第四章 有限长单位脉冲响应滤波器设计4

§4.4FIR数字滤波器的最优化设计前面介绍了FIR数字滤波器的两种逼近设计方法，即窗口法（时域逼近法）和频率采样法（频域逼近法），用这两种方法设计出的滤波器的频率特性都是在不同意义上对给定理想频率特性Hd(ejω)的逼近。说到逼近，就有一个逼近得好坏的问题，对“好”“坏”的恒量标准不同，也会得出不同的结论，我们前面讲过的窗口法和频率采样法都是先给出逼近方法，所需变量，然后再讨论其逼近特性，如果反过来要求在某种准则下设计滤波器各参数，以获取最优的结果，这就引出了最优化设计的概念，最优化设计一般需要大量的计算，所以一般需要依靠计算机进行辅助设计。最优化设计的前提是最优准则的确定，在FIR滤波器最优化设计中，常用的准则有①最小均方误差准则②最大误差最小化准则。1)均方误差最小化准则，若以E(ejω)表示逼近误差，则那么均方误差为deEdeHeHjjjd2222121)()(jjdjeHeHeE）（均方误差最小准则就是选择一组时域采样值，以使均方误差，这一方法注重的是在整个-π～π频率区间内总误差的全局最小，但不能保证局部频率点的性能，有些频率点可能会有较大的误差，对于窗口法FIR滤波器设计，因采用有限项的h(n)逼近理想的hd(n)，所以其逼近误差为：如果采用矩形窗则有ndnhnh22)()(其它01)()(Nnonhnhd1222|)()(||)()(|nNnddnhnhnhnh可以证明，这是一个最小均方误差。所以，矩形窗窗口设计法是一个最小均方误差FIR设计，根据前面的讨论，我们知道其优点是过渡带较窄，缺点是局部点误差大,或者说误差分布不均匀。2)最大误差最小化准则（也叫最佳一致逼近准则）表示为其中F是根据要求预先给定的一个频率取值范围，可以是通带，也可以是阻带。最佳一致逼近即选择N个频率采样值（或时域h(n)值），在给定频带范围内使频响的最大逼近误差达到最小。也叫等波纹逼近。优点：可保证局部频率点的性能也是最优的，误差分布均匀，相同指标下，可用最少的阶数达到最佳化。min|)(|maxjeEF例如，我们提到的频率采样最优化设计，它是从已知的采样点数N、预定的一组频率取样和已知的一组可变的频率取样（即过渡带取样）出发，利用迭代法（或解析法）得到具有最小的阻带最大逼近误差（即最大的阻带最小衰减）的FIR滤波器。但它只是通过改变过渡带的一个或几个采样值来调整滤波器特性。如果所有频率采样值（或FIR时域序列h(m)）都可调整，显然，滤波器的性能可得到进一步提高。MnMnjnnannhheH01cos)(cos)(2)0()(低通滤波器的误差分配切比雪夫最佳一致逼近如图，用等波纹逼近法设计滤波器需要确定五个参数：M、ωc、ωr、δ1、δ2按上图所示的误差容限设计低通滤波器，就是说要在通带0ωωp内以最大误差δ1逼近1，在阻带ωrω内以最大误差δ2逼近零。要同时确定上述五个参数较困难。常用的两种逼近方法：1）给定M、δ1、δ2，以ωc和ωr为变量。缺点：边界频率不能精确确定。2）给定M、ωc和ωr，以δ1和δ2为变量，通过迭代运算，使逼近误差δ1和δ2最小，并确定h(n)——切比雪夫最佳一致逼近。特点：能准确地指定通带和阻带边界频率。等波动逼近的低通滤波器cr一.误差函数定义逼近误差函数：)()(HHWEd为所设计的滤波器与理想滤波器的幅频特性在通带和阻带内的误差值，是已知的权函数，在不同频带可取不同的值，所要设计的滤波器的幅频特性理想滤波器的幅频特性rcdH001rckW101例如，希望在固定M,c,r的情况下逼近一个低通滤波器，这时有21k21cos)()(0NMnnaHMn21,,2,1,212)(,21)0(NnnNhnaNha对于表4.1中的第一种滤波器，)1(]cos)()()[()(0MndnnaHWE于是切比雪夫逼近问题变为，寻求一组系数使逼近误差的最大值达到最小，即,,,1,0),(Mnna2minmaxE给定后等效于求最小。二.交替定理（最佳逼近定理）令F表示闭区间的任意闭子集，为了使在F上唯一最佳地逼近于,其充分必要条件是误差函数在F上至少应有（M+2）次“交替”，即其中，且属于F。1）至少有M+2个极值，且极值正负相间，具有等波纹的性质，2）由于是常数，所以的极值也就是的极值。)(H)(dH借助于低通滤波器的设计，可以直观地解释这个定理。这时，闭子集F包括区间和。因为滤波器频响是逐段恒定的，所以对应于误差函数各峰值点的频率同样也对应于恰好满足误差容限时的频率。根据前面的讨论，在开区间内至多有M-1个极值，此外，根据通带和阻带的定义，令的约束条件为，，再加上和π处的极值，误差曲线最多有M+1个极值频率（交替）满足定理。逼近方法：固定k、M、和，以作为参变量。按照交替定理，如果F上的M+2个极值点频率已知，则由（1）式可得到M+2个方程：iMniidinnaHW)1(cos)(0为极值点频率对应的误差函数值crcr10Mllc1lr注意：极值点频率必须位于和区间内。由于和固定，因而和必为这些极值频率中的一个，设，则应有求解上述方程组可得到全部系数问题：1）实际情况下，M+2个极值点频率未知；2）直接求解上述非线性方程组比较困难。雷米兹（Remez）算法给出了求解切比雪夫最佳一致逼近问题的方法。雷米兹交替算法三.雷米兹（Remez）算法1）在频率子集F上均匀等间隔地选取M+2个极值点频率1010)(/)1()(MkkkkMkkdkWH)cos(cos11,0kiMkiik式中2）由求和利用重心形式的拉格朗日插值公式，)(H)(E1010coscos)(]coscos[)(MkkkMkkkkHHMkWHHkkkdk,,1,0)()1()()(其中)()(HHWEd如在频带F上，对所有频率都有，则为所求，即为极值点频率。E3）对上次确定的极值点频率中的每一点，在其附近检查是否在某一频率处有，如有，则以该频率点作为新的局部极值点。对M+2个极值点频率依次进行检查，得到一组新的极值点频率。重复步骤1）、2），求出，完成一次迭代。重复上述步骤，直到的值改变很小，迭代结束，这个即为所求的最小值。由最后一组极值点频率求出，反变换得到,完成设计。优点：可准确确定；逼近误差均匀分布，相同指标下，滤波器所需阶数低。E)()(EH、、2)(H)(nhsc和有一些估算公式可用于决定最佳滤波器长度N：对于窄带低通滤波器，对滤波器长度N起主要作用：12/)(6.1413lg2021crN12/)(22.0lg202crN例4利用雷米兹交替算法，设计一个线性相位低通FIR数字滤波器，其指标为：通带边界频率fc=800Hz，阻带边界fr=1000Hz，通带波动dB5.0阻带最小衰减At=40dB，采样频率fs=4000Hz。解0559.010120/101.01020/2At4.04000/2800c5.04000/2100r代入（4.84）式求得28N，fedge=[8001000];mval=[10];dev=[0.05590.01];fs=4000;[N,fpts,mag,wt]=remezord(fedge,mval,dev,fs);b=remez(N,fpts,mag,wt);[h,w]=freqz(b,1,256);plot(w*2000/pi,20*log10(abs(h)));grid;xlabel('频率/Hz')ylabel('幅度/dB')§4.5IIR与FIR数字滤器的比较FIRIIR设计方法一般无解析的设计公式，要借助计算机程序完成利用AF的成果，可简单、有效地完成设计设计结果可得到幅频特性（可以多带）和线性相位（最大优点）只能得到幅频特性，相频特性未知（一大缺点），如需要线性相位，须用全通网络校准，但增加滤波器阶数和复杂性稳定性极点全部在原点（永远稳定）无稳定性问题有稳定性问题阶数高结构非递归递归系统运算误差一般无反馈，运算误差小有反馈，由于运算中的四舍五入会产生极限环快速算法可用FFT实现，减少运算量无快速运算方法低