第十单元第二节 空间几何体的表面积与体积

第二节空间几何体的表面积与体积基础梳理1.直棱柱、正棱锥、正棱台的概念、侧面展开图及侧面积一些简单的多面体可以沿着多面体的某些棱将其剪开成平面图形,这个平面图形叫做该多面体的.平面展开图名称概念展开图举例及说明侧面积公式直棱柱与正棱柱侧棱和底面垂直棱柱叫做底面是正多边形的叫做正棱柱棱柱的侧面展开图是矩形S直棱柱侧=正棱锥底面是正多边形,并且顶点在底面的正投影是底面中心的棱锥叫做正棱锥的侧面展开图是一些全等的等腰三角形S正棱锥侧=正棱台正棱锥被平行于底面的平面所截,截面和底面之间的部分叫做正n棱台的侧面展开图是n个全等的等腰S正棱台侧=hc21h)cc(21直棱柱直棱柱ch正棱锥正棱台2.旋转体的表面积公式(1)圆柱的表面积S=(其中r为底面半径,l为母线长).(2)圆锥的表面积S=(其中r为底面半径,l为母线长).(3)圆台的表面积公式S=(其中r′,r为上、下底面半径,l为母线长).(4)球的表面积公式S=(其中R为球半径).3.几何体的体积公式(1)柱体的体积公式V=(其中S为底面面积,h为高).(2)锥体的体积公式V=(其中S为底面面积,h为高).(3)台体的体积公式V=(其中S′,S为上、下底面面积,h为高).(4)球的体积公式V=(其中R为球半径).Sh31)SSSh(S313πR342πr(r+l)πr(r+l)π[(r+r′)l+(r2+r′2)]4πR2Sh典例分析【例1】已知一个正三棱台的两底面边长分别为30cm和20cm,且其侧面积等于两底面面积之和,求棱台的高.题型一几何体的表面积问题分析要求正棱台的高，首先要画出正棱台的高，使其包含在某一个特征直角梯形中，转化为平面问题，由已知条件，列出方程，求解所需的几何元素.解如图所示,正三棱台ABC-A1B1C1中,O、O1分别为两底面中心,D、D1分别为BC和B1C1的中点,则DD1为棱台的斜高.设A1B1=20,AB=30,则可得OD=,O1D1=.353310由S侧=S上+S下,得(20+30)×3×DD1=(202+302),∴DD1=.在直角梯形O1ODD1中,O1O=,∴棱台的高为cm.2143331334)DO(ODDD2112134学后反思(1)求解有关多面体表面积的问题,关键是找到其特征几何图形,解决旋转体的表面积问题,要利用好旋转体的轴截面及侧面展开图.（2）借助于平面几何知识,利用已知条件求得所需几何要素.举一反三1.圆台侧面的母线长为2a,母线与轴的夹角为30°,一个底面的半径是另一个底面半径的2倍.求两底面的半径以及两底面面积之和.解析：如图,延长圆台母线交于点S，设圆台上底面半径为r,则下底面半径为2r,则∠ASO=30°.在Rt△SA′O′中,,∴SA′=2r.在Rt△SAO中,,∴SA=4r.∴SA-SA′=AA′,即4r-2r=2a,r=a.∴∴圆台上底面半径为a,下底面半径为2a,两底面面积之和为0sin30'rSA02sin30rSA222212255SSSrrra25a【例2】直平行六面体的底面为菱形,过不相邻两条侧棱的截面面积为Q1、Q2,求它的侧面积.分析要求此棱柱的侧面积,只要求出它的底面边长与高即可.解设直平行六面体底面边长为a,侧棱长为l,如图,则S侧=4al.因过A1A、C1C与B1B、D1D的截面都为矩形,从而Q1=AC·l,Q2=BD·l,则又∵AC⊥BD,∴,∴即4a2l2=Q12+Q22,即2al=,∴S侧=4al=..lQBD,lQAC21222a)2BD()2AC(,a)2lQ()2lQ(222212221QQ2221QQ2学后反思(1)在多面体或旋转体中，要正确识别和判断某截面图形的形状和特征.（2）用已知量来表示侧面积公式中的未知量，利用平面几何知识（菱形的对角线互相垂直平分），采用整体代入，设而不求，减少运算量，简化运算过程.举一反三2.三棱柱的底面是等腰三角形(AB=AC),∠BAC=2α,上底面的顶点在下底面的射影是下底面三角形外接圆圆心O,下底面△ABC外接圆半径为R,侧棱和AB成2α角,求三棱柱的侧面积.111ABCABC1A1AA解析：如图所示,作OD⊥AB于D,则AD=Rcosα,AB=2Rcosα,⊥AB,∴∴∵AO⊥BC,由三垂线定理得⊥BC,故⊥BC.又∵BC=2Rsin2α,∴∴1AD1coscos2cos2ADRAA11221sin22costan2AABBSAAABR1AA1BB11212costan2BBCCSBBBCR1111222costan22cos1AABBBBCCSSSR三棱柱侧【例3】已知四棱台两底面均为正方形，边长分别为4cm，8cm，各侧棱长均为8cm，求它的侧面积和体积.题型二几何体的体积问题分析由题意知,需求侧面等腰梯形的高和四棱台的高,然后利用平面图形面积公式和台体体积公式求解.解如图,设四棱台的侧棱延长后交于点P,则△PBC为等腰三角形.取BC中点E,连接PE交B1C1于点E1,则PE⊥BC,E1E为侧面等腰梯形的高.作PO⊥底面ABCD交上底面于点O1,连接O1E1、OE.在△PB1C1和△PBC中,,2184BCCBPBPB111∴PB1=B1B=8,B1为PB的中点,E1为PE的中点.在Rt△PEB中,PE=(cm),E1E=(cm).在Rt△POE中,PO=OO1=PO=(cm).∴S四棱台侧=4S梯形BCC1B1=,V四棱台=V四棱锥PABCD-V四棱锥PA1B1C1D1=S四边形ABCD·PO-S四边形A1B1C1D1·PO1=×82×414-×42×214=(cm3).154416BEPB2222152PE21(cm)1444)15(4OEPE222221142)(cm154821152231313131314224学后反思（1）求棱台的侧面积与体积要注意利用公式以及正棱台中的“特征直角三角形”和“特征直角梯形”，它们是架起“求积”关系式中的未知量与满足题设条件中几何图形元素间关系的桥梁.（2）平行于棱台底面的截面分棱台的侧面积与体积比的问题，通常是“还台为锥”，而后利用平行于棱锥底面的截面性质去解.“还台为锥”借助于轴截面，将空间问题转化为平面问题，求出相关数据，进行计算.“还台为锥”是解决棱台问题的重要方法和手段.举一反三3.如图,在多面体ABCDEF中,已知四边形ABCD是边长为1的正方形,四边形ABFE为等腰梯形,且△ADE、△BCF均为正三角形,EF=2,则该多面体的体积为.答案：解析：如图,分别过A、B作EF的垂线,垂足分别为G、H,连接DG、CH.易求得EG=HF=,AG=GD=BH=HC=.∴可得∴12321221224AGDBHCSS12112122134234243EAGDFBHCAGDBHCVVVV23题型三组合体的体积和表面积问题【例4】(14分)如图，正三棱锥的高为1，底面边长为26，内有一个球与四个面都相切.求棱锥的表面积和球的半径.分析先画截面图再求解.解过PA与球心O作截面PAE与平面PCB交于PE，与平面ABC交于AE………………………………………………………………..2′因为△ABC是正三角形，易知AE既是△ABC中BC边上的高，又是BC边上的中线.作为正三棱锥的高PD既通过球心O,且D也是△ABC的重心………………………………………………………………4′据此根据底面边长为，即可算出,…………………………..6′,……………………………………..8′又F为球与平面PBC的切点,∴OF⊥PE.设OF=r,………………………………………10′由△POF∽△PED,知∴,……………………………..12′∴……….14′26113262332DEAE2123PE1rrDEPE123rr62r213326326249263SSS侧表底学后反思（1）球与多面体、旋转体的相接、相切问题简称为组合体问题，这类问题能够很好地考查学生对空间图形的识图、辨别能力，更能考查学生的空间想象能力，所以在高考中一直是热点题型.复习中要注意总结规律，掌握常见问题的求解方法.(2)相切或相接问题一般通过作出截面，使构成组合体的各个简单体中的主要元素尽可能集中在该截面中，从而转化成平面图形的计算加以解决.旋转体之间的相接、相切问题，通常作出它们的共轴的截面;旋转体与多面体之间的相接、相切问题，一般作出它们接、切的某个公共点与轴所确定的截面.举一反三4.将一个棱长为6cm的正方体加工成一个体积最大的木球，这个球的体积为.答案:36π解析：易知正方体的内切球体积最大，设其内切球的半径为R，则根据题意知2R=6，即R=3,故其内切球的体积24363VR考点演练10.（2010·苏州质检）半径为R的半圆卷成一个圆锥，求它的体积.解析:设所求圆锥底面半径为r，高为h，则πR=2πr,∴,故所求圆锥的体积为12rR2232hRrR2231133334224RVrhRR11.一个正三棱锥的高和底面边长都为a，求它的侧面积和体积.解析：如图，过S作SO⊥平面ABC，垂足为O，过S作SD⊥AB交AB于D，连接OD，则SO=a，OD⊥AB，且O是△ABC的中心.又∵AB=BC=AC=a,∴OD=,∴12.在一个平行六面体中，一个顶点上三条棱长分别为a,b,c,这三条棱中，每两条所成的角为60°，求这个平行六面体的体积.36a2233966SDaaa23393412Vaa正三棱锥侧1A1A解析:如图所示，作⊥平面ABCD，∵∴在底面上的射影O落在∠BAD的角平分线上.因此有即∴,不妨设A=a,AB=b,AD=c,∴∴1AO01160AABAAD11coscoscosAABAAOCAB001cos60coscos30AAO13cos3AAO16sin3AAO03sin602ABCDSbcbc11sin633222ABCDABCDVAOSaAAOSabcabc