随机过程与排队论习题

随机过程与排队论计算机科学与工程学院顾小丰Email：[e-mail]2020年1月24日星期五2020/1/24计算机科学与工程学院顾小丰病人以每小时3人的泊松流到达医院，假设该医院只有一个医生服务，他的服务时间服从负指数分布，并且平均服务一个顾客时间为15分钟。（a)医生空闲时间的比例？（b)有多少病人等待看医生？（c)病人的平均等待时间？(d)一个病人等待超过一个小时的概率？习题118－22020/1/24计算机科学与工程学院顾小丰解由题设知，＝3(人/小时)，＝4(人/小时)，＝，该系统按M/M/1/型处理。a)P{医生空闲}＝P{系统空闲}＝p0＝1－＝＝0.25。43b)平均等待对长2qN1c)平均等待时间41即平均有2.25个病人等待看医生qW(1)即病人的平均等待时间为0.75小时，即45分钟。2(3/4)92.2513/443/430.754(13/4)418－32020/1/24计算机科学与工程学院顾小丰解(续)d)P{等待超过一个小时}＝P{Wq＞1}＝1－P{Wq≤1}＝1－Wq(1)＝e-(1-)1)431(44343ee即病人等待超过一个小时的概率约为0.276。≈0.27618－42020/1/24计算机科学与工程学院顾小丰一台计算机有2个终端，假定计算一个题目的时间服从负指数分布，平均20分钟。假定题目是以泊松流到达，平均每小时到达5个。求积压题目的概率及平均积压的题目数。习题218－52020/1/24计算机科学与工程学院顾小丰解由题设知，＝5(题/小时)，＝3(题/小时)，c＝2，该系统按M/M/c/型处理。P{积压题目}＝P{题目到达时需要等待}c55,36平均积压的题目数jcc110j0cp[]j!c!(c)cj0jccpp(1)c!cqc2cNp(1)15259110.090931311j2211j0(53)2(53)[]j!2!(253)2(53)1250.7576(156)2!113322(56)(53)11253.7879(156)2!113318－62020/1/24计算机科学与工程学院顾小丰考虑一个M/M/1/K排队系统，λ＝10人/小时，μ＝30人/小时，K＝2。管理者想改进服务机构，提出了两个方案。方案I：增加等待空间，K＝3；方案II：提高服务率，μ＝40人/小时。假设在单位时间内单位服务成本5元和每服务一个顾客收益8元不变得情况下，哪个方案获得更大的收益？当λ＝30人/小时，又有什么结果？习题318－72020/1/24计算机科学与工程学院顾小丰解单位时间内的纯收入为5)1)1(1(85)1(81kKKpf方案I(λ＝10人/小时，μ＝30人/小时，K＝3)：72305))31(1)31)(311(1(10843f方案II(λ＝10人/小时，μ＝40人/小时，K＝2):8.123405))41(1)41)(411(1(10832f故方案I比方案II好。18－82020/1/24计算机科学与工程学院顾小丰解(续)当λ＝30人/小时：方案I(λ＝30人/小时，μ＝30人/小时，K＝3)：30305)1311(3085)1(8Kpf方案II(λ＝30人/小时，μ＝40人/小时，K＝2):35.31405))43(1)43)(431(1(30832f故方案I比方案II好。18－92020/1/24计算机科学与工程学院顾小丰某系统利用2台计算机进行容错处理。如果1台计算机正常工作时间服从负指数分布，平均10天，而计算机损坏时由1名工程师维修，维修1台计算机的时间是负指数分布的，平均5天。求：2台计算机都正常运行的概率和由于计算机损坏无法运行的概率，系统中平均运行的计算机数。习题418－102020/1/24计算机科学与工程学院顾小丰解由题设知，＝1/10(台/天)，＝1/5(台/天)，＝1/2，该系统按M/M/c/m/m型处理，c＝1，m＝2。P{2台计算机都正常运行}＝p04.052)21()!2(!2)!(!12010iimiiiimmP{计算机损坏无法运行}＝p22.04.0)21()!22(!2)21()!22(!2202p18－112020/1/24计算机科学与工程学院顾小丰解(续)平均发生故障的计算机数系统中平均运行的计算机数为2-0.8＝1.2(台)2102ppjpNmjj8.02.02)2.04.01(2)1(220ppp18－122020/1/24计算机科学与工程学院顾小丰习题5某电视台有2部发射机，1部发射1部备用。如果1部正常工作时间服从负指数分布，平均9天，而调整维修1部机器的是负指数分布的，平均3天。求无备用机而正常运转的概率和由于停机无法发射的概率。18－132020/1/24计算机科学与工程学院顾小丰解由题设知，＝1/9(台/天)，＝1/3(台/天)，＝1/3，该系统按M/M/c/m+k/m型处理，c＝1，m＝1，k＝1。若无备用机器，即K＝0，化为M/M/c/m/m型系统：P{无备用机而正常运转}＝p075.043)31()!1(!1)!(!11010iimiiiimm18－142020/1/24计算机科学与工程学院顾小丰解(续)对M/M/1/1+1/1型系统11100)!(1!!!1!mKKiiciKKciiciiciiiKimccmmcmcimpP{由于停机无法发射}＝p21111111iii1i0i11111!11()()i!31!1(1i1)!3122111!191()0.0769(121)!11!31313121191()0.6923331318－152020/1/24计算机科学与工程学院顾小丰在一商店，顾客以泊松流到达收银台，平均5分钟到达9个顾客；而服务员每5分钟能服务10个顾客，服务时间服从指数分布。商店经理希望将顾客等待时间不超过1分钟。他有两个方案：1)增加一名服务同样效率的服务员,即提高服务率一倍。2)增加一新柜台。试分析选择那种方案？习题618－162020/1/24计算机科学与工程学院顾小丰解方案1＝9/5(个/分钟)，＝4(个/分钟),＝9/20＜1，该系统按M/M/1/∞型处理，平均等待时间18－1720.0449)2091(4209)1(Wq(分钟)2020/1/24计算机科学与工程学院顾小丰解(续)方案2＝9/5(个/分钟)，＝2(个/分钟)，＝9/10，该系统按M/M/c/∞型处理，c＝2，c＝9/20＜1，18－180ccp!c1pc2ccqp)1(W(分钟)平均等待时间2911)1092(2)109(21091])c(!cc!j[p1211c0jcj013.070188915800891)2091(59209258008912911109212