4.连续时间信号与系统的复频域分析_信号与系统

4连续时间信号与系统的复频域分析第4章连续时间信号与系统的复频域分析4.1拉普拉斯变换4.4拉普拉斯变换与傅立叶变换的关系4.3拉普拉斯变换逆变换4.2拉普拉斯变换的性质4.5线性系统的复频域分析4.6连续系统的系统函数与系统特性4.7连续系统的稳定性4连续时间信号与系统的复频域分析本章首先由傅氏变换引出拉氏变换，然后对拉氏正变换、拉氏反变换及拉氏变换的性质进行讨论。本章重点在于，以拉氏变换为工具对系统进行复频域分析。最后介绍系统函数以及H(s)零极点概念，并根据他们的分布研究系统特性，分析频率响应，还要简略介绍系统稳定性问题。注意与傅氏变换的对比，便于理解与记忆。4连续时间信号与系统的复频域分析•以傅里叶变换为基础的频域分析方法的优点在于：它给出的结果有着清楚的物理意义，但也有不足之处，傅里叶变换只能处理符合狄利克雷条件的信号，而有些信号是不满足绝对可积条件的，因而其信号的分析受到限制；•另外在求时域响应时运用傅里叶反变换对频率进行的无穷积分求解困难。)(d21)(1jtxFωeωXtxtttxd4连续时间信号与系统的复频域分析为了解决对不符合狄氏条件信号的分析，第三章中引入了广义函数理论去解释傅里叶变换，同时，还可利用本章要讨论的拉氏变换法扩大信号变换的范围。•优点：求解比较简单，特别是对系统的微分方程进行变换时，初始条件被自动计入，因此应用更为普遍。•缺点：物理概念不如傅氏变换那样清楚。4连续时间信号与系统的复频域分析§4.1拉普拉斯变换4连续时间信号与系统的复频域分析x(),e(),:tt信号乘以衰减因子为任意实数后容易满足绝对可积条件依傅氏变换定义称为复频率。具有频率的量纲令,,j:s则1．拉普拉斯正变换×ttxFXe)(1ttxttdee)(j×ttxtde)()j(×)j(XttxsXtsde4.1.1从傅立叶变换到拉普拉斯变换4连续时间信号与系统的复频域分析ejtt由于x是X的te以两边同乘jdd;j:ss则取常数，若其中所以2．拉氏逆变换ttxsXttxXtstdedejjdeπ21ejttjXtxdejπ21jtXtxjj::s对积分限：对jjdejπ21ssXtxts傅氏逆变换4连续时间信号与系统的复频域分析起因信号：考虑到实际信号都是有,0相应的单边拉氏变换为系统采用所以3．拉氏变换对jj1dejπ21deσσtstsssXtxLtxttxtxLsX逆变换正变换sXtx:记作称为象函数。称为原函数，sXtxttxωXtωdej0jj10dejπ21deσσtstsssXsXLtxttxtxLsX4连续时间信号与系统的复频域分析收敛域：使X(s)存在的s的区域称为收敛域。记为：ROC(regionofconvergence)实际上就是拉氏变换存在的条件；σωj0σ收敛轴收敛区收敛坐标000e)(limσσtxtσt4.1.2拉普拉斯变换的收敛性4连续时间信号与系统的复频域分析6.一般求函数的单边拉氏变换可以不加注其收敛范围。进行拉氏变换。为非指数阶信号，无法，长快，找不到收敛坐标等信号比指数函数增2e.5tαttta0eelim.4例题及说明；的信号成为指数阶信号满足00e)(lim.1σσtxtt氏变换一定存在；有界的非周期信号的拉.200elim.3tntt4连续时间信号与系统的复频域分析0de1)(ttuLst1.阶跃函数2.指数函数0deeetLsttαtαssst1e100esαtsαsα1ασ全s域平面收敛1de0tttLst0ede000ststtttttL3.单位冲激信号4.1.3常用函数的拉普拉斯变换4连续时间信号与系统的复频域分析0detttLst201e11sssst0detttLstnn01dettsnstn0de1stts00dee1ttsstst2n3222122ssstLstL3n43236233ssstLstL1nntLsntL0estnst01dettsnstn1!nnsntL1n所以所以4．tutn4连续时间信号与系统的复频域分析§4.2拉普拉斯变换的基本性质4连续时间信号与系统的复频域分析jj1()cos()ee2ωtωtxtωtωsωstωLj1j121cos22ωss已知则αsLtα1e同理22sinωsωtωL例题：4.2.1线性)()()()(,),()(),()(22112211212211sXKsXKtxKtxKLKKsXtxLsXtxL则为常数，若4连续时间信号与系统的复频域分析00000()()()()edstLxttuttxttuttt0de)(0tsttttf，令0ttτ代入上式则有,dd,0τttt0000()()()eedstsτLxttuttxττ0()estXs证明：4.2.2延时（时域平移）000()()()()()e若，stLxtXsLxttuttXs则4连续时间信号与系统的复频域分析22211111ssssssX。求＝已知)(,4πcos2)(sXtuttx1111tututLttuLsFsFttutf求,1已知【例】tttttxsincos4πsinsin24πcoscos2ssse112【例】4连续时间信号与系统的复频域分析0()e()eed()αtαtstLxtxttXsα证明：4.2.3s域平移()()()e()αtLxtXsLxtXsα若，则4连续时间信号与系统的复频域分析2020)(cos:ωsstutωL已知2020)(coseωαsαstutωta所以20200)(sine:ωαsωtutωta同理的拉氏变换求tωtα0cose例4连续时间信号与系统的复频域分析d()()(),()(0)d若xtLxtXsLsXsft22d()0(0)d()(0)(0)xtLsXsxxtsXssXx11()0d()()(0)dnnnnrrrxtLsXssxt推广：证明：000edeed0()stststxttxtsxttxsXs4.2.4．原函数微分4连续时间信号与系统的复频域分析)()(),()(sVtvLsItiLCCCC设tcCiCtvd)(1)(sissICsVCCC)0()(1)()1()0(d)(1)0(10)1(CCCviCiC)0(1)(1CCvssIsCtiCtvCCsC101CvssICsVC电容元件的s模型电容元件的s域模型4连续时间信号与系统的复频域分析证明：00dddttxττxττxττ10x00dedtstxττt000e1dedstttstxττxttss①②①②01edtstxtts10XsXss4.2.5原函数的积分()()若，LxtXs1(0)()()dtxXsLxττss则4连续时间信号与系统的复频域分析)()(),()(sVtvLsItiLLLLLttiLtvLLd)(d)()0()()0()()(LLLLLLisIsLissILsV)(tiL)(tvLLsILLs0LLisVL电感元件的s模型应用原函数微分性质设电感元件的s域模型4连续时间信号与系统的复频域分析d()()d常用形式：XsLtxts4.2.6对s微分()()d()()(1)d若，nnnnLxtXsXsLtxtns为整数4连续时间信号与系统的复频域分析()()edstXsxtt两边对s积分：()d()eddstssXssxtts交换积分次序:()eddstsxtst1()edstsxttt()edstxttt证明：4.2.7对s积分()()()()d若，sxtLxtXsLXsst则4连续时间信号与系统的复频域分析时移和标度变换都有时:1()()e0,0若bsasLxatbuatbXabaa0()()edstLxatxatt，则令atτ0()()edsτaτLxatxτa01()edsτaxττa1sXaa4.2.8尺度变换()(),1()0若LxtXssLxatXaaa证明：则4连续时间信号与系统的复频域分析若X不是真分式：s1()()XsXsk0(0)lim()lim()lim()sstxsXsksXsksxt4.2.9初值0d()()()(),dlim()(0)lim()tsxtxtxtXstxtxsXs若及可以,且拉氏变换则中有中有。Xsxtδt常数项，表明4连续时间信号与系统的复频域分析ttxLxssXd)(d0)(tttxstded)(d0tttxtttxststded)(dded)(d000tttxxssXstded)(d0)(0所以0delimd)(dded)(dlim00tttxtttxstssts由原函数微分定理可知tttxxxstded)(d000初值定理证明4连续时间信号与系统的复频域分析2020)(cos:ωsstutωL已知2020)(coseωαsαstutωta所以20200)(sine:ωαsωtutωta同理的拉氏变换求tωtα0cose例4连续时间信号与系统的复频域分析终值存在的条件:0d()()0eddstxtsXsxtt000d()lim()0limeddstssxtsXsxtt0lim()0txxtx证明：根据初值定理证明时得到的公式lim()txt4.2.1