成才之路3-1-2 共线向量与共面向量(上课用)

成才之路·数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索人教A版·选修2-1第三章空间向量与立体几何成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1第三章空间向量与立体几何第三章空间向量与立体几何成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1第三章3．1空间向量及其运算第三章空间向量与立体几何成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1第三章第2课时共线向量与共面向量第三章3.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1课前自主预习第三章3.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1共线向量与共面向量共线(平行)向量共面向量定义表示空间向量的有向线段所在的直线___________，则这些向量叫做_________或平行于_____________的向量叫做共面向量互相平行或重合共线向量平行向量同一个平面第三章3.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1充要条件对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ使______.若两个向量a，b不共线，则向量p与a，b共面的充要条件是存在惟一的有序实数对(x，y)，使______________.a＝λbp＝xa＋yb第三章3.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1推论如果l为经过点A平行于已知非零向量a的直线，那么对于空间任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使OP→＝OA→＋ta①，其中a叫做直线l的__________，如图所示．若在l上取AB→＝a，则①式可化为____＝OA→＋tAB→如图，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使AP→＝或对空间任意一点O来说，有OP→＝OA→＋xAB→＋yAC→.方向向量OP→xAB→＋yAC→第三章3.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1学习要点点拨第三章3.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-11．共线向量前面，我们学习了平面向量共线的充要条件，这个条件在空间也是成立的，即①a∥b，b≠0，则存在唯一实数x使a＝xb；②若存在唯一实数λ，使a＝λb，则a∥b.判定两向量共线的关键是找到实数λ.运用②证明直线平行还需说明a(或b)上有一点不在b(或a)上．运用②证明三点共线，还需说明a与b有公共点．第三章3.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-12．共面向量①a∥α是指a所在的直线在平面α内或平行于平面α.②共面向量是指这些向量所在的直线平行或在同一平面内，共面向量所在的直线可能相交、平行或异面．第三章3.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1空间任意两个向量总是共面的，但空间任意三个向量就不一定共面了．例如，图中的长方体，向量AB→、AC→、AD→，无论怎样平移都不能使它们在同一平面内．向量p与不共线向量a，b共面⇔存在惟一有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb(※)稍作变化即：点P位于平面ABC内⇔存在有序实数对(x，y)，使AP→＝xAB→＋yAC→(※※)或对空间任一点O，有OP→＝OA→＋xAB→＋yAC→(※※※)第三章3.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1这是空间平面ABC的向量表示式．(※)式是判定三个向量是否共面的依据，又是已知共面条件的表示式；(※※)是证明点线共面的依据．(※※※)是证明四点共面的依据．第三章3.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1课堂典例讲练第三章3.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1命题方向空间向量的数乘运算[例1]已知ABCD为正方形，P是ABCD所在平面外一点，P在平面ABCD上的射影恰好是正方形ABCD的中心O.Q是CD的中点，求下列各式中x、y的值：(1)OQ→＝PQ→＋xPC→＋yPA→；(2)PA→＝xPO→＋yPQ→＋PD→.思路方法技巧第三章3.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1[分析]由题目可以获取以下主要信息：①ABCD是正方形，O为中心，PO⊥面ABCD，Q为CD中点；②用已知向量表示指定向量．解答本题需准确画图，先利用三角形法则或平行四边形法则表示出指定向量，再根据对应向量的系数相等．求出x、y即可．第三章3.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1[解析]如图，(1)∵OQ→＝PQ→－PO→＝PQ→－12(PA→＋PC→)＝PQ→－12PA→－12PC，∴x＝y＝－12.第三章3.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1(2)∵PA→＋PC→＝2PO→，∴PA→＝2PO→－PC→.又∵PC→＋PD→＝2PQ→，∴PC→＝2PQ→－PD→.从而有PA→＝2PO→－(2PQ→－PD→)＝2PO→－2PQ→＋PD→.∴x＝2，y＝－2.第三章3.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设AA1→＝a，AB→＝b，AD→＝c，M、N、P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a、b、c表示以下各向量：(1)AP→；(2)A1N→；(3)MP→＋NC1→.第三章3.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1[解析](1)∵P是C1D1的中点，∴AP→＝AA1→＋A1D1→＋D1P→＝a＋AD→＋12D1C1→＝a＋c＋12AB→＝a＋c＋12b.(2)∵N是BC的中点，∴A1N→＝A1A→＋AB→＋BN→＝－a＋b＋12BC→＝－a＋b＋12AD→＝－a＋b＋12c.第三章3.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1(3)∵M是AA1的中点，∴MP→＝MA→＋AP→＝12A1A→＋AP→＝－12a＋(a＋c＋12b)＝12a＋12b＋c.又NC1→＝NC→＋CC1→＝12BC→＋AA1→＝12AD→＋AA1→＝12c＋a，∴MP→＋NC1→＝(12a＋12b＋c)＋(a＋12c)＝32a＋12b＋32c.第三章3.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1命题方向共线向量[例2]如图所示，ABCD－ABEF都是平行四边形，且不共面，M、N分别是AC、BF的中点，判断CE→与MN→是否共线？建模应用引路第三章3.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1[分析]要判断CE→与MN→是否共线，由共线向量定理就是判定是否存在实数x，使CE→＝xMN→.若存在则CE→与MN→共线，否则CE→与MN→不共线．第三章3.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1[解析]M、N分别是AC、BF的中点，而ABCD、ABEF都是平行四边形，∴MN→＝MA→＋AF→＋FN→＝12CA→＋AF→＋12FB→.又∵MN→＝MC→＋CE→＋EB→＋BN→＝－12CA→＋CE→－AF→－12FB→，∴12CA→＋AF→＋12FB→＝－12CA→＋CE→－AF→－12FB→.第三章3.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1∴CE→＝CA→＋2AF→＋FB→＝2(MA→＋AF→＋FN→)．∴CE→＝2MN→.∴CE→∥MN→，即CE→与MN→共线．第三章3.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1如右图，已知四边形ABCD是空间四边形，E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边CB、CD上的点，且CF→＝23CB→，CG→＝23CD→.求证：四边形EFGH是梯形．第三章3.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1[证明]∵E、H分别是AB、AD的中点，∴AE→＝12AB→，AH→＝12AD→.∵CF→＝23CB→，CG→＝23CD→，∴CB→＝32CF→，CD→＝32CG→，∴EH→＝AH→－AE→＝12AD→－12AB→＝12(AD→－AB→)＝12BD→＝12(CD→－CB→)＝12(32CG→－32CF→)第三章3.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1＝34(CG→－CF→)＝34FG→.∴EH→∥FG→且|EH→|＝34|FG→|≠|FG→|.∵E∉FG，∴EH∥FG且|EH|＝34|FG|，∴四边形EFGH是梯形．第三章3.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1命题方向共面问题[例3]正方形ABCD－A1B1C1D1中，M、N、P、Q分别为A1D1、D1C1、AA1、CC1的中点，求证：M、N、P、Q四点共面．探索延拓创新第三章3.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1[分析]要证M、N、P、Q四点共面，只须证明MP→、MN→、MQ→共面，即寻求实数λ、μ、k，使得λMP→＋μMN→＋kMQ→＝0.为此，令D1A1→＝a，D1C1→＝b，D1D→＝c，将MP→、MN→、MQ→都用a、b、c线性表示，再寻求它们系数之间关系或者令MQ→＝λMP→＋μMN→，建立λ、μ的方程组解之．第三章3.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1[解析]令D1A1→＝a，D1C1→＝b，D1D→＝c，∵M、N、P、Q均为棱的中点，∴MN→＝12b－12a，MP→＝MA1→＋A1P→＝12a＋12c，MQ→＝MD1→＋D1C1→＋C1Q→＝－12a＋b＋12c令MQ→＝λMN→＋μMP→，则－12a＋b＋12c＝12(μ－λ)a＋12λb＋12μc，第三章3.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1∴12μ－λ＝－1212λ＝112μ＝12，∴λ＝2μ＝1.∴MQ→＝2MN→＋MP→，因此向量MQ→，MN→，MP→共面，∴四点M、N、P、Q共面．第三章3.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1如图，已知E，F，G，H分别为空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．用向量法证明E，F，G，H四点共面．第三章3.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1[分析]要证E，F，G，H四点共面，根据共面向量定理，只需探求存在实数x，y，使EG→＝xEF→＋yEH→成立．第三章3.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1[解析]如图，连结BG，EG，则BF→＝12BC→，EH→＝12BD→，BG→＝12(BC→＋BD→)，所以EG→＝EB→＋BG→＝EB→＋12(BC→＋BD→)＝EB→＋BF→＋EH→＝EF→＋EH→.由共面向量定理的推论知E，F，G，H四点共面．第三章3.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1方法规律总结第三章3.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-11．证明向量a与b共线，即寻找实数λ，使a＝λb(b≠0)，可先设a＝λb，建立关于λ的方程，解出λ，即获证；若判断a与b是否共线，方法同上，若λ有解则共线，否则不共线．运用上述方法还可求参数的值．2．用共线向量定理证明三点共线得出向量平行后，还应指明两向量有公共点，同理证明二直线平行方法类似．第三章3.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-13．证明点P在平面ABC内，可以用AP→＝xAB→＋yAC→，也可以用OP→＝OA→＋xAB→＋yAC→，若用OP→＝xOA→＋yOB→＋zOC→，则必须满足x＋y＋z＝1.第三章3.1第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修2-1课堂巩固训练第三章3