18-19 第2章 2.3 2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 2.3.3 平面向量的坐标运算

第二章平面向量2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3平面向量的坐标运算课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页学习目标：1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示．(难点)2.理解向量坐标的概念，掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则．(重点)3.向量的坐标与平面内点的坐标的区别与联系．(易混点)课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页[自主预习·探新知]1．平面向量的正交分解及坐标表示(1)平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相_____的向量，叫做把向量正交分解．垂直课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页(2)平面向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向____的两个____向量i、j作为____．对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理知，________一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，我们把有序数对______叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，a＝(x，y)叫做向量的坐标表示．显然，i＝_____，j＝_____，0＝_____．相同单位基底有且只有(x，y)(1,0)(0,1)(0,0)课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页2．平面向量的坐标运算设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R，则有：加法a＋b＝________________减法a－b＝_______________数乘λa＝__________重要结论已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB→＝_______________(x1＋x2，y1＋y2)(x1－x2，y1－y2)(λx1，λy1)(x2－x1，y2－y1)课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页[基础自测]1．思考辨析(1)若OA→＝(2，－1)，则点A的坐标为(2，－1)．()(2)若点A的坐标为(2，－1)，则以A为终点的向量的坐标为(2，－1)．()(3)平面内的一个向量a，其坐标是唯一的．()[解析](1)正确．对于从原点出发的向量，其终点坐标与向量的坐标表示相同．(2)错误．以A为终点的向量有无数个，它们不一定全相等．(3)正确．由平面向量坐标的概念可知．[答案](1)√(2)×(3)√课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页2．已知向量OA→＝(3，－2)，OB→＝(－5，－1)，则向量12AB→的坐标是()A．－4，12B．4，－12C．(－8,1)D．(8,1)A[AB→＝OB→－OA→＝(－5，－1)－(3，－2)＝(－8,1)，12AB→＝－4，12.]课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页3．如图2­3­14，在平面直角坐标系中，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，若|a|＝2，θ＝45°，则向量a的坐标为________．(2，2)[由题意知a＝(2cos45°i,2sin45°j)＝(2i，2j)＝(2，2)．]图2­3­14课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页[合作探究·攻重难]平面向量的坐标表示如图2­3­15，在平面直角坐标系xOy中，OA＝4，AB＝3，∠AOx＝45°，∠OAB＝105°，OA→＝a，AB→＝b.四边形OABC为平行四边形．(1)求向量a，b的坐标；(2)求向量BA→的坐标；(3)求点B的坐标.【导学号：84352220】图2­3­15课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页[解](1)作AM⊥x轴于点M，则OM＝OA·cos45°＝4×22＝22，AM＝OA·sin45°＝4×22＝22，∴A(22，22)，故a＝(22，22)．∵∠AOC＝180°－105°＝75°，∠AOy＝45°，∴∠COy＝30°.又OC＝AB＝3，∴C－32，332，课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页∴AB→＝OC→＝－32，332，即b＝－32，332.(2)BA→＝－AB→＝32，－332.(3)OB→＝OA→＋AB→＝(22，22)＋－32，332＝22－32，22＋332.课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页[规律方法]求点、向量坐标的常用方法：1求一个点的坐标：可利用已知条件，先求出该点相对应坐标原点的位置向量的坐标，该坐标就等于相应点的坐标.2求一个向量的坐标：首先求出这个向量的始点、终点坐标，再运用终点坐标减去始点坐标即得该向量的坐标.课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页[跟踪训练]1．已知O是坐标原点，点A在第一象限，|OA→|＝43，∠xOA＝60°，(1)求向量OA→的坐标；(2)若B(3，－1)，求BA→的坐标．[解](1)设点A(x，y)，则x＝43cos60°＝23，y＝43sin60°＝6，即A(23，6)，OA→＝(23，6)．(2)BA→＝(23，6)－(3，－1)＝(3，7).课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页平面向量的坐标运算(1)已知a＋b＝(1,3)，a－b＝(5,7)，则a＝________，b＝________.(2)已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，且CM→＝3CA→，CN→＝2CB→，求M，N及MN→的坐标．[思路探究](1)用加减消元法求a，b的坐标．(2)法一：设点M，N的坐标，用向量相等的坐标表示列方程求值．法二：用向量线性运算的几何意义直接计算OM→，ON→的坐标．课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页(1)(3,5)(－2，－2)[由a＋b＝(1,3)，a－b＝(5,7)，所以2a＝(1,3)＋(5,7)＝(6,10)，所以a＝(3,5)，2b＝(1,3)－(5,7)＝(－4，－4)，所以b＝(－2，－2)．]课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页(2)[解]法一：(待定系数法)由A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，可得CA→＝(－2,4)－(－3，－4)＝(1,8)，CB→＝(3，－1)－(－3，－4)＝(6,3)，所以CM→＝3CA→＝3(1,8)＝(3,24)，CN→＝2CB→＝2(6,3)＝(12,6)．设M(x1，y1)，N(x2，y2)，课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页则CM→＝(x1＋3，y1＋4)＝(3,24)，x1＝0，y1＝20；CN→＝(x2＋3，y2＋4)＝(12,6)，x2＝9，y2＝2，所以M(0,20)，N(9,2)，MN→＝(9,2)－(0,20)＝(9，－18)．课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页法二：(几何意义法)设点O为坐标原点，则由CM→＝3CA→，CN→＝2CB→，可得OM→－OC→＝3(OA→－OC→)，ON→－OC→＝2(OB→－OC→)，从而OM→＝3OA→－2OC→，ON→＝2OB→－OC→，所以OM→＝3(－2,4)－2(－3，－4)＝(0,20)，ON→＝2(3，－1)－(－3，－4)＝(9,2)，即点M(0,20)，N(9,2)，故MN→＝(9,2)－(0,20)＝(9，－18)．课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页[规律方法]平面向量坐标的线性运算的方法：1若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行.2若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算.3向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页[跟踪训练]2．若A，B，C三点的坐标分别为(2，－4)，(0,6)，(－8,10)，求AB→＋2BC→，BC→－12AC→的坐标．[解]∵AB→＝(－2,10)，BC→＝(－8,4)，AC→＝(－10,14)，∴AB→＋2BC→＝(－2,10)＋2(－8,4)＝(－2,10)＋(－16,8)课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页＝(－18,18)，BC→－12AC→＝(－8,4)－12(－10,14)＝(－8,4)－(－5,7)＝(－3，－3).课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页向量坐标运算的综合应用[探究问题]1．已知点O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，及OP→＝OA→＋tAB→.当t为何值时，点P在x轴上？点P在y轴上？点P在第二象限？提示：∵OP→＝OA→＋tAB→＝(1,2)＋t(3,3)＝(1＋3t,2＋3t)．若点P在x轴上，则2＋3t＝0，∴t＝－23.若点P在y轴上，则1＋3t＝0，课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页∴t＝－13.若点P在第二象限，则1＋3t0，2＋3t0，∴－23t－13.课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页2．对于探究1条件不变，四边形OABP能为平行四边形吗？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．提示：∵OA→＝(1,2)，PB→＝(3－3t,3－3t)．若四边形OABP为平行四边形，则OA→＝PB→，∴3－3t＝1，3－3t＝2，该方程组无解．故四边形不能为平行四边形．课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页(1)已知向量a＝(2，－3)，b＝(1,2)，p＝(9,4)，若p＝ma＋nb，则m＋n＝________.(2)已知点A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)．若AP→＝AB→＋λAC→(λ∈R)，试求λ为何值时，①点P在一、三象限角平分线上；②点P在第三象限内.【导学号：84352221】课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页[思路探究](1)求向量ma＋nb的坐标→相等向量的坐标相同列方程组→解方程组求m，n得m＋n(2)用λ表示点P的横、纵坐标→根据条件列方程或不等式→求解课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页(1)7[由已知得ma＋nb＝m(2，－3)＋n(1,2)＝(2m＋n，－3m＋2n)．又p＝(9,4)且p＝ma＋nb，所以2m＋n＝9，－3m＋2n＝4，解得m＝2，n＝5，所以m＋n＝7.]课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页(2)[解]设点P的坐标为(x，y)，则AP→＝(x，y)－(2,3)＝(x－2，y－3)，AB→＋λ·AC→＝[(5,4)－(2,3)]＋λ[(7,10)－(2,3)]＝(3,1)＋λ(5,7)＝(3＋5λ，1＋7λ)．∵AP→＝AB→＋λAC→，∴x－2＝3＋5λ，y－3＝1＋7λ，则x＝5＋5λ，y＝4＋7λ.课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页①若P在一、三象限角平分线上，则5＋5λ＝4＋7λ，∴λ＝12，∴当λ＝12时，点P在一、三象限角平分线上．②若P在第三象限内，则5＋5λ0，4＋7λ0，∴λ－1，∴当λ－1时，点P在第三象限内．课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•探新知合作探究•攻重难返首页母题探究：1.若本例(2)条件不变，试求λ为何值时，点P在第四象限．[解]若P在第四象限，则5＋5λ＞0，4＋7λ＜0，解得－1＜λ＜－47.课时分层作业当堂达标•固双基自主预习•