圆的切线方程问题专题

深圳市龙翔学校高中数学教师欧阳文丰制作学法指导(1)过圆外一点(x0，y0)与圆相切的切线方程的求法．①先假设切线斜率存在，有下列两种求切线斜率k的方法：方法一：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，化成一般式kx－y＋y0－kx0＝0，因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，由此解出k；圆的切线问题方法二：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程联立，化为关于x的一元二次方程，利用判别式为0，求出k.②若通过上述方法只求出一个斜率k，则另一条切线斜率一定不存在，此时另一切线方程为x＝x0.注：过圆外一点与圆相切的直线有且只有两条．(2)过圆上一点的圆的切线方程的求法．利用斜率公式求出圆心和切点连线的斜率，进而求出切线的斜率，利用点斜式求出切线方程．(3)斜率为k且与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2相切的切线方程的求法．方法一：先设切线方程为y＝kx＋b，然后变成一般式kx－y＋b＝0，利用圆心到切线的距离等于半径，列出方程求b；方法二：设切线方程为y＝kx＋b，与圆的方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2联立，化为关于x的一元二次方程，再利用判别式为0，求出b.例题1若直线l过点P(2,3)，且与圆(x－1)2＋(y＋2)2＝1相切，求直线l的方程．【解】法一：(1)若直线l的斜率存在，设l：y－3＝k(x－2)，即kx－y＋3－2k＝0，因为直线l与圆(x－1)2＋(y＋2)2＝1相切，所以|5－k|k2＋1＝1，所以k＝125.所以直线l的方程为y－3＝125(x－2)，即12x－5y－9＝0.典型例题讲解(2)若直线l的斜率不存在，则直线l：x＝2也符合要求．所以直线l的方程为12x－5y－9＝0或x＝2.法二：(1)若直线l的斜率存在，设l：y－3＝k(x－2)，即y＝k(x－2)＋3，与圆的方程联立消去y得：(x－1)2＋[k(x－2)＋3＋2]2＝1，整理得(k2＋1)x2－(4k2－10k＋2)x＋4k2－20k＋25＝0，∵Δ＝(4k2－10k＋2)2－4(k2＋1)(4k2－20k＋25)＝0，∴k＝125.典型例题讲解此时直线l的方程为y－3＝125(x－2)，即12x－5y－9＝0.(2)若直线l的斜率不存在，即x＝2也符合要求．所以直线l的方程为12x－5y－9＝0或x＝2.【名师点评】如果所求切线过某已知点，务必弄清该点与圆的位置关系．另外求切线时应注意对斜率不存在时过该点直线的验证．典型例题讲解跟踪训练1、求圆x2＋y2＝4的切线方程，使得它经过点Q(3,0)．解：容易判断点Q(3,0)在圆外．设切线的方程为y＝k(x－3)，即：kx－y－3k＝0，又圆的圆心为(0,0)，半径为2，所以|－3k|1＋k2＝2，解得：k＝±255.所以所求切线方程为：y＝±255(x－3)．求满足下列条件的圆x2＋y2＝4的切线方程：(1)经过点P(3，1)；(2)斜率为－1，(3)过点Q(3,0)跟踪训练[解析](1)∵点P(3，1)在圆上．∴所求切线方程为3x＋y－4＝0.(2)设圆的切线方程为y＝－x＋b，代入圆的方程，整理得2x2－2bx＋b2－4＝0，∵直线与圆相切，∴Δ＝(－2b)2－4×2(b2－4)＝0.解得b＝±22.∴所求切线方程为x＋y±22＝0.也可用几何法d＝r求解．跟踪训练(3)解法1：∵32＋024，∴点Q在圆外．设切线方程为y＝k(x－3)，即kx－y－3k＝0.∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离等于半径，∴|－3k|1＋k2＝2，∴k＝±255，∴所求切线方程为2x±5y－6＝0.跟踪训练解法2：设切点为M(x0，y0)，则过点M的切线方程为x0x＋y0y＝4，∵点Q(3,0)在切线上，∴x0＝43①又M(x0，y0)在圆x2＋y2＝4上，∴x20＋y20＝4②由①②构成的方程组可解得x0＝43，y0＝253，或x0＝43，y0＝－253.跟踪训练∴所求切线方程为43x＋253y＝4或43x－253y＝4，即2x＋5y－6＝0或2x－5y－6＝0.跟踪训练课堂总结220xyDxEyF00(,)xy0000()()022DxxEyyxxyyF00(,)xy0000()()022DxxEyyxxyyF(1)已知圆．①若已知切点在圆上，则切线只有一条，其方程是.当在圆外时,表示过两个切点的切点弦方程．课堂总结②过圆外一点的切线方程可设为00()yykxx，再利用相切条件求k，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y轴的切线．③斜率为k的切线方程可设为ykxb，再利用相切条件求b，必有两条切线．222xyr000(,)Pxy200xxyyrk21ykxrk(2)已知圆．①过圆上的点的切线方程为;②斜率为的圆的切线方程为（3）过圆(x-a)2＋(y-b)2＝r2上一点(xo,yo)的切线方程为(x-a)(x-x0)+(y-b)(y-y0)=r2课后练习1、求过点Ｐ(2,4)向圆(x-1)2+(y+3)2=1所引的切线方程？2、圆x2＋y2－4x＝0在点P(1，)处的切线方程为____________．3、求经过点(1，－7)且与圆x2＋y2＝25相切的切线方程.4、如下图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l：y＝2x－4.设圆C的半径为1，圆心在l上．若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；