二次函数的图象与系数的关系

二次函数y=ax2+bx+c的图象与系数a,b,c的关系回顾知识点：`1、抛物线y=ax2+bx+c的开口方向与什么有关？2、抛物线y=ax2+bx+c与y轴的交点是.3、抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是.(0,c)x=-b2aa1.a的符号当a0时，抛物线开口向上；当a0时，抛物线开口向下。|a|越大，抛物线的开口越窄；|a|相同，抛物线的开口大小相同探索发现抛物线开口向上抛物线开口向下a0a02.b的符号由于对称轴是x=－b/2a;a,b共同决定对称轴的位置.x=－b/2ax=－b/2a左同右异交点在y轴左侧ab＞0a、b同号交点在y轴右侧ab＜0a、b异号3.c的符号决定抛物线与y轴交点的位置，交点坐标为（0，c)C＞0交点在y轴正半轴C=0抛物线过原点C＜0交点在y轴负半轴4.b2－4ac的符号抛物线与x轴的交点纵坐标为0，所以由y=ax2+bx+c(a≠0)得0=ax2+bx+c(a≠0),方程解的个数显示抛物线与x轴交点的个数。b2－4ac＞0b2－4ac＝0b2－4ac＜0抛物线与x轴有两个交点抛物线与x轴有一个交点抛物线与x轴无交点5.抛物线与x轴有两个交点，两个交点间的距离为d=∣x1－x2∣(x1,0)(x2,0)(x1,0)(x1,0)(x2,0)(x2,0)12x2xx对称轴由交点横坐标还可以得到抛物线的12x2xx对称轴抛物线的思考：若A，B,在抛物线上，且关于对称轴对称(x1,a)(x2,a)(x1,a)(x2,a)AB则对称轴与A,B两点的横坐标有怎样的关系？二次函数关于轴对称的规律是什么?对于顶点式：2①y=a(x-h)+k与y=a(x+h)+k两图像关于y轴对称,即顶点（h,k）和（－h,k）关于y轴对称,横坐标相反,纵坐标相同.2②y=a(x-h)+k与y=-a(x-h)-k两图像关于x轴对称,即顶点（h,k）和（h,－k）关于y轴对称,横坐标相同,纵坐标相反.③y=a(x-h)+k与y=-a(x-h)+k关于顶点对称,即顶点（h,k）和（h,k）相同,开口方向相反.22④y=a(x-h)+k与y=-a(x+h)-k关于原点对称,即顶点（h,k）和（－h,－k）关于原点对称,横坐标相反,纵坐标相反.22对于一般式：①y=ax+bx+c与y=ax-bx+c两图像关于y轴对称2222②y=ax+bx+c与y=-ax-bx-c两图像关于x轴对称2③y=ax+bx+c与y=-ax+bx-c关于原点对称.2关于y轴对称。关于x轴对称。关于顶点对称。关于原点对称。关于y轴对称。关于x轴对称。关于原点对称。小结拓展抛物线y=ax2+bx+c的系数的符号由抛物线的位置决定。它们具有等价的关系。（1）a的符号由抛物线的开口确定。开口向上a0开口向下a0(2)b的符号由对称轴的位置确定。对称轴在y轴左侧a,b同号对称轴是y轴b=0对称轴在y轴右侧a,b异号(3)c的符号由抛物线与y轴的交点确定。交点在y轴正半轴上c0交点是原点c=0交点在y轴负半轴上c0(4)b2-4ac的符号由抛物线与x轴交点的个数确定。抛物线与x轴有两个交点b2-4ac0抛物线与x轴有1个交点b2-4ac=0抛物线与x轴无交点b2-4ac0(5)a+b+c的符号由x=1时抛物线上的点(1,a+b+c)所在象限位置确定。（6）a-b+c的符号由x=-1时抛物线上的点（1,a+b+c）所在象限位置确定。（7）b2-4ac的符号拓展你会判断4a+2b+c,9a+3b+c的符号吗?已知，y=ax2+bx+c的图象如下，试判断a,b,c,b2-4ac,a+b+c,a-b+c的符号。例题学习解：∵开口向上∴a0抛物线与y轴交于负半轴∴c0xy2ba对称轴在轴右侧2ba0,而a0∴b0由图象可知抛物线与x轴有两个交点∴b2-4ac0222b42440,a0,440acbaaacbabac顶点（-,）在第四象限又y．-1x·1当x=1时，y=a+b+c由图象可知，点（1，a+b+c）在第四象限a+b+c0又x=-1时，y=a-b+c由图象可知，点（1,a-b+c）在第二象限∴a-b+c0归纳：由x=1时抛物线上的点的位置确定。（2）a-b+c的符号：由x=-1时抛物线上的点的位置确定（3）b2-4ac的符号由抛物线与x轴的交点个数确定，也可以由顶点的位置确定。y．-1x·1(1)a+b+c的符号1.根据图象判断a、b、c及b2－4ac的符号a____0b____0c_____0b2－4ac_____0a____0b____0c_____0b2－4ac_____0a____0b____0c_____0b2－4ac_____0a____0b____0c_____0b2－4ac_____0＞＜＞＜＜＝＝＝＞＞＝＞＜＞＜＜2.若二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么a,b,c,b2－4ac,a+b+c,a－b+c中值小于零的有（）A5个；B4个；C3个；D2个。3.如果函数y=kx+b的图象在第一、二、三象限内，那么函数y=kx2+bx－1的图象大致是（）1A－1B1C－1D●－11●cＢ4.已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论中：①abc＞0；②b=2a；③a+b+c＜0；④a+b-c＞0;⑤a-b+c＞0正确的个数是（）A、2个B、3个C、4个D、5个xoy-11C5.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，下列判断不正确的是（）①、abc0,②、b2-4ac0,③、a-b+c0,④、4a+2b+c0.xyo-126.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与一次函数y=ax+c在同一坐标系内的大致图象是（）xyoxyoxyoxyo(C)(D)(B)(A)④C7.抛物线y=2x2+8x-11的顶点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限8.不论k取任何实数，抛物线y=a(x+k)2+k(a≠0)的顶点都在（）A.直线y=x上B.直线y=-x上C.x轴上D.y轴上9.若二次函数y=ax2+4x+a-1的最小值是2,则a的值是（）A4B.-1C.3D.4或-1CBA