随机过程复习提纲

24January2020随机过程第一章小结条件分布函数（连续型）00()()lim()()lim{}XYFxyPXxYyPXxyYyPXxyYyPyYy，|{,}{|}{}ijijjijiiiPXxYypPYyXxpPXxp|{,}{|}{}ijijijijjjPXxYypPXxYypPYyp条件分布律（离散型）条件概率密度(,)(,)(),()()()XYYXYXfxyfxyfxyfyxfyfx24January2020随机过程n维随机变量常用结论,,,nXXX12设相互独立，iXiiNin2,,1,2,,nncXcXcX1122nnccc2222221122,nnccc1122为任意实数。nccc12,,,N※※1212,,,,,,.nnnXXXnXXX充要条维随机变量（）服从维正态分布的是的任意线性组合服从一维正件态分布24January2020随机过程数字特征——条件期望11()ijjjjiijjipEYXxyypp离散型()()YXEYXxyfyxdy连续型()(())(()())YEXEEXYEXYyfydy()()EYXxEY若X与Y相互独立，则全期望公式()(())()(,)()YXXYEXxfxydxfydyxfxydxdyxfxdx以连续型为例24January2020随机过程特征函数定义()(),(,).itXXtEet12(),,,kkXPXxpk随机离变量：散型1()()kitxitXXkktEeep()Xfx随机变量：概率密度函数连续型()()()itXitxXtEeefxdx对一切随机变量，其特征函数都存在！0(0)()1iXXEe24January2020随机过程常见分布的特征函数1.两点分布((0-1)分布)1()itXetpp2.二项分布B(n,p)1(())itXntppe3.泊松分布()iteXet4.均匀分布()()()itbitaXieebatt5.指数分布222()Xtittti6.标准正态分布22()tXte24January2020随机过程特征函数的基本性质50()()(),()().kkkXntnkniEX若随机变量的阶矩存在，则它的特征函数可微分次，且对1有0()()()()kkkEXi6()随机变量的分布函数与其特征函数一一对应.（唯一性）特征函数分布函数逆转公式定义1010()(),()(),()().XXXXXttt2()()Xt为(-,+)上的连续函数.3(),()().ibtYXabYaXbteat设为常数，则的特征函数为4()()()().XYXYXYttt若随机变量与相互独立，则24January2020随机过程第二章小结随机过程{X(t)，t∈T}：样本函数、样本曲线一维分布函数,tT1(,)(()),FxtPXtxtTX(t)是一个随机变量X(t)的概率密度函数一维概率密度函数(,)1fxt：X(t)的分布律一维概率分布（一维分布律）：(())(),1,2,kkPXtxptk二维分布函数21212112212(,,)((),()),,FxxttPXtxXtxttT；24January2020随机过程随机过程的数字特征与特征函数（1）均值函数()[()]XmtEXt（2）均方值函数22()[()]XtEXt（3）方差函数2()(()())XXDtEXtmt（4）自相关函数1212(,)[()()]XRttEXtXt（5）自协方差函数121122(,)[((()())(()())]XXXCttEXtmtXtmt（6）一维特征函数()()(,)()[]ivXtXXttvvEe24January2020随机过程数字特征之间的关系2()(,)XXtRtt()(,)XXDtCtt(,)(,)()()XXXXCstRstmsmt12121122(,)[()()],,XYRttEXtYttTtT121122(,)[((()())(()())]XYXYCttEXtmtYtmt121122(,)0,,XYCtttTtT对均成立二维随机过程的数字特征：互相关函数：互协方差函数：随机过程不相关：复随机过程的数字特征——类似24January2020随机过程第四章小结随机质点流强度N(t)——[0,t)内到达的随机质点个数τn——第n个随机质点的到达时间Tn——第n-1个与第n个质点时间间隔{N(t),t≥0}泊松过程N(0)=0，独立增量，平稳增量()(),0Nttt212112()()(),)0(tNtNtttt2121()()()NtNtNtt与同分布，即2121{()()=}{()=},=0,1,PNtNtkPNttkk数字特征自己复习；一维特征函数[1]()ivteNt,e24January2020随机过程(),nn,埃尔朗分布2()=()=nnnnE,D0Z(),()=00ntnTe,tTft,t211()=()=nnET,DT10()()=(())=1ktnnktePtPNtnk!24January2020随机过程复合泊松过程()1()()NtnYtXn独立增量、平稳增量(1)[()1]()()XtYte()[()][(1)]YmtEYttEX2()[(1)]YDttEX非齐次泊松过程不一定是计数过程！是计数过程、独立增量过程(()(),0)Nmttt(())(())()ENtDNtmt221121()())0)(()(,NtNtmttmtt0()()tmtsds其中24January2020随机过程第六章小结11(()|(),,())(()|())nnnnPXtxXtxXtxPXtxXtx110{(1)|(),(1),,(1),(0)}{(1)|()}nnnPXnjXniXniXiXiPXnjXni马尔可夫过程独立过程和具有常数初值的独立增量过程是马氏过程（二项过程、泊松过程、非齐次泊松过程、复合泊松过程、维纳过程均是马氏过程！）马尔可夫链马氏性马氏性{(1)|()}(),0,1,2,ijPXkjXkipkk一步转移概率24January2020随机过程齐次马尔可夫链{(1)|()},与无关ijPXkjXkipk一步转移概率一步转移概率矩阵行和为1•会判断和说明一随机过程是否齐次马氏链；•会写一步转移概率矩阵和画出概率转移图！(){()|()}()nijPXmnjXipmmn步转移概率C-K方程：()()()()()(=,1)nmnmPPPrrrmmn矩阵形式()()()=,1nmnmPPPmn对齐次马氏链：()()(),,nmnmijikkjkEpppijE24January2020随机过程初始分布绝对分布12(0)[(0),(0),,(0),]iPppp12()[(),(),,(),]iPnpnpnpnX(0)的分布X(n)的分布()()(0(0,))njiijiEpnppjE()()(0)(0)nPnPP计算式：有限维分布（齐次马氏链）011{(0),(1),,(),(1)}nnPXiXiXniXni001121(0)nniiiiiiipppp010nkkk一般，对0011{(),(),,()}nnPXkiXkiXki10121001121()()()0()nnnnkkkkkkiiiiiiipkppp)1(()(11)()nPnPP24January2020随机过程齐次马氏链的遍历性齐次马氏链的平稳分布P是行向量，平稳方程00(m)ijm,i,jE,p,若存在满足对则遍历；若不满足遍历性定义，则非遍历！齐次马氏链即使不具有遍历性，也可能存在平稳分布；且平稳分布可能不唯一！满足定理条件时，平稳分布即为极限分布。10iii,,iE且24January2020随机过程第三章小结均方极限定义与验证2lim||0nnEXXl.i.mnnXX（1）若，则；l.i.mnnXXlim()()nnEXEX（2）若，，则；l.i.mmmXXlim()()mnmnEXYEXYl.i.mnnYY（3）若，，则对任意常数和，有；l.i.mnnXXl.i.mnnnaXbYaXbYl.i.mnnYYab（4）若数列满足，是随机变量，则；lim0nnaXl.i.m0nnaX{}na均方极限性质——除具有唯一性外，还具有24January2020随机过程均方连续、均方导数、均方积分概念'()['()][()]'()XXdmtEXtEXtmtdt2'(,)['()'()](,)XXRstEXsXtRstst[()]()bbaaEXtdtEXtdt[()()]''()'()aXtbYtaXtbYt均方导数、均方积分的简单性质24January2020随机过程19'(,)['()()](,)XXXRstEXsXtRsts'(,)[()'()](,)XXXRstEXsXtRstt2'(,)['()'()](,)XXRstEXsXtRstst均方导数与自（互）相关函数关系24January2020随机过程第五章小结严平稳过程定义及数字特征特点设为复（或实）随机过程，若满足（1）（2）（3）{(),}XttT2[|()|]EXt()(())XmtEXt常数121221(,)[()()]()XXRttEXtXtRtt宽平稳过程定义与验证则称该过程为宽平稳过程。严平稳性即是指，任意n维随机向量与同分布。12((),(),,())nXtXtXt12((),(),,())nXtXtXt24January2020随机过程严平稳过程不一定是宽平稳过程；反之，宽平稳过程也不一定是严平稳过程；宽平稳正态过程是严平稳过程。[()()](),,XYEXtYtRttT联合平稳过程（平稳相关）严平稳过程与宽平稳过程关系24January2020随机过程均值具有遍历性自相关函数具有遍历性遍历性的验证{()}1XPXtm{()()()}1XPXtXtR遍历性定理——了解即可！1()l.i.m()2TTTXtXtdtT1()()l.i.m()()2TTTXtXtXtXtdtT时平均时相关函数24January2020随机过程祝大家——取得满意的考试成绩！谢谢同学们！