随机过程9(2.4)

四均方积分1.均方积分的定义设{X(t),t∈[a,b]}是二阶矩过程，f(t,u)是[a,b]×U上的普通函数，对区间[a,b]任一划分01natttb1,1,2,,)kkktttkn（记1[,],1,2,,kkkttntk任取（）作和式1(,)(),kknkkttfuXtH如果以下均方极限存在01..(,)()nkkkklimftuXtt1maxkknt令该均方极限值Y(u)称为{(,)(),[,]}ftuXttab在[a,b]上的均方积分.kt且此极限不依懒于对[a,b]的分法及的取法,则称{(,)(),[,]}ftuXttab在[a,b]上均方可积.(,)(),baftuXtdt记为即(,)(),()baftuXtdtuYUu{(),}{(,)()[,],[,]}aYuuUftuXttabb称为在上的均方积分过程．特别当f(t,u)=1时，{(),[,]}Xttab在[a,b]上的均方积分是一个二阶矩变量，即()baYXtdt可用与通常的微积分一样的方法来定义广义均方积分(,)()..(,)()baabftuXtdtlimftuXtdt(,)()..(,)()bbaaftuXtdtlimftuXtdt2．均方可积准则定理设{(),,]}[Xttab是二阶矩过程，f(t,u)是[,]abU上的普通函数，则{(,)(),[,]}ftuXttab在[a,b]上均方可积的充分条件是下列二重积分存在(,)(,)(,)bbaaXfsuftuRstdsdt证明(,)(,)(,)[][,]XfsuftuRstabab,因为在上二重积分存在则对[a,b]×[a,b]的任一分割01nbttta01mbsssa11,[,][,],1,2,,)kkklllsstmsklntt以及任取的（=1(,），有(,)(,)(,)bbXaafsuftuRstdsdt0110lim(,)(,)(,)kstmnXlkklkllfufuRsststt（存在）0110lim[(,)(,)E()]tksmnklkklllfuXfuXstsstt（）0110Elim[(,)(,)()]kstmnklkklllfuXsfuXssttt（）0110lim[(,)(,)()E]tksmnklklkllssttfuXsfuXt（）由均方收敛准则知01..(,)()nkkkklimftuXtt存在(,)(){},[,[],]ftuXttabba即在上均方可积.特别当f(t,u)=1时,定理即为二阶矩过程{X(t),t∈[a,b]}在[a,b]上均方可积的充分条件,即下列二重积分存在(,)bbXaaRstdsdt(,)XRst其中为过程的相关函数推论(,)(,)(,)XaafsuftuRstdsdt设{X(t),t∈[a,+∞]}是二阶矩过程,f(t,u)是[,]aU上的普通函数,则{(,)(),[,]}ftuXtta在[a,+∞]上广义均方可积的充分条件是下列广义二重积分存在举例讨论Wiener过程的均方可积性．2(,)min(,),(,0)WstRstst由于则对b0,二重积分20000(,)min(,)bbbbWRstdsdtstdsdt20023()3bsbstdtsdtdsb由均方可积准则,对一切b0,Wiener过程在[0,b]均方可积.3.均方积分的性质定理1若二阶矩过程{(),[,]}Xttab在[a,b]上均方连续，则{(),[,]}Xttab在[a,b]上均方可积．证明由{X(t),t∈[a,b]}均方连续RX(s,t)在[a,b]×[a,b}上连续(,)bbXaaRstdsdt存在所以{X(t),t∈[a,b]}在[a,b]上均方可积.均方连续准则(1)(唯一性)设二阶矩过程{f(t,u)X(t),t∈[a,b]}在[a,b]上均方可积.则均方积分在概率1下是唯一的.即若12(,)(),(,())(())bbaaftuXtdtftuYuXdtutY12(()())1YuYPu则有证明由均方极限的唯一性可得.定理2(2)(线性性)((,)()(,)())(,)()(,)()babbaaftuXtgtuYtdtftuXtdtgtuYtdt在[a,b]上都是均方可积的，则对任意的常数α,β,{(,)(),[,]},{(,)(),[,]}ftuXttabgtuYttab(,)()(,)(){}[a,b,[,]]ftuXtgtuYttab在上也均方可积，且若二阶矩过程证明由均方极限的运算性质可得.(3)(可加性)(,)()(,)()(,)()bcbaacftuXtdtftuXtdtftuXtdt,{(,)(),[,]}ftuXttacbab则在[a,c]和[c,b]上也均方可积，且设二阶矩过程{f(t,u)X(t),t∈[a,b]}在[a,b]上均方可积.(4)设二阶矩过程{(),[,]}Xttab均方连续，则12222E()([E()])bbaaXtdtXtdt2E[X()X()]E()bbaaabstdsdtXtdt证明112222[EX(E[X()X(s)][EX())]]bbabaaabstdsdtdsdtt1222([()])baEXtdt222()()()max()baatbbaEXtdtbaEXt1222(1[()])baEXtdt221()bbaadtEXtdt222()E()()maxE()baatbbaXtdtbaXt定理3(均方积分过程的数字特征)(1)()(,)(),bYXamuftumtdtuU设二重积分(,)(,)(,)bbXaafsuftuRstdsdt则积分过程()(,)()baYuftuXtdt的数字特征为存在，证明()E[()]YmuYu(,)()bXaftumtdtE[(,)()]baftuXtdt01E[..(,)()]nkkkklimftuXtt01(,)E[X()]nkkkklimftuttuU(2)(,)(,)(,)(,),,bbYXaaRuvfsuftvRstdsdtuvU证明(,)E[Y()Y()]YRuvuv(,)(,)(,)bbXaafsuftvRstdsdt0011E[..(,)()..(,)()]lknnkllkkkkklimfsuXsslimftvXtt0110(,)(E[()(),])]lknnlklkllkklimfsuftvXsXtst0110(,(,)(,))lknnlklklkXlklimfsuftsvstRt,uvU(3)(,)(,)(,)(,),,bbYXaaCuvfsuftvCstdsdtuvU(4)()(,)(,)(,),bbYXaaDufsuftuCstdsdtuU(5)()(,)(,)(,),bbYXaaufsuftuRstdsdtuU(3)的证明可利用(1)和(2)的结论.(4)的证明可利用DY(u)=CY(u,u)(5)的证明可利用ΦY(u)=RY(u,u)4.均方不定积分定义设二阶矩过程{(),[,]}Xttab在[a,b]上均方连续.()(),[,],taYtXsdstab令{(),[,]}{(),[,]}YttabXttab则称为在[a,b均方不]上的定积分.定理{(),[,]}Yttab在[a,b]上均方可导,且(1)(()())1PYtXt(2)()(),[,]tYXamtmsdstab(3)(,)(,),,[,]stYXaaRstRuvdudvstab设二阶矩过程{X(t),t∈[a,b]}在[a,b]上均方连续.则其均方不定积分证明(1)20()()E..()tYttYtlimXtt20E()()YtXt201E..()()ttttlimXsdsXtt201E..(()())ttttlimXsXtdst2201E(()())()ttttlimXsXtdst0222max1()()E()()0tstttlitsXtmtX2E()()0YtXt所以(()())1PYtXt即(2),(3)的证明与积分过程数字特征的证明类似.略定理()()()baXsdsXbXa导数过程{(),[,]}Xttab在[a,b]上均方连续,则设二阶矩过程{X(t),t∈[a,b]}在[a,b]上均方可导.证明()(),[,],taYtXsdstab令则{Y(t),t∈[a,b]}在[a,b]上均方可导,且()()[()()]0YtXtYtXt，即()()YtXtX即有取t=a,得X=-X(a)再取t=b,得()()()baXsdsXbXa举例讨论随机过程的均方连续性,均方可导性及均方可积性.①{X(t)=At+B,t∈(-∞,+∞)}A,B独立同服从N(0,σ2).②{X(t),t≥0}的均值函数为mX(t)=0,相关函数为(,),0atsXRstea设有下列两个随机过程分别为2(,)(1)XRstst①均方连续,可导,可积.②均方连续,可积.但不均方可导.(,),0atsXRstea在(t,t)处连续00(,)(,)1limlimahXXhhRthtRtteahh但00(,)(,)1limlimahXXhhRthtRtteahh①{X(t)=At+B,t∈(-∞,+∞)}A,B独立同服从N(0,σ2).②{X(t),t≥0}的均值函数为mX(t)=0,相关函数为(,),0atsXRstea若{X(t),t∈T}均方可导,则求导数过程{X′(t),t∈T}的均值函数和相关函数.两个随机过程分别为22(1)()()0(,)(,)XXXXmtmtRstRstst①{X(t)=At+B,t∈(-∞,+∞)}A,B独立同服从N(0,σ2).②{X(t),t≥0}的均值函数为mX(t)=0,相关函数为(,),0atsXRstea两个随机过程分别为若{X(t),t∈T}均方连续.令0()(),0tYtXsdst求均方不定积分{Y(t),t≥0}均值函数和相关函数.①22200()01(,)(,)()4YstYXmtRstRuvdudvstst()0Ymt②0000(,)(,)ststauvYXRstRuvdudvedudv()2222111(1)0,asatatssseeeaaata0≦s≦tuvu=vstuvuv0uvu=vstuvuv0≦ts0()2222111(1)0,atasasttteeeaaasa0000(,)(,)ststauvYXRstRuvdudvedudv0000(,)(,)ststauvYXRstRuvdudvedudv()222()2222111(1),02111(1),0asatatsatasastseeestaaaateeetsaaaa0≦s≦tuvu=vstuvuv0uvu=vstuvuv0≦ts0