5-4频域：奈氏判据

12.奈氏判据设：——闭环系统特征多项式显然：F(s)的零点就是闭环系统的极点。(1)1＋G(S)H(S)平面上的系统稳定性分析假如s沿着奈氏路径绕一圈，根据幅角定理，F(s)平面上绘制的F(s)曲线ΓF逆时针方向绕原点的圈数N则为F(s)在s右半开平面内极点个数P与的零点个数Z之差：N=P-Z当Z=0时，说明系统闭环传递函数无极点在s右半开平面，系统是稳定的；反之，系统则是不稳定的。sHsGSF12（2）G(s)H(s)平面上的系统稳定性分析--奈氏判据因1+G(s)H(s)与G(s)H(s)相差1，则系统稳定性可表述为：奈氏判据：闭环系统稳定的充要条件是：s沿奈氏路径绕一圈，G(jω)H(jω)曲线逆时针绕（-1，j0）点的P圈。即：N=P（Z＝0）P——G(s)H(s)位于s右半平面的极点数。a.若P=0，且N=0，即GH曲线不包围（-1，j0）点，则闭环系统稳定；b.若P≠0，且N=P，即GH曲线逆时针绕（-1，j0）点P圈，则闭环系统稳定，否则是不稳定系统。不稳定系统分布在s右半平面极点的个数可按下式求取：Z=PNc.若GH曲线通过（-1，j0）点L次，则说明闭环系统有L个极点分布在s平面的虚轴上。3例:一系统开环传递函数为：试判别系统的稳定性。解：本系统的开环频率特性当变化，系统的幅相曲线如图所示。因为系统有一个开环极点位于s的右半平面，即：P=1。图中奈氏曲线是逆时针方向绕（-1，j0）点的1圈，即N=1。根据奈氏判据,闭环系统在s右半平面极点数Z=P-N=1-1=0所以系统稳定。0)a(1)()(sasHsG1)()(jajHjGjjjj00210ReIm4例:分析如下系统的稳定性。设开环传递函数中，T5T1T2、T3和T4解：若某K值下GH曲线如图，因N=0，且P=0，系统稳定。1.K增大:使（-1，j0）位于c、d间，曲线顺时针包围（-1，j0）两圈，系统不稳定。2.K减小:使（-1，j0）位于a、b之间，曲线顺时针包围（-1，j0）点两圈，系统仍不稳定。K再减小，使（-1，j0）点位于a点左边，那么闭环系统又稳定了。此系统称为条件稳定系统。即要使系统稳定，K必须满足一定的条件。STSST1ST1ST11STKSHSG54321(1,0)jabcdImRe00[]GH53.一种简易的奈氏判据（1）正、负穿越的概念G(jω)H(jω)曲线对称实轴。应用中只画部分。所谓“穿越”是指轨迹穿过段。正穿越：从上而下穿过该段一次（相角增加），用表示。负穿越：由下而上穿过该段一次（相角减少），用表示。正穿越负穿越N0N),1(ImRe0(－1，j0)+ImRe0(－1，j0)_6(1,0)j0()()GjHjImRe－＋＋2＝N1＝N7若G(jω)H(jω)轨迹起始或终止于(-1,j0)以左的负轴上，则穿越次数为半次，且同样有+1/2次穿越和-1/2次穿越。ImRe00_()()GjHj(1,0)jImRe0(1,0)j()()GjHj0＋8如果G(jω)H(jω)按逆时针方向铙(-1,j0)一周，则必正穿越一次。反之，若按顺时针方向包围点(-1,j0)一周，则必负穿越一次。这种正负穿越之和即为G(jω)H(jω)包围的圈数。故奈氏判据又可表述为：闭环系统稳定的充要条件是：当由0变化到时，G(jω)H(jω)曲线在（-1，j0）点以左的负实轴上的正负穿越之和为P/2圈。此时:Z=P-2NP------开环传递函数在s右半平面的极点数。要使Z＝0，则:N=P/2若开环传递函数无极点分布在S右半平面，即，则闭环系统稳定的充要条件应该是N=0.注意：这里对应的ω变化范围是。00P9例:某系统G(jω)H(jω)轨迹如下，已知有2个开环极点分布在s的右半平面，试判别系统的稳定性。解：系统有2个开环极点分布在s的右半平面（P=2），G(jω)H(jω)轨迹在点(-1,j0)以左的负实轴有2次正穿越，1次负穿越，因为：N=,求得：Z=P-2N=2-2=0所以系统是稳定系统。.(1,0)jImRe00()()GjHj112NN2P10四、伯德图上的奈氏判据极坐标图伯德图单位圆0db线（幅频特性图）单位圆以内区域0db线以下区域单位圆以外区域0db线以上区域负实轴-1800线（相频特性图）因此，奈氏曲线自上而下（或自下而上）地穿越（-1，j0）点左边的负实轴，相当于在伯德图中当L(ω)0db时相频特性曲线自下而上（或自上而下）地穿越-180°线。ImRe0(1,0)j()()GjHj()L()dB00c11参照极坐标中奈氏判据的定义，对数坐标下的奈判据可表述如下：闭环系统稳定的充要条件是：当由0→∞变化时，在开环对数幅频特性的频段内，相频特性穿越的次数（正穿越与负穿越次数之差）为。P为开环传递函数在s右半平面的极点数。若开环传递函数无极点分布在S右半平面，即则闭环系统稳定的充要条件是：在的频段内，相频特性在线上正负穿越次数代数和为零。或者不穿越线。0)(L)(NN2P0P0)(L)(12五、稳定裕量人们常用系统开环频率特性G(jω)H(jω)与GH平面上与（-1，j0）点的靠近程度来表征闭环系统的稳定程度。一般来说，G(jω)H(jω)离开（-1，j0）点越远，则稳定程度越高；反之，稳定程度越低。一、相位裕量增益剪切频率：指开环频率特性G(jω)H(jω）的幅值等于1时的频率，即在控制系统的增益剪切频率ωc上，使闭环系统达到临界稳定状态所需附加的相移（超前或迟后相移）量，称为系统的相位裕量，记作γ。c1)()(ccjHjG13270()L()dB090180正相位裕量0cg0gK正相位裕量1gK1B()GjImRe正增益裕量[]GH1相位裕量：当γ0时，相位裕量为正，系统稳定；＝0c180ωγ)(180c14相位裕量：当γ0时，相位裕量为负，系统不稳定。=1gKBImRe[]GH负相位裕量负增益裕量()Gj11负增益裕量负相位裕量27018090()L()0dB0cg0gK0c180ωγ)(180c15结论：一般而言L(ωc)处的斜率为－20db/+时，系统稳定。L(ωc)处的斜率为－40db/+时，系统可能稳定，也可能不稳定，即使稳定，γ也很小。L(ωc)处的斜率为－60db/+时，系统肯定不稳定。为了使系统具有一定的稳定裕量，L(ω)在ωc处的斜率为－20db/+。162、增益裕量在系统的相位剪切频率ωg（ωg0）上，开环频率特性的倒数，称为控制系统的增量裕量，记作Kg，即以分贝表示时Kg大于1，则增益裕量为正值，系统稳定。Kg小于1，则增益裕量为负值。系统不稳定。一般说来为了得到满意的性能，相位裕量应当在30°60°之间，而增益裕量应当大于6dB。gggωjHωjG1KdBωjHωjG20lg20lgKdBKgggg17复习:系统的稳态误差1.稳态误差与输入、系统结构有关.2.减小或消除稳态误差的方法：a、增加开环放大系数K；b、提高系统的型号数;0011K系统型号误差系数KpKvKa单位阶跃输入单位速度输入单位加速度输入)()(tutr221)(ttrttr)(01KK1III0K00K0K18关键：对数频率特性上的稳态误差系数求取1、0型系统设某一系统的开环频率特性其幅频特性如图所示在低频段（ω→0）时，其幅值结论：0型系统对数幅频特性曲线低频段的斜率为0；高度为，其中KP即为该系统的稳态位置误差系数。1TjωKjωG20lgK1T0()L20P20lgK20KωLPP20lgK5－5控制系统的稳态分析192、Ⅰ型系统设某系统开环频率特性：其幅频特性如图所示。1）I型系统的对数幅频特性曲线低频段的斜率为-20dB/dec且它（或它的延长线）与ω=1直线交点处对应的幅值为20lgKV，证明如下：因此，当ω=1时1TjωjωKjωG20lgK1T0()L20401vvKV1ωV20lgKjωK20lg202）斜率为-20dB/dec的起始线段（或它的延长线）与0dB线交点频率ωV在数值上等到于KV。证明如下：即VvK1ωVvKωvVωωK20lg=0dBjω213、Ⅱ型系统其幅频如图所示1）II型系统对数幅频特性曲线低频段（或它的延长线）与ω=1直线交点处对应的幅值为20lgKa，证明如下：II型系统低频段的频率特性（ω1）因此，当ω=1时2jω1TjωKjωG2jωKjωGa1ω2a20lgKjωK20lg1T102040()LdBaKlg20aK222）若设斜率为-40dB/dec的起始线段（或它的延长线）与0dB线的交点处频率为ωa，那么，它在数值上等于Ka的开方。证明如下：因为得到可以看出：提高系统开环频率特性低频段的幅值或增大低频段斜率的绝对值（型号数增加），都有利于系统稳态误差的减小。结论：一般来说，开环频率特性的低频段表征了闭环系统的稳态特性。dB0jωK20lgaωω2aaaKω2aaωK