圆的切线性质与判定

圆的切线的判定和性质知识回顾1、圆的切线的定义是怎样的？直线和圆只有个公共点时，直线和圆相切2、口述切线的判定定理：经过半径的外端并且于这条半径的直线是圆的切线3、口述切线的性质定理：圆的切线于经过切点的半径一垂直垂直知识回顾判断一条直线是圆的切线，你现在会有多少种方法？切线判定有以下三种方法：1、2、3、lP.OldOrlOP与圆有唯一公共点的直线是圆的切线。当d=r时直线是圆的切线。经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。小试牛刀例1：直线l和⊙O的公共点的个数为m，且m满足方程m2+2m-3=0,试判断直线l和⊙O的位置关系，并说明理由.解：直线l和⊙O相切∵m2+2m-3=0∴m=1,m=-3(舍去)∴直线l与⊙O的公共点的个数为1∴⊙O和直线l相切注意：确定唯一公共点，可证明直线和圆相切例3．如图，直线y=－x+4与y轴交于点A，与x轴交于点B，以点C（，0）为圆心，OC的长为半径作⊙C，证明：AB是⊙C的切线。M分析：由于不知AB和⊙C是否有公共点，故考虑过C作CM⊥AB于M，再证CM为⊙C的半径即可3434证明：过C点作CM⊥AB于M点，∵直线y=－x+4交x轴、y轴于B、A点∴A的坐标为（0，4），B的坐标为（3，0）∴OA=4，OB=3，BC=3－=又由勾股定理可知AB===5由S△ABC=AB·CM=BC·AO得∴×5·CM=××4∴CM=∴CM=OC又CM⊥AB故AB为⊙C的切线343422OBOA223435121235121234小试牛刀例2：如图，已知：AB=AC，点O在AB上，⊙O过点B，分别与边BC、AB交于D、E两点，过D点作DF⊥AC于F，（1）求证：DF是⊙O的切线；证明：连结OD，∵OB=OD，∴∠ODB=∠B又∵AB=AC，∴∠C=∠B∴∠ODB=∠C∴OD∥AC又∵DF⊥AC∴∠DFC=90°∴∠ODF=∠DFC=90°∴DF⊥OD∴DF为⊙O的切线小结一证明切线的一般方法简单表述为：（1）确定唯一公共点，证切线（2）无交点，作垂直，证半径（3）有交点，连半径，证垂直小试牛刀例3：如图，已知：AB=AC，点O在AB上，⊙O过点B，分别与边BC、AB交于D、E两点，过D点作DF⊥AC于F，（2）连结OP∵AC与⊙O相切于点P，∴OP⊥AC由（1）可知OD∥AC，且DF⊥AC，故四边形ODFP为正方形∴PF=OD=OB=3设AC=x，则在Rt△APO中有AP2+OP2=OA2即(x－4)2+32=(x－3)2解得x=8∴AC=8（2）如果AC与⊙O相切于点P，⊙O的半径为3，CF=1，求AC的长。P小结二已知直线与圆相切，通常连圆心和切点，得到直角。大显身手大显身手·解：①当E点运动到O点时⊙C与直线OA相切，设此时的圆心为C1，于是有OC1=CE=－3－（－10）=7∴CC1=3∴t1=3÷2=1.5（秒）yxCOC1·AB大显身手yxO·CAB大显身手yxO·CAB大显身手·C2·OABPxy大显身手·③设当C运动到C3时圆与直线OA相切于O点，于是有OC3=7∴C3（7，0）∴C3C=7－（－10）=17t3=17÷2=8.5（秒）OABC3·C2·xy大显身手·③设当C运动到C4时圆与直线AB相切于Q点，连C4Q，则C4Q⊥AB∠C4BQ=30°∴BC4=2C4Q=14∴CC4=10+12+14=36∴t4=36÷2=18（秒）OABC4xC3yQ心得体会1、判定切线的方法有哪些？与圆有唯一公共点直线l与圆心的距离等于圆的半径经过半径外端且垂直这条半径2、常用的添辅助线方法？（1）直线与圆的公共点已知时，作出过公共点的半径，再证半径垂直于该直线。（连半径，证垂直）（2）直线与圆的公共点不确定时，过圆心作直线的垂线段，再证明这条垂线段为圆的半径。（作垂直，证半径）是圆的切线是圆的切线是圆的切线3、圆的切线性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。辅助线作法：连接圆心与切点可得半径与切线垂直。即“连半径，得垂直”。