逻辑代数

2020/1/24逻辑代数基础----《数字电路》1逻辑代数基础本章是逻辑电路的数学基础重点是逻辑代数的基本运算规律、逻辑函数的表示方法和化简方法。2020/1/24逻辑代数基础----《数字电路》2一.逻辑运算与运算：或运算：非运算：BAFAF2020/1/24逻辑代数基础----《数字电路》3与非运算：或非运算：与或非运算：ABFBAFCDABF2020/1/24逻辑代数基础----《数字电路》4异或：1.相同为0，相异为12.异或结果仅与参与运算的1的个数有关，与0无关，若为奇数个1，结果为1，若为偶数个1，结果为0。BABABAF2020/1/24逻辑代数基础----《数字电路》5同或：1.相同为1，相异为02.同或结果仅与参与运算的0的个数有关，与0无关，若为奇数个0，结果为0，若为偶数个0，结果为1。2020/1/24逻辑代数基础----《数字电路》6三个重要规则代入规则任何一个逻辑等式,如果将等式两边所出现的某一变量都代之以同一逻辑函数,则等式仍然成立.也称代入定理.主要用于扩大基本公式的应用范围，扩展变量。2020/1/24逻辑代数基础----《数字电路》7反演规则“+”--------“·”__F---“0”--------“1”-----F原变量-----反变量注：1。不可打乱原式的运算顺序2。不属于单变量上的非号应保留不变例：FABCDEFABCDE2020/1/24逻辑代数基础----《数字电路》8对偶原则：“0”--------“1”F---“+”--------“·”-----F’注：1。不可打乱原式的运算顺序例：FABCDEGABCDE2020/1/24逻辑代数基础----《数字电路》9逻辑函数描述方法之间的关系真值表：最小项之和式最大项之积式一般表达式卡诺图：2020/1/24逻辑代数基础----《数字电路》10由真值表写标准表达式由真值表，最小项之和就是真值表中F=1的各行变量取值的相应最小项之和，最大项之和就是真值表中F=0的各行变量取值的相应最大项之积。注：1.写最小项应将变量取值1代以原变量，0代以反变量相乘。2.写最大项应将变量取值1代以反变量，0代以原变量相加。2020/1/24逻辑代数基础----《数字电路》11例：F(A,B,C)=m0+m3+m5+m6=M1M2M4M72020/1/24逻辑代数基础----《数字电路》12由真值表填卡诺图：在变量K图上与真值表中F=1各行变量取值相应的最小项方格内填1，其余填0。2020/1/24逻辑代数基础----《数字电路》13由函数的最小项之和式填写K图：应在同式中所含最小项编号相同的方格内填1，其余填0。F=m1+m2+m4+m72020/1/24逻辑代数基础----《数字电路》14由函数的最大项之积式填写K图的：应在同式中所含最大项编号相同的小方格内填0，其余填1。F=M0M2M62020/1/24逻辑代数基础----《数字电路》15由一般表达式填写卡诺图：由函数的一般式填K图时，通常直接由式逐项填图。1。对于与或式，在各与项所覆盖的区域内填1，其余填0。2。对于或与式，在各或项所覆盖的区域内填0，其余填1。例：F(A,B,C,D)=ABC+CD+BD2020/1/24逻辑代数基础----《数字电路》16例：F(A,B,C)=(A+B)(B+C)2020/1/24逻辑代数基础----《数字电路》17由一般表达式写标准表达式：1。用代数法逐次补齐,逆用合并律。2。通过卡诺图。例：F=ABC+ACD+CD=ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ACD+ACD=ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD=m(15,14,3,7,12,8,4,0)2020/1/24逻辑代数基础----《数字电路》18或：F=ABC+ACD+CD=m(15,14,7,3,12,8,4,0)=M(1,2,5,6,9,10,11,13)2020/1/24逻辑代数基础----《数字电路》19化简代数法化简用逻辑代数中的一系列基本公式，对给定的逻辑函数表达式进行适当的变换，使之成为指定形式下的最简的逻辑表达式。最简的目的：所用的逻辑门最少每个门的输入端最少1。与或式的化简：四种方法2020/1/24逻辑代数基础----《数字电路》20并项法：AB+AB=A;A+A=1消项法：A+AB=A;AB+AC+BC=AB+AC消元法：A+AB=A+B配项法：利用A+A=1使某个积项，展开得到两个新的积项，或利用AB+AC=AB+AC+BC增加一项，再与其它项配合进行化简。2020/1/24逻辑代数基础----《数字电路》21例：F=AB+BCD+AC+BCF=AB+BCD+AC+B+C=AB+B+BCD+AC+C=A+B+CD+A+C=1+B+CD+C=12020/1/24逻辑代数基础----《数字电路》22例：F=ACD+BC+BD+AB+AC+BCF=ACD+BC+BD+AB+AC+BC+BC=ACD+BC+BD+AB+AC+B=ACD+C+AC+B=AD+C+B2020/1/24逻辑代数基础----《数字电路》232.或与式的化简例：F=(A+B)(A+B+C)(A+C)(B+C+D)F’=AB+ABC+AC+BCD=AB+AC+BCD=AB+AC(F’)’=(A+B)(A+C)2020/1/24逻辑代数基础----《数字电路》24卡诺图法化简F=ABC+ABC=(A+A)BC=BC‘留同弃异’2020/1/24逻辑代数基础----《数字电路》25合并的一般规律（1）有n个变量组成的逻辑函数，其K图中几何相邻的2i（i=1,2...n）个最小项（小格）可圈组合并消去i个变化的变量，保留n-i个相同的变量组成一个与项（乘积项）。（2）相邻原则。“几何相邻”是指“逻辑相邻”，K图应视为封闭曲面循环连接，紧接着小格“相邻”，位于行(列)两端，四角，四边...即图上完全呈轴对成的小格也应视为“相邻”。2020/1/24逻辑代数基础----《数字电路》261。求最简与或式在K图上恰当地合并填1的相邻项（简称圈1合并），可求得最简与或式。(圈1法)合并原则：以最小的圈数和尽可能大的卡诺圈，覆盖所有填1的最小项，即满足最小覆盖。2020/1/24逻辑代数基础----《数字电路》27合并步骤：（1）画框填图画被简化函数的K图；（2）画组合并先圈孤立的和只有一种圈法的填1最小项，再将余下的填1最小项式凑圈组，以满足最小覆盖。（3）按圈写式先对每圈写一与项，再将各与项相或。写与相时应消去取值变化的变量，保留取值相同的变量，取值为1式写原变量，取值为0写反变量。（留同弃异）2020/1/24逻辑代数基础----《数字电路》28例：2020/1/24逻辑代数基础----《数字电路》29注意事项（1）只有2、4、8...2i个相邻项才能圈组合并。（2）满足最小覆盖才能得最简式，最简与或式一定是本质蕴含项之和，但最简式不一定是唯一的。（3）一般应从实质最小项圈起，且要使卡诺圈尽量扩大，故n个变量的任一最小项应有n个相邻项。特别要注意位于两端，四角，两边及那些遥遥相应的相邻项。2020/1/24逻辑代数基础----《数字电路》30例：F=ABC+AB+ACD+BCDF=AB+CD+ABC2020/1/24逻辑代数基础----《数字电路》312。求最简或与式（圈0法）合并步骤：（1）将给定的逻辑函数表达式填入卡诺图。（2）对卡诺图上填0的小方格圈卡诺图，成为圈0合并，其原则与圈1的原则一样。（3）写出各个圈0卡诺图所对应的和项。此时，若卡诺圈对应的某变量取值是0则写为它的原变量，取值为1就写成反变量。（4）将各和项相乘，即得最简的或与式。2020/1/24逻辑代数基础----《数字电路》32例：F(A,B,C,D)=M(0,1,2,5,8,9,10,12,14)F=(B+D)(A+D)(B+C)(A+C+D)2020/1/24逻辑代数基础----《数字电路》333。非完全描述逻辑函数的化简在输入变量的每组取值下都有确定的函数值的逻辑函数称为完全描述逻辑函数。但实际中，输入变量的某些取值下的函数值是“无关”紧要的，可“随意”取0或取1，这些取值的相应最小项称为约束项，包含约束项的逻辑函数称为非完全描述逻辑函数。如：十字路口的交通红绿灯。非完全描述逻辑函数，在约束项的相应取值下函数值可“随意”取0或取1，所以可利用约束项简化逻辑函数。2020/1/24逻辑代数基础----《数字电路》34例：F=BD+BD+A)15,14,13,12,11,10()9,8,7,5,2,0(mF2020/1/24逻辑代数基础----《数字电路》35逻辑表达式的变换1。由F最简与或式：求反加非-------F最简与非-与非式2。由F最简或与式求反加非-------F最简或非-或非式加两次非-------F最简与或非式2020/1/24逻辑代数基础----《数字电路》36例：求F=ABCD+AB+ACD+BCD（32页例题）的最简与非-与非式。ABCDCBAABCDCBAABCDCBAF