18-19 第3章 3.2 简单的三角恒等变换

第三章三角恒等变换3.2简单的三角恒等变换课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页学习目标：1.能用二倍角公式导出半角公式，体会其中的三角恒等变换的基本思想方法，以及进行简单的应用．(重点)2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法，能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用．(难点、易错点)课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页[自主预习·探新知]半角公式(1)sinα2＝_________________，(2)cosα2＝________________，(3)tanα2＝_________________，±1－cosα2±1＋cosα2±1－cosα1＋cosα课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页(4)tanα2＝sinα2cosα2＝sinα2·2cosα2cosα2·2cosα2＝sinα1＋cosα，tanα2＝sinα2cosα2＝sinα2·2sinα2cosα2·2sinα2＝1－cosαsinα.课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页[基础自测]1．思考辨析(1)cosα2＝1＋cosα2.()(2)存在α∈R，使得cosα2＝12cosα.()(3)对于任意α∈R，sinα2＝12sinα都不成立．()(4)若α是第一象限角，则tanα2＝1－cosα1＋cosα.()课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页[解析](1)×.只有当－π2＋2kπ≤α2≤π2＋2kπ(k∈Z)，即－π＋4kπ≤α≤π＋4kπ(k∈Z)时，cosα2＝1＋cosα2.(2)√.当cosα＝－3＋1时，上式成立，但一般情况下不成立．(3)×.当α＝2kπ(k∈Z)时，上式成立，但一般情况下不成立．(4)√.若α是第一象限角，则α2是第一、三象限角，此时tanα2＝1－cosα1＋cosα成立．[答案](1)×(2)√(3)×(4)√课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页2．已知180°＜α＜360°，则cosα2的值等于()A．－1－cosα2B．1－cosα2C．－1＋cosα2D．1＋cosα2C[∵180°＜α＜360°，∴90°＜α2＜180°，又cos2α2＝1＋cosα2，∴cosα＝－1＋cosα2.]课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页3．已知2π＜θ＜4π，且sinθ＝－35，cosθ＜0，则tanθ2的值等于________．－3[由sinθ＝－35，cosθ＜0得cosθ＝－45，∴tanθ2＝sinθ2cosθ2＝2sinθ2cosθ22cos2θ2＝sinθ1＋cosθ＝－351＋－45＝－3.]课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页[合作探究·攻重难]化简求值问题(1)设5π＜θ＜6π，cosθ2＝a，则sinθ4等于()A．1＋a2B．1－a2C．－1＋a2D．－1－a2课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页(2)已知πα3π2，化简：1＋sinα1＋cosα－1－cosα＋1－sinα1＋cosα＋1－cosα.【导学号：84352339】[思路探究](1)先确定θ4的范围，再由sin2θ4＝1－cosθ22得算式求值．(2)1＋cosθ＝2cos2α2，1－cosα＝2sin2α2，去根号，确定α2的范围，化简．课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页(1)D[(1)∵5π＜θ＜6π，∴θ2∈5π2，3π，θ4∈5π4，3π2.又cosθ2＝a，∴sinθ4＝－1－cosθ22＝－1－a2.(2)原式＝sinα2＋cosα222cosα2－2sinα2＋sinα2－cosα222cosα2＋2sinα2.课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页∵π＜α＜3π2，∴π2＜α2＜3π4，∴cosα2＜0，sinα2＞0，∴原式＝sinα2＋cosα22－2sinα2＋cosα2＋sinα2－cosα222sinα2－cosα2＝－sinα2＋cosα22＋sinα2－cosα22＝－2cosα2.]课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页[规律方法]1.化简问题中的“三变”(1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式．(2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切．(3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径，如升幂、降幂、配方、开方等．课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页2．利用半角公式求值的思路(1)看角：看已知角与待求角的2倍关系．(2)明范围：求出相应半角的范围为定符号作准备．(3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tanα2＝sinα1＋cosα＝1－cosαsinα，涉及半角公式的正、余弦值时，常利用sin2α2＝1－cosα2，cos2α2＝1＋cosα2计算．(4)下结论：结合(2)求值．提醒：已知cosα的值可求α2的正弦、余弦、正切值，要注意确定其符号．课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页[跟踪训练]1．已知cosθ＝－35，且180°θ270°，求tanθ2.[解]法一：∵180°θ270°，∴90°θ2135°，即θ2是第二象限角，∴tanθ20，∴tanθ2＝－1－cosθ1＋cosθ＝－1－－351＋－35＝－2.课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页法二：∵180°θ270°，即θ是第三象限角，∴sinθ＝－1－cos2θ＝－1－925＝－45，∴tanθ2＝1－cosθsinθ＝1－－35－45＝－2.课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页三角恒等式的证明求证：cos2α1tanα2－tanα2＝14sin2α.[思路探究]法一：切化弦用二倍角公式由左到右证明；法二：cos2α不变，直接用二倍角正切公式变形．课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页[证明]法一：用正弦、余弦公式．左边＝cos2αcosα2sinα2－sinα2cosα2＝cos2αcos2α2－sin2α2sinα2cosα2＝cos2αsinα2cosα2cos2α2－sin2α2课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页＝cos2αsinα2cosα2cosα＝sinα2cosα2cosα＝12sinαcosα＝14sin2α＝右边，∴原式成立．课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页法二：用正切公式．左边＝cos2αtanα21－tan2α2＝12cos2α·2tanα21－tan2α2＝12cos2α·tanα＝12cosαsinα＝14sin2α＝右边，∴原式成立．课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页[规律方法]三角恒等式证明的常用方法1执因索果法：证明的形式一般化繁为简；2左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子；3拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同；4比较法：设法证明“左边－右边＝0”或“左边/右边＝1”；5分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立.课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页[跟踪训练]2．求证：2sinxcosxsinx＋cosx－1sinx－cosx＋1＝1＋cosxsinx.【导学号：84352340】[证明]左边＝2sinxcosx2sinx2cosx2－2sin2x22sinx2cosx2＋2sin2x2课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页＝2sinxcosx4sin2x2cos2x2－sin2x2＝sinx2sin2x2＝cosx2sinx2＝2cos2x22sinx2cosx2＝1＋cosxsinx＝右边．所以原等式成立.课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页三角恒等变换与三角函数图象性质的综合已知函数f(x)＝3cos2x－π3－2sinxcosx.(1)求f(x)的最小正周期．(2)求证：当x∈－π4，π4时，f(x)≥－12.【导学号：84352341】[思路探究]化为fx＝Asinωx＋φ＋b→由T＝2π|ω|求周期→分析fx在－π4，π4上的单调性→求最小值证明不等式课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页[解](1)f(x)＝3cos2x－π3－2sinxcosx＝32cos2x＋32sin2x－sin2x＝12sin2x＋32cos2x＝sin2x＋π3，所以T＝2π2＝π.课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页(2)证明：令t＝2x＋π3，因为－π4≤x≤π4，所以－π6≤2x＋π3≤5π6，因为y＝sint在－π6，π2上单调递增，在π2，5π6上单调递减，所以f(x)≥sin－π6＝－12，得证．课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页[规律方法]三角恒等变换与三角函数图象性质的综合问题的解题策略：运用三角函数的和、差、倍角公式将函数关系式化成y＝asinωx＋bcosωx＋k的形式，借助辅助角公式化为y＝Asinωx＋φ＋k或y＝Acosωx＋φ＋k的形式，将ωx＋φ看作一个整体研究函数的性质.课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页[跟踪训练]3．已知函数f(x)＝3sin2x－π6＋2sin2x－π12(x∈R)．(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合．[解](1)∵f(x)＝3sin2x－π6＋2sin2x－π12＝3sin2x－π12＋1－cos2x－π12＝232sin2x－π12－12cos2x－π12＋1课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页＝2sin2x－π12－π6＋1＝2sin2x－π3＋1，∴T＝2π2＝π.(2)当f(x)取得最大值时，sin2x－π3＝1，有2x－π3＝2kπ＋π2，即x＝kπ＋5π12(k∈Z)，∴所求x的集合为xx＝kπ＋5π12，k∈Z.课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页三角函数在实际问题中的应用[探究问题]1．用三角函数解决实际问题时，通常选什么作为自变量？求定义域时应注意什么？提示：通常选角作为自变量，求定义域时要注意实际意义和正弦、余弦函数有界性的影响．2．建立三角函数模型后，通常要将函数解析式化为何种形式？提示：化成y＝Asin(ωx＋φ)＋b的形式．课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页如图3­2­1