极大：在N-1个极小之间还有N-2个次极大，但光强很小。当相邻缝间距d一定时，多缝干涉和双缝干涉明纹间隔都是一样的（与N无关）。随着缝数的增加，明条纹变得越细、越亮，而明条纹之间是大片暗区。由上讨论可知：Innn0123456001212342N4N6N3、单缝衍射因子对多缝干涉的影响、缺级：当α=±k'π（k'=1,2,3,…)时，单缝衍射因子：0)sin(2即各单缝衍射暗纹满足：'ksina而多缝干涉明纹满足：ksind多缝干涉的k级极大处正好是单缝衍射的k'级极小处，所以m的整倍数干涉明条纹将不出现，称为缺级现象。∴当m'kkabaad（整数）时：I01234560012123456-1-2-3-4-5-6-1-2-3-4-5-6-1-2sinasind3ad单缝衍射多缝干涉多缝衍射例题5-5：⑴双缝中，挡光部分宽度与透光缝等宽，即b=a。则单缝衍射的中央主极大内含有几条干涉明纹？⑵若b=0，则两缝合成宽2a的单缝，求证：多缝衍射光强公式简化为单缝衍射光强公式。解：所以单缝衍射中央明纹内有3条干涉明纹：0、±1级明纹。缺级，即422abaad⑴⑵因为：sinasindabd多缝干涉因子：222)cos2()sin2sin()sinNsin(20220220)22sin(I4)cos2()sin(I)sinNsin()sin(II其中：sin)a2(2§5.4衍射光栅（多缝衍射的应用）：ad透射式光栅ad反射式光栅大量平行、等宽、等距狭缝排列起来形成的光学元件称为光栅。实用光栅每毫米内有几十至上千条刻痕。一块100×100mm2的光栅可有60000至120000条刻痕。光栅主要用于光谱分析，测量光的波长、光的强度分布等。1、光栅方程：光栅常数：d=a+b称为光栅方程。明条纹衍射角满足：),2,1,0k(ksind例题5-6：He—Ne激光器发出波长λ=632.8nm的红光，垂直入射于每厘米有6000条刻线的光栅上。求各级明纹衍射角。解：光栅常数nm1667cm60001d令得：263.2dkmax即只能看到±1、±2级条纹。一级明纹衍射角：31.22darcsin1二级明纹衍射角：39.49d2arcsin22、光栅光谱：明条纹衍射角与入射光波长有关。所以：复色光入射时，除零级条纹外，其余各级条纹都随波长不同而散开，形成光栅衍射光谱。例题5-7：一每厘米有4000条刻线的光栅，以白光垂直入射。试描述其衍射光谱。(紫端)θV(红端)θR中央明纹001级光谱9.2°17.7°2级光谱18.7°37.4°3级光谱28.7°65.8°4级光谱39.8°90°0°10°20°30°40°50°60°70°80°90°-90°-80°-70°-60°-50°-40°-30°-20°-10°k=0k=1k=2k=3k=4k=-1k=-2k=-3k=-4解：nm2500cm40001ddkarcsin3、光栅的分辨本领：波长很接近的两条光谱线（λ1、λ2）能否被分辨，还取决于谱线宽度Δλ。λ1λ2瑞利分辨判据：当一条谱线的k级主极大与另一谱线同级极大的相邻极小重合时，两条谱线恰能分辨。可以证明：光栅的分辨本领NkR21212可见：①k大，则R大（光谱线分得更开）；②N大，则R大（条纹更细）。例题5-8：宽为2.54cm的光栅有10000条刻线。当钠黄光垂直入射时，其λ1=589.00nm和λ2=589.59nm钠双线的1级主极大对应的角距离为多大？解：对光栅方程dsinθ=kλ两边取微分，得：22)dk(1)(sin1cos而即222kdk以k=1、λ=589.30nm和Δλ=0.59nm代入上式，得：∵Δλ很小cosdkdkdcosdrad1044.2014.04例题5-9：每厘米刻有4000条线的光栅（d=2500nm)，计算在第2级光谱中氢原子的α(λα=656nm)和δ(λδ=410nm)两条谱线间的角距离。（设光垂直入射于光栅）解：2sind2sind求得rad334.0d2arcsinrad552.0d2arcsin所以2级光谱中，α、δ谱线的角距离为：rad218.0例题5-10：波长为600nm的单色光垂直入射于光栅。第2、3级明纹分别出现在sinθ2=0.20和sinθ3=0.30处，第4级缺级。求⑴光栅上相邻两缝的间距是多少？⑵光栅上狭缝的宽度为多少？⑶在-90°～90°范围内实际呈现的全部光谱级数。解：⑴m0.6sin2d2sind22⑵m5.14da而实际呈现的光谱线数为（共15条）：10dk,1sinmax时当⑶9,7,6,5,3,2,1,0①由惠更斯—菲涅耳原理，k=±10时θ=±90°。此方向上无衍射光；②题中sinθ2=0.20和sinθ3=0.30两个条件只需一个即可。注：例题5-11：若钠双线（λ1=589.00nm和λ2=589.59nm）第3级两衍射明纹在衍射角为θ=10°方向上刚好能被某光栅分辨，求：①光栅常数；②此光栅总宽度。解：①3sindm1002.1sin3d5②由R和NkR3333N得：所以光栅总宽度为：mm4.3NdL