随机过程的基本概念

第二章随机过程的基本概念自然界变化的过程可以分为确知过程和随机过程两大类每次观测所得结果都相同，都是时间t的一个确定的函数，具有确定的变化规律。每次观测所得结果都不同，都是时间t的不同函数，观测前又不能预知观测结果，没有确定的变化规律。确知过程随机过程随机过程随机过程的基本概念2.1随机过程的基本概念及定义2.2随机过程的统计描述2.3平稳随机过程2.4随机过程的联合分布和互相关函数2.5随机过程的功率谱密度2.6典型的随机过程2.1随机过程的基本概念及定义正弦信号调制信号周期性脉冲信号实际过程爆破信号雷达接收机的噪声鸟叫声接收机噪声随着时间t而改变的随机变量----随机变量的集合050100150200-505050100150200-505050100150200-5055050100150200-50X(t1)2.1随机过程的基本概念及定义x1(t)x2(t)x3(t)x4(t)2.1随机过程的基本概念及定义接收机噪声一簇样本函数的集合。050100150200-505050100150200-505050100150200-505050100150200-505x1(t)x2(t)x3(t)x4(t)2.1随机过程的基本概念及定义1、随机过程定义定义1：设随机试验E的样本空间为S={e}，对其每一个元素都以某种法则确定一个样本函数,由全部元素{e}所确定的一族样本函数称为随机过程,简记为。(,)Xte定义2：设有一个过程，若对于每一个固定的时刻，是一个随机变量，则称为随机过程。()Xt(1,2,...)jtj()jXt()Xt随机过程是样本函数的集合！随机过程是随机变量的集合！2.1随机过程的基本概念及定义1、随机过程定义随机过程X(t,e)四种不同情况下的意义：√当t固定，e固定时，X是一个确定值；√当t固定，e可变时，X(e)是一个随机变量；√当t可变，e固定时，X(t)是一个确定的时间函数；√当t可变，e可变时，X(t,e)是一个随机过程；2.1随机过程的基本概念及定义2、随机过程分类状态时间连续型随机过程连续连续连续随机序列连续离散离散型随机过程离散连续离散随机序列离散离散√按时间和状态的类型分：2.1随机过程的基本概念及定义2、随机过程分类√按随机过程的样本函数的形式分：特点不可预测的随机过程任意样本函数的未来值不能由过去的观测值准确地预测可预测的随机过程任意样本函数的未来值能由过去的观测值准确地预测2.1随机过程的基本概念及定义01020304050607080-10101020304050607080-10101020304050607080-10101020304050607080-101随机相位信号0()cos()XnAn0(,)cos()iiixnAn2.1随机过程的基本概念及定义2、随机过程分类√按随机过程有无平稳性分：平稳随机过程、非平稳随机过程；√按随机过程有无遍历分：遍历随机过程、非遍历随机过程；√按随机过程功率谱特性分：宽带随机过程、窄带随机过程；2.2随机过程的统计描述一、随机过程的概率分布(,){()}XFxtPXtx对于连续随机过程：对于随机序列：(,)(,)XXFxtfxtx(,){()}XFxnPXnx(,)(,)XXFxnfxnx1、一维概率分布2.2随机过程的统计描述1、一维概率分布tYtX0cos)(0例1、设随机振幅信号其中是常数，Y是均值为零，方差为1的正态随机变量，求时X的概率密度。0020,,32t2.2随机过程的统计描述2、二维概率分布注意：X(t1)及X(t2)为同一随机过程上的随机变量。定义：对于任意的时刻t1，t2以及任意的两个实数x1，x2，定义12121122(,,,){(),()}XFxxttPXtxXtx21212121212(,,,)(,,,)XXFxxttfxxttxx为随机过程X(t)的二维概率分布。定义为随机过程X(t)的二维概率密度。2.2随机过程的统计描述2、二维概率分布其中，且取值概率各为1/2,求，时的一维和二维概率分布。)2/,0{()cos(/10)Xnn10n210n0204060-101x2(n)0204060-101x1(n)例2、设随机相位信号2.2随机过程的统计描述二、随机过程的数字特征（连续）•均值dxtxxftXEtmXX),()}({)(•方差})]()({[)(22tmtXEtXX)()}({22tmtXEX)}({2tXE)()(22tmtXX•均值与方差的物理意义：表示消耗在单位电阻上的总的平均功率。2.2随机过程的统计描述二、随机过程的数字特征（连续）•相关函数121212121212(,){()()}(,,,)XRttEXtXtxxfxxttdxdx2.2随机过程的统计描述二、随机过程的数字特征（连续）•协方差函数，则称12(,)0XRtt)(1tX和)(2tX是相互正交的。（2）如果121122(,){[()()][()()]}XXXKttEXtmtXtmt（1）如果)(1tX和)(2tX是不相关的。，则称12(,)0XKtt1t2t时刻的状态是相互独立的。和则称随机过程在（3）如果12121122(,,,)(,)(,)XXXfxxttfxtfxt二、随机过程的数字特征（离散）•均值1()()()NXiiimtxtpt•方差221()[()()]()NXiXiitxtmtpt•协方差函数1211221211(,)[()()][()()](,)NNXiXjXijijKttxtmtxtmtptt•自相关函数1212121211(,){()()}()()(,)NNXijijijRttEXtXtxtxtptt2.2随机过程的统计描述二、随机过程的数字特征例3、设随机相位信号为其中为常数，是上均匀分布的随机变量。求该随机信号的均值、方差、自相关函数和协方差函数。0()cos()XnAt0(,)例4、求半二元传输信号的均值和自相关函数。。2.2随机过程的统计描述二、随机过程的数字特征例5、设有一随机过程，由4条样本函数组成，且每条样本函数出现的概率相等，在t1、t2的取值如下表所示，求。()Xt()Xt12(,)XRtt1()xt2()xt3()xt4()xtt1t2t126354212.2随机过程的统计描述三、随机过程的特征函数dxetxfeEtxjXtXjX),(}{),()(dettxfxjXX),(21),(Nitjxiietp1)()(离散形式：2.3平稳随机过程一、定义),,,,,(),,,,,(1111nnXnnXttxxfttxxf)(),(xftxfXX一维概率密度：二维概率密度：),,(),,,(212121xxfttxxfXX21tt(1)严格平稳随机过程2.3平稳随机过程一、定义(2)广义平稳随机过程2121),(),(ttRttRXXXXmtm)(显然，严格平稳广义平稳，随机过程是高斯分布时，两者等价。一定不一定如果随机过程X(t)的均值为常数，自相关函数只与有关，即21tt2.3平稳随机过程例1、设随机过程X(t)=At，A为标准正态分布的随机变量。试问X(t)是否平稳？例2、设随机过程Z(t)=Xcost+Ysint，-t。其中X，Y为相互独立的随机变量，且分别以概率2/3、1/3取值-1和2。试讨论随机过程Z(t)的平稳性。二、平稳随机过程自相关函数性质)(XR2X)0(XR2Xm0相关函数示意图（1）()()XXRR（3）22(0)XXXRm（2）(0)()XXRR（4）若随机过程不含周期分量，2lim()XXRm2.3平稳随机过程二、平稳随机过程自相关函数性质（5）若平稳随机过程X(t)满足X(t)=X(t+T)，称其为周期平稳过程，则其自相关函数必为周期函数，且它的周期与过程的周期相同。（6）若平稳随机过程含有周期分量，则自相关函数也含有同周期的周期分量)()cos()(0tNtAtX)(cos2)(02NXRAR二、平稳随机过程自相关函数性质例3、已知平稳随机过程X(t)的自相关函数为求X(t)的均值和方差。251436)(XR10010cos100100)(||10eRX例4、已知平稳随机过程X(t)的自相关函数为求X(t)的均值、均方值和方差。也称为归一化协方差函数或标准协方差函数。)(Xr100相关时间示意图2.3平稳随机过程三、相关系数及相关时间相关系数：222()()()XXXXXXKRmr相关时间：00()Xrd0()0.05Xr050100-4-2024050100-10-50510两个不同相关时间随机过程的样本函数1010002.3平稳随机过程三、相关系数及相关时间例5、已知平稳随机过程X(t)的自相关函数为求X(t)的相关系数。23)(eRX2.3平稳随机过程三、相关系数及相关时间2.3平稳随机过程四、随机过程的遍历性定义：对于平稳随机过程X(t)，若有时间平均等于统计平均，时间相关函数等于统计相关函数，即===，PXXmm()===()PXXRR则X(t)为遍历过程。其中2.3平稳随机过程四、随机过程的遍历性1()2TXTTmlimXtdtT1()()()2TXTTRlimXtXtdtT2.3平稳随机过程四、随机过程的遍历性)(tXt)(tXt(a)(b)各态历经过程与非各态历经过程示意图四、随机过程的遍历性遍历性的实际意义：连续随机过程：随机序列：1ˆ()2TXTmxtdtT1ˆ()()()2TXTRxtxtdtT101ˆ()NXnmxnN12201ˆˆ()1NXXnxnmN101ˆ()()()1NmXnRmxnxnmNm随机过程具备遍历性的条件：(2)均值遍历性的充要条件：(4)零均值平稳正态随机信号：(3)相关函数遍历性的充要条件：(1)随机过程必须是平稳的。2201lim(1)[()]02TXXTRmdTT2201lim(1)[()()]02TXTRRdTT()()()tXtXt0()XRd四、随机过程的遍历性例5、判断随机连续时间随机相位信号的各态历经性。0()cos()XnAt2.4随机过程的联合分布和互相关函数一、联合分布(1)二维联合分布函数：(2)二维联合概率密度：'1111(,,,)XYfxytt2'111111(,,,)XYFxtytxy'1111(,,,)XYFxytt'1111{(),()}PXtxYty2.4随机过程的联合分布和互相关函数一、联合分布(3)n+m维联合分布函数：(4)n+m维联合概率密度：''1111(,,,,,,,,,,)XYnmnmFxxyytttt''1111(,,,,,,,,,,)XYnmnmfxxyytttt''111111(,,,,,,,,,,)nmXYnmnmnmFxxyyttttxxyy''1111{(),,(),(),,()}nnmmPXtxXtxYtyYty2.4随机过程的联合分布和互相关函数二、两随机过程的相互关系(1)互相关函数：(2)互协方差函数：121212(,)[()()](,,,)XYXYRttEXtYtxyfxyttdxdy121122(,){[()()][()()]}XYXYKttEXtmtYtmt1212(,)()()XYXYRttmtmt二、两随机过程的