第14讲 杂题

学习改变命运，思考成就未来！联系电话：62164116学而思教育07年寒假小升初专项训练班讲义六年级面向人大附班第十四讲教师版Page1of12小升初名校真题专项测试-----竞赛类试题测试时间：15分钟姓名_________测试成绩_________1、有7双白手套，8双黑手套，9双红手套放在一只袋子里。一位小朋友在黑暗中从袋中摸取手套，每次摸一只，但无法看清颜色，为了确保能摸到至少6双手套，他最少要摸出手套（）只。(手套不分左、右手，任意二只可成一双)。（05年三帆中学入学测试题）【解】考虑运气最背情况，这样我们只能是取了前面5双颜色相同的后再取三只颜色不同的，如果再取一只，那么这只的颜色必和刚才三只中的一只颜色相同故我们至少要取5×2+3+1=14只。2、有一批长度分别为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10和11厘米的细木条，它们的数量都足够多，从中适当选取3根木条作为三条边，可围成一个三角形;如果规定底边是11厘米，你能围成多少个不同的三角形?（06年实验中学入学测试题）【解】由于数量足够多，所以考虑重复情况；现在底边是11，我们要保证的是两边之和大于第三边，这样我们要取出的数字和大于11.情况如下：一边长度取11，另一边可能取1～11总共11种情况；一边长度取10，另一边可能取2～10总共9种情况；……一边长度取6，另一边只能取6总共1种；下面边长比6小的情况都和前面的重复，所以总共有1+3+5+7+9+11=36种。3、已知A，B，C，D和A+C，B+C，B+D，D+A分别表示1至8这八个自然数，且互不相等．如果A是A，B，C，D这四个数中最大的一个数，那么A是________．（03年资源杯）【解】整体思想，把这8个数相加，我们发现每个数都加了三遍，这样总共和是1+2+3…+8=36，所以A+B+C+D=36÷3=12，因为A+C，B+C，B+D，D+A也是表示1～8中间的数，那么A、B、C、D中间必有表示1、2的数，那么剩下两数和为12-1-2=9，可能情况为：1)4、5;如果是，那么我们发现8没办法用两个数凑出来，所以不符合条件；2）3、6；符合情况。4、某次中外公司谈判会议开始10分钟听到挂钟打钟（只有整点时打钟，几点钟就响几下），整个会议当中共听到14下钟声，会议结束时，时针和分针恰好成90度角，求会议开始的时间结束的时间及各是什么时刻。（03年人大附中入学测试题）【解】因为几点钟响几下，所以14=2+3+4+5，所以响的是2、3、4、5点，那么开始后10分钟才响就是说开始时间为1点50分。结束时，时针和分针恰好成90度角，所以可以理解为5点过几分钟时针和分针成90度角，这样我们算出答案为10÷1211=101110分钟，所以结束时间是5点101110分钟。（可以考虑还有一种情况，即分针超过时针成90度角，时间就是40÷1211）学习改变命运，思考成就未来！联系电话：62164116学而思教育07年寒假小升初专项训练班讲义六年级面向人大附班第十四讲教师版Page2of125、两人按自然数的顺序轮流报数，每个人只能报1个数或2个数.比如第一个人可以报1，第二个人可以报2或2、3，第一个人也可以报1、2，第一个人可以报3或3、4，这样继续下去，谁报到30，谁就获胜.请问，谁有必胜的测略？（06年试验中学入学测试题）【解】博弈问题，我们从后面考虑，因为每人只能报1个数或2个数，如果想报30获胜，那么就得最后报到27，这样对方不能报到30，而你能接着报到30，这样你的目标变成要报到27，同理如果你要报到27，那就必须保证你能报到24，这样每3个数一个周期，所以最后30÷3=10，所以让对方先报，让你和对方的数字和为3个你就肯定赢。小结：一般地，目标数m,每次限报n个，m=(n+1)k+r.r=0,后报必胜，策略是每个回合两人所报个数和为1+n.r≠0,先报必胜，策略是先报完r，以后每个回合两人所报个数和为1+n.6、设有十个人各拿着一只提桶同时到水龙头前打水，设水龙头注满第一个人的桶需要1分钟，注满第二个人的桶需要2分钟，…….如此下去，当只有两个水龙头时，巧妙安排这十个人打水，使他们总的费时时间最少.这时间等于_________分钟.【解】不难得知应先安排所需时间较短的人打水．不妨假设为：第一个水龙头第二个水龙头第一个AF第二个BG第三个CH第四个DI第五个EJ显然计算总时间时，A、F计算了5次，B、G计算了4次，C、H计算了3次，D、I计算了2次，E、J计算了1次．那么A、F为1、2，B、G为3、4，C、H为5、6，D、I为7、8，E、J为9、10．所以有最短时间为(1+2)×5+(3+4)×4+(5+6)×3+(7+8)×2+(9+10)×1＝125分钟．评注：下面给出一排队方式：第一个水龙头第二个水龙头第一个12第二个34第三个56第四个78第五个9107、4道单项选择题，每题都有A、B、C、D四个选项，其中每题只有一个选项是正确的，有800名学生做这四道题，至少有4人的答题结果是完全一样的？（05年101中学入学测试题）【解】:因为每个题有4种可能的答案，所以4道题共有4×4×4×4＝256种不同的答案，由抽屉原理知学习改变命运，思考成就未来！联系电话：62164116学而思教育07年寒假小升初专项训练班讲义六年级面向人大附班第十四讲教师版Page3of12至少有：2561800+1＝4人的答题结果是完全一样的．学习改变命运，思考成就未来！联系电话：62164116学而思教育07年寒假小升初专项训练班讲义六年级面向人大附班第十四讲教师版Page4of12第十四讲小升初专项训练-----竞赛类试题训练引言：本讲包括：操作，合理安排，最值，最佳对策，通过复习，加深巩固对这些知识块的认识。这些知识相当杂，牵涉到的东西非常多，在考试之中涉及到的虽然不会很多，但是偶尔会涉及到，因此我们必须要把这些知识学会，学懂。一般地会有一部分学校的升学考试会涉及到这些知识。但这部分知识也没有必要花太多的精力，只要把我们讲义上的东西搞清楚了就已经差不多了。一、数字迷【例1】：．（★★★★）ABCD表示一个四位数，EFG表示一个三位数，A，B，C，D，E，F，G代表1至9中的不同的数字。已知ABCD+EFG=1993，问：乘积ABCD×EFG的最大值与最小值相差多少？解答：[思路]：首先可以根据ABCD+EFG=1993讨论字母中确定的数，再讨论其中数值可能的取值。解：因为ABCD+EFG=1993，首先A=1，B+E≤9；D+G个位为3，因为A=1，所以剩下大小为2+3=5,则D+G只能是13，即4+9或5+8或6+7；根据和一定，两数之差越小乘积越大，B、E应选2、7；那么，C+F只能等于8，即只有3、5一种选择，由此也就确定了D、G只能选4、9；所以，两数为1234和759时乘积最大，1234×759=936606；两数为1759和234时乘积为最小，1759×234=411606；936606-411606=525000，乘积ABCD×EFG的最大值与最小值相差525000。[总结]：字谜中最重要的是学会分析取值可能性。[拓展]：已知a，b，c，d，e，f，g，h分别代表0至9中的8个不同数字，并且a≠0，e≠0，还知道有等式abcd－efgh=1994,那么两个四位数abcd与efgh之和的最大值是多少？最小值是多少？【例2】：．（★★★★）小明按照下列算式：乙组的数□甲组的数〇1＝对甲、乙两组数逐个进行计算，其中方框是乘号或除号，圆圈是加号或减号。他将计算结果填入下图的表中。有人发现表中14个数中有两个数是错的，请你改正。问改正后的两个数的和是多少？[思路]：要找出哪两个数错的，我们得先通过剩下的找出方框和圆中都填了什么符号，再进行判断。解答：首先，由结果中的数值都增大比较多，可以初步判断方框中应填除号，圆圈中应填加号。试算：由此可以确定上面的填运算符号是正确的，且4又5/16是错误之一，应为4又55/16；学习改变命运，思考成就未来！联系电话：62164116学而思教育07年寒假小升初专项训练班讲义六年级面向人大附班第十四讲教师版Page5of12再对第二行数据试算，发现结果都不符，说明“2”是错的。用还原法逆推，（3.4-1）÷0.625=1.5=3/2，验算均符合。所以，第二个错误是乙数“2”应为3/2。那么，4又55/16+3/2=6又7/16。[总结]：此题的重点在于初步判断符号，此时要大胆的先试验一下，再进行判断。【例3】：、（★★★）在下面的圆圈和方框中，分别填入适当的自然数，使等式成立。问在方框中应填多少？[方法一]：[思路]：从条件上看，本题没有太好的突破口。但是不难体会，填入的两个自然数不可能都很大，就是说其中至少有一个比较小，否则两个分数的和达不到11/12这就提供了讨论的可能．解：记圆圈里填入的是A，方框里填入的是B，那么A1＋B29＝1211不难验证，当A=2、3、4、5时，相应的B都不是自然数，也就不是所求的答案．当A≥6时，有B29≥1211一61=43，得B≤38．又因为显然B291211，得B≥32．由原条件，可得等式A＝3481112BB将B=32、33……38依次代入上式，只有B=32和36时得到的A才是整数，即961＋3229＝1211，91＋3229＝1211因此，方框中填的数是32或36．[方法二]：直接试验[思路]：直接展开，找出符合情况的，但答案往往是不唯一的。解：11/12=33/36=（4+29）/36=4/36+29/36=1/9+29/36，所以，在方框中应填36。（36是一个非常容易得到的答案，但不一定是唯一的。）[方法三]：不定方程[思路]：设数再按要求列方程。解：设：1/x+29/y=11/12，则：x(348+y)=12y(x-1)，当xy时，解得x=96，y=32；当xy时，解答x=9,y=36.所以，在方框中可填32或36。[总结]：本题更应该算是一道不定方程的题目，所以解法有些与众不同．有兴趣的读者可以试用解不定方程的方法来解本题．[拓展]：A/11+B/3=37/33，问A，B分别为多少？二、最值问题【例1】：．（★★★）将6，7，8，9，10按任意次序写在一个圆周上，每相邻两数相乘，并将所得的5个乘积相加，那么所得和数的最小值是多少？[思路]：要使积最小，就要每个数尽可能小，则一定要使大数和小数凑。解：要使乘积最小，就要每个数尽可能小。对于10，旁边添6和7，这样积小一些。于是有两种添法：学习改变命运，思考成就未来！联系电话：62164116学而思教育07年寒假小升初专项训练班讲义六年级面向人大附班第十四讲教师版Page6of12经计算，第二种方法好，得出312。【例2】：．（★★★★）有13个不同自然数，它们的和是100。问其中偶数最多有多少个？最少有多少个？[思路]：奇偶性分析，要使偶数最多，则偶数的和要越小越好，而且偶数的个数要为奇数个。解：①要使偶数最多，则偶数的和要越小越好，而且偶数的个数要为奇数个，这样2+4+6+8+10+12+14+16+18=90，不符合题意，所以只能少一个偶数2+4+6+8+10+12+14+16=72，还是不行，再减少一个2+4+6+8+10+12+14=56100-56=4242=1+3+5+7+9+17，最多有7个偶数。②同理：1+3+5+7+9+11+13+15=64还要5个偶数，100-64=3636=2+4+6+8+16最少有5个偶数。【例3】：．（★★★★）将1，2，3，…，49，50任意分成10组，每组5个数。在每一组中，数值居中的那个数称为“中位数”。求这10个中位数之和的最大值与最小值。[思路]：如果随意地分一下组，比如1～5第一组、6～10第二组……这样当然无法得到最好的情况．我们先来分析最小是什么情