9.5空间向量及其运算第一课时 空间向量及其加减与数乘运算

首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场二空间向量首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场9．5空间向量及其运算首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场第一课时空间向量及其加减与数乘运算首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场想一想：1．空间向量的概念及表示方法如同平面向量一样，在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量．与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．2．空间向量的加法、减法与数乘运算的定义(1)与平面向量一样，我们定义空间向量的加法、减法与数乘向量，运算如下：OB―→＝OA―→＋AB―→＝a＋b；CA―→＝OA―→－OC―→＝a－b；OP―→＝λa(λ∈R)．首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场(2)空间向量的加法与数乘向量运算满足如下运算律：①加法交换律：a＋b＝b＋a.②加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．③数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb.3．平行六面体的概念平行四边形ABCD(包括它的内部)平移向量a到A′B′C′D′的轨迹所形成的几何体叫做平行六面体，并记作平行六面体ABCDA′B′C′D′.它的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱．首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场做一做：1．两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的(B)(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件解析：两个向量相等，则其模也相等，反之，则不一定正确．应选B.首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场2．在平行六面体ABCDA′B′C′D′各棱上的向量中，与向量AA′―→相等的向量有(B)(A)0个(B)3个(C)6个(D)9个解析：平行六面体中与向量AA′―→相等的向量分别是BB′―→、CC′―→、DD′―→，一共有3个，选B.首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场3．空间任意四个点A、B、C、D，则DA―→＋CD―→－CB―→等于(D)(A)DB―→(B)AC―→(C)AB―→(D)BA―→解析：DA―→＋CD―→－CB―→＝CD―→＋DA―→＋BC―→＝CA―→＋BC―→＝BC―→＋CA―→＝BA―→应选D.首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场4．正方体ABCDA1B1C1D1中化简AB―→＋BC―→＋CC1―→＝________.解析：由向量的加法运算法则得AB―→＋BC―→＋CC1―→＝AC1―→.答案：AC1―→首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场教师备用：正方体ABCDA1B1C1D1中，化简AB―→＋BC―→＋CC1―→正确的结果是(A)(A)AC1―→(B)A1C―→(C)BD1―→(D)D1B―→解析：如图AB―→＋BC―→＋CC1―→＝AC1―→应选A.首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场知识要点一：空间向量的加减与数乘运算1．向量的加法运算结果仍是向量，它的运算法则与平面向量的加法一样，有平行四边形法则和三角形法则．例如：已知求a＋b.解：法一：用平行四边形法则求：作AB―→＝a，AD―→＝b，则有如图(1)所示AC―→＝a＋b.法二：用三角形法则求：作MN―→＝a，NP―→＝b，则有如图(2)所示MP―→＝a＋b.2．向量的减法运算结果仍是向量，它可以看作是加法运算即a－b＝a＋(－b)，例如上面图(2)中MP―→－MN―→＝NP―→，图(1)中AB―→－AD―→＝DB―→.首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场知识要点二：关于向量的三角形法则和平行四边形法则1．正确应用向量的三角形法则和平行四边形法则(1)在掌握向量加减法的同时，应首先掌握有特殊位置关系的两个向量的和或差，如共线、共起点、共终点等．(2)要记住常用关系、常用数据．如在△ABC中，AB―→＋BC―→＋CA―→＝0；以向量a、b为邻边的平行四边形中，a±b表示的是两条对角线所在的向量．(3)在应用向量的三角形法则和平行四边形法则时，要注意其要点：①对于向量加法，运用平行四边形法则要求两向量共起点，运用三角形法则要求向量首尾顺次相连．②对于向量的减法，要求两向量有共同的起点．a－b表示的是由b的终点指向a的终点的向量，即a－b的方向是由减数的终点指向被减数的终点．首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场2．空间向量和的多边形法则有限多个空间向量a1，a2，…，an相加，也可以像平面向量那样，从某点O出发，逐一引向量OA1―→＝a1，A1A2―→＝a2，…，An－1An―→＝an，如图，于是以所得折线OA1A2…An的起点O为起点、终点An为终点的向量OAn―→，就是a1，a2，…，an的和，即OAn―→＝OA1―→＋A1A2―→＋…＋An－1An―→＝a1＋a2＋…＋an.此即为空间向量和的多边形法则．用折线作向量的和时，有可能折线的终点恰恰重合到起点上，这时的和向量就为零向量．首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场向量的概念辨析题【例1】给出以下命题：①两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；②若空间向量a、b满足|a|＝|b|，则a＝b；③在正方体ABCDA1B1C1D1中，必有AC―→＝A1C1―→；④若空间向量m、n、p满足m＝n，n＝p，则m＝p；⑤空间中任意两个单位向量必相等．其中不正确命题的个数是()(A)1(B)2(C)3(D)4解析：当两个空间向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等，但两个向量相等，却不一定起点相同、终点相同，故①错；根据向量相等的定义，要保证两向量相等，不仅模要相等，而且方向还要相同，但②中向量a与b的方向不一定相同，故②错；根据正方体的性质，在正方体ABCDA1B1C1D1中，向量AC―→与A1C1―→的方向相同，模也相等，应有AC―→＝A1C1―→，故③正确；命题④显然正确；对于命题⑤，空间中任意两个单位向量模均为1，但方向不一定相同，故不一定相等，故⑤错．故选C.首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场(1)只要两个向量的方向相同，模相等，这两个向量就相等，起点和终点未必对应相同，即起点和终点对应相同是两个向量相等的充分不必要条件．(2)在空间，单位向量、向量的模、相等向量等概念和平面向量中相对应的概念完全一样．首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场空间向量的加减与数乘运算【例2】已知空间四边形ABCD中，G为△BCD的重心，E、F、H分别为边CD、AD和BC的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果的向量．(1)AG―→＋13BE―→＋12CA―→；(2)12(AB―→＋AC―→－AD―→)．首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场解：(1)如图(1)，∵G是△BCD的重心，∴|GE―→|＝13|BE―→|，∴13BE―→＝GE―→.又∵12CA―→＝EF―→，∴由向量加法的三角形法则可知，AG―→＋13BE―→＝AG―→＋GE―→＝AE―→，AE―→＋EF―→＝AF―→，从而AG―→＋13BE―→＋12CA―→＝AF―→.向量AF―→如图(1)所示．首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场(2)如图(2)，分别取AB、AC的中点P、Q，连PH、QH，则四边形APHQ为平行四边形，且有12AB―→＝AP―→，12AC―→＝AQ―→，而AP―→＋AQ―→＝AH―→.又12AD―→＝AF―→，∴12(AB―→＋AC―→－AD―→)＝AP―→＋AQ―→－AF―→＝AH―→－AF―→＝FH―→.向量FH―→如图(2)所示．平面向量仅是空间向量的一种特殊情形，其中的有关定义定理、公式以及运算法则，均可引申到空间向量中去．首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场变式训练21：已知长方体ABCDA′B′C′D′，化简下列向量的表达式，并标出化简结果的向量．(1)AA′―→－CB―→；(2)AB′―→＋B′C′―→＋C′D′―→；(3)12AD―→＋12AB―→－12A′A―→.解：(1)AA′―→－CB―→＝AA′―→＋A′D′―→＝AD′―→；(2)AB′―→＋B′C′―→＋C′D′―→＝AD′―→；(3)12AD―→＋12AB―→－12A′A―→＝AM―→.向量AD′―→、AM―→如图所示．首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场求向量式中的待定系数问题【例3】已知四边形ABCD为正方形，P是正方形ABCD所在平面外一点，P在平面ABCD上的射影恰好是正方形的中心O.Q是CD的中点，求下列各题中x、y的值：(1)OQ―→＝PQ―→＋xPC―→＋yPA―→；(2)PA―→＝xPO―→＋yPQ―→＋PD―→.思路点拨：要确定等式OQ―→＝PQ―→＋xPC―→＋yPA―→中x、y的值，就是看OQ―→怎样用PQ―→、PC―→、PA―→来表示，同理要确定(2)中的x、y的值也只要把PA―→用PO―→、PQ―→、PD―→表示出来即可．首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场解：(1)如图．∵OQ―→＝PQ―→－PO―→＝PQ―→－12(PC―→＋PA―→)＝PQ―→－12PC―→－12PA―→.∴x＝y＝－12.首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场(2)∵PA―→＋PC―→＝2PO―→，∴PA―→＝2PO―→－PC―→.又∵PC―→＋PD―→＝2PQ―→，∴PC―→＝2PQ―→－PD―→.从而有PA―→＝2PO―→－(2PQ―→－PD―→)＝2PO―→－2PQ―→＋PD―→.∴x＝2，y＝－2.利用待定系数法进行求值时，应充分理解题意，明确解题方向，充分利用向量的运算法则．首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场1．化简PM―→－PN―→＋MN―→所得的结果是(C)(A)PM―→(B)NP―→(C)0(D)MN―→解析：PM―→－PN―→＋MN―→＝NM―→＋MN―→＝MN―→－MN―→＝0.首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场2．已知空间四边形ABCD，连结AC、BD，则AB―→＋BC―→＋CD―→为(A)(A)AD―→(B)BD―→(C)AC―→(D)0解析：由空间向量加法的运算法则可知AB―→＋BC―→＋CD―→＝AC―→＋CD―→＝AD―→，选A.首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场3．已知空间四边形ABCD，连结AC、BD，设G是CD的中点，则AB―→＋12(BD―→＋BC―→)等于(A)(A)AG―→(B)CG―→(C)BC―→(D)12BC―→解析：如图所示，AB―→＋12(BD―→＋BC―→)＝AB―→＋BG―→＝AG―→.故选A.首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场4．已知平行六面体ABCDA′B′C′D′，化简下列表达式(1)AB―→＋BB′―→－D′A′―→＋D′D―→－BC―→＝____________；(2)AC′―→－AC―→＋AD―→－AA′―→＝__________.解析：(1)AB―→＋BB′―→－D′A′―→＋D′D―→－BC―→＝AB―→，(2)AC′―→－AC―→＋AD―→－AA′―→＝A′D′―→.答案：(1)AB―→(2)A′D′―→(答案不唯一)首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场5．在空间四边形ABCD中，连结AC、BD，若△BCD是正三角形，且E为其中心，则AB―→＋12BC―→－32DE―→－AD―→的化简结果为____________．解析：如图，连结DE并延长交BC于M，∵E是正△BCD的中心．∴M为BC的中点且32DE―→＝DM―→∴AB―→＋12BC―→