随机过程4(3.4)

●之前对平稳过程的讨论都是在时域上进行的.相关函数在时域上描述了平稳过程的统计特征.●但对许多物理和工程领域中问题,不仅要研究其在时域上的特性,还要研究其在频域内的特征,即从频率的角度来研究随机过程的统计特征.例如对信号处理、线性系统分析以及随机振动的研究.其中广泛采用的方法是频率域分析方法.§4平稳过程的功率谱密度●频率域分析方法的重要工具是Fouier变换,它可以确定时域与频域的转换关系.●为了在频域上描述平稳过程的统计特征，需要研究相关函数的谱分析。为此要引入谱密度.谱密度是在频域内研究平稳过程的重要指标.数学上它是相关函数的Fouier变换,它的物理意义是功率谱密度.●时域分析法与频域分析法相互联系,且各有优点,构成了研究平稳过程的两个重要分支.1.功率谱密度的概念21lim()2TTTPxtdtT●工程实际中,能量有限的信号x(t)称为能量型信号,可以定义它的总能量:2()xtdt当时间趋于无穷时,它的平均功率趋于零.●另一类信号x(t),其能量是无限的,但平均功率有限.即称为功率型信号.周期信号就是常见的功率信号.设有确定性信号x(t)(时间函数)在区间(-∞,+∞)上绝对可积,则x(t)的Fouier变换存在(或说x(t)具有频谱).()()jtxFxtedt1()()2jtxxtFed逆变换2(())xWxtdtt记为在(-,+)上的总能量21()()()[]2jtxWxtdtxetddtF则1[()()]2jtxFxtedtd21()2xFd221()()2(xxtParsevaldtFd即等式)()()xFxt2右边的被积式称为信号的能谱密度.说明信号的总能量等于能谱密度在全频域上的积分.右式也是总能量的谱表达式.()xt左边为在(-,+)上的总能量221()()2xxtdtFd即由于实际中很多信号(函数)的总能量是无限的,不满足绝对可积的条件,所以通常研究x(t)在(-∞,+∞)上的平均功率,即21lim()2TTTxtdtT为了能利用Fouier变换给出平均功率的谱表达式,构造一个截尾函数:()()0TxttTxttT令()TxtFourier则绝对可积，存在变换以及逆变换()(,)()TjtxjtTTFextdTxtdtetParseval由等式2221()()2()TTTxxtdxtdFTdtt,221li1lim()m(,)42TTxTTxtdtTTFTd21lim12(,)2xTFTTd2211lim(,)lim22()TjtxTTTxSFTextdtTTxt称（）为（）在处的功率谱密度21lim221()TjtTTTextdtd定义设{X(t),-∞t+∞}是平稳过程,则称1limE()2TjtTTeXtdtT2为平稳过程的功率谱密度.简称谱密度.并记(,)()TjtXTFTeXtdt2211lim(,)lim22())xxTTTjtTSFTTTxxtetdt即（）为确定性信号(在处的功率谱密度21lim[()].2TTTEXtdtT平为过程的均功率称定理1设{X(t),-∞t+∞}是平稳过程,若RX(τ)绝对可积,则有1lim()2()TjtTTXEeXtdtTS2+2--1lim[(,)]=2juXXTEFTRueduT（）1E()2TjtTeXtdtT2证1E[()()]2TTjsjtTTeXsdseXtdtT()1()2TTjtsXTTeRtsdsdtT)utsvts(令22(1)()2TjwuXTueRuduT21)()(),220TXXTRRTT（(令lim()())TXXRR则()XjwuTeRudu1lim()()2TjtTTXEeXtdTSt2即lim()()XjwuTjwuXTeRudueRudu()XS注意：从上面的定理看出，若平稳过程{X(t),t∈T}的相关函数RX(τ)绝对可积，则相关函数的傅里叶变换和逆变换存在，即有()(),-1()()-2jXXjXXSeRdReSd称上式为维纳-辛锌公式2.谱密度的性质和计算性质1平稳过程的谱密度是非负实函数.特别实平稳过程的谱密度是非负实偶函数.证明1()lim()2TjtXTTSEeXtdtT2()XS为非负实函数.特别对实平稳过程,()jXXSdRe（）()XjedR()()XXRR有)()XjdRe(XS（-）XXSS（-）（）性质20()XXSRd（）1(0)2XXRSd（）平均功率说明00以上是，时,两对特殊的Fourier变换.第一式说明功率谱密度曲线下的总面积(平均功率)等于平稳过程的均方值.第二式说明功率谱密度的零频率分量等于相关函数曲线下的总面积.谱密度的计算●广义积分-可利用复变函数中的留数定理●利用已知的基本公式和Fourier变换的性质等121(),,...,()2Res[(),]nnkkCfzDzzzfzdzjfzz函数在区域内除有限个孤立奇点外处处解析，C是D内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线，则留数定理●利用已知的一些性质计算，P97是R(z)的分母在上半复平面的零点。若假设R(x)是分母无实零点的有理函数，且分子分母没有相同的零点，而分母的幂次比分子的幂次至少高一次，则有()2Re[(),]jazjaxkkeRxdxiseRzzkzkz是R(z)分母的n重零点，则(1)1Re[(),]lim[()()](1)!kjazjaznnkkzzseRzzeRzzznFourier变换的性质●线性性质●位移性质●微分性质1212[()()][()][()]ftftftftFFF00[()][()]jtftteftFF()[()]()[()]nnftjftFF例1：计算电报信号过程的谱密度.解：电报信号过程的相关函数为2(),(,)XRe由维纳-辛锌公式，X的谱密度为：2222()()2cos4(,)4jXXjSRedeeded例2：设X={X(t),t∈(-∞,+∞)}是零均值的实的正交增量过程，且满足E[X(t)-X(s)]2=|t-s|.令：Y(t)=X(t)-X(t-1),t∈(-∞,+∞)，验证：随机过程Y={Y(t),t∈(-∞,+∞)}是平稳过程，并计算Y的谱密度.解()(())(()(1))0YmtEYtEXtXt(,)(()())(()(1))(()(1))YRttEYtYtEXtXtXtXt22221{[()(1)][()()]2[(1)()][(1)(1)]}EXtXtEXtXtEXtXtEXtXt1,11[121]0,12因此，Y是平稳过程，利用公式可得Y的谱密度如下：11222()()(1)4sin()2(1cos)2,jjYYSeRded例3：设平稳过程X={X(t):t∈(-∞,+∞)}有谱密度242()32XS试计算平稳过程X的平均功率RX（0）.解：2042221(0)221111()(21)2212jXRedd例4.已知平稳过程的功率谱密度为2424()109XS求其相关函数与平均功率.利用留数定理1()()2jXXReSd222142(9)(1)jed222222142[Res(,)2(9)(1)4Res(,3)](9)(1)jjjejej335()1648jeejj3351648ee222222443Res(,)lim()(9)(1)(9)(1)16jjjejjeej222222344Res(,3)lim(3)(9)(1)(9)(1)548jjjejjeej225131()8981XS解-2224[]4e利用F312222223122514314864()824()113122222231225434()]]484()[[164()XRFF3534816ee7(0)24XR例5.已知平稳过程的相关函数32()54(cos2)XRe求其谱密度.33()522cos4)XRee解([()]XXSRF3325[1]2[]2[cos4]eeFF[[F10()212922332[]9(4)9(4)上面讨论的平稳过程的谱密度是针对连续时间参数的，对于离散时间参数的平稳序列有类似的概念和结论.设{Xn,n=0,±1,…}为平稳时间序列,且其相关函数绝对收敛，即()XmRm则以下级数收敛，并记为SX(ω),即(),jmXXmSeRm（）称函数SX(ω)是平稳过程X的谱密度.且有反变换1(),0,1,2,2jmXXRmeSdm（）举例2设{Xn,n=0,±1,…}为复随机变量序列,且2E[]0,0,1,...E[X(m)X(n)]=,,0,1,...nmnXnnm试求{Y(n),n=0,±1,±2,…}的谱密度.2{,0,1,},()l.i.m()nnnnnNkkMkkMNCnCCCXnkCXnk为一复数序列,且令Y(n)=由定理41.要证该序列为平稳序列2.说明相关函数是绝对收敛的3.利用维纳-辛钦公式计算谱密度.()()]YkkmnCXnk=E[()]0kkCXnk=E[(,)()()YRnnmYnYnm=E[]()()]kllCXnkCXnml++k=-=-E[E[()()]klklCCXnkXnml+=-2()kkmYRmCC+k=-{(),1,...}.Ynn为平稳时间序列2()kkmYmmCCRm+k=-又2mkkmCC+k=-22nlklnCCC+k=-）（()Yn存在谱密度，且为2()jmjmXXmkkmmCCSeRme+k=-（）2lkjjkllkCeCe