数学北师版八年级上册期中复习课件(2015年)

数学八年级上册第一章勾股定理第一章|过关测试知识归纳1．勾股定理定义：如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c，那么各种表达形式：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，则c2＝，a2＝，b2＝.作用：(1)已知直角三角形的两边求第三边；(2)已知直角三角形的一边求另两边的关系；(3)用于证明平方关系的问题．2．勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c满足：，那么这个三角形是直角三角形．3．勾股数满足a2＋b2＝c2的三个，称为勾股数．a2＋b2＝c2a2＋b2c2－b2c2－a2a2＋b2＝c2正整数第一章|过关测试考点攻略考点一应用勾股定理计算例1已知直角三角形的两边长分别为3,4，求第三边长的平方．[解析]因习惯了“勾三股四弦五”的说法，即意味着两直角边为3和4时，斜边长为5.但这一理解的前提是3,4为直角边．而本题中并未加以任何说明，因而所求的第三边可能为斜边，也可能为直角边．解：(1)当两直角边长分别为3和4时，第三边长的平方为32＋42＝25；(2)当斜边为4，一直角边为3时，第三边长的平方为42－32＝7.第一章|过关测试易错警示应用勾股定理计算时，易出现下列两种错误：(1)忽视勾股定理成立的条件，在非直角三角形中使用a2＋b2＝c2；(2)当题目给出两条边长而没有给出图形时，可能考虑不周而漏解．考点二直角三角形的判别例2如图1－1，在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点，且EC＝14BC，请说明：AF⊥EF.图1－1第一章|过关测试[解析]要说明AF⊥EF，可说明△AEF是直角三角形，只要根据勾股定理的逆定理说明AF2＋EF2＝AE2就可以了．解：连接AE，设正方形边长为a，则DF＝FC＝a2，EC＝a4.在Rt△ECF中，有EF2＝a22＋a42＝516a2.在Rt△FDA中，有AF2＝a22＋a2＝54a2.在Rt△ABE中，有BE＝a－14a＝34a，∵AE2＝a2＋34a2＝2516a2，∴AF2＋EF2＝AE2.根据勾股定理的逆定理，得∠AFE＝90°，∴AF⊥EF.第一章|过关测试易错警示根据a2＋b2＝c2，判别直角三角形时，容易出现计算一条短边及最长边的平方和，导致错误．考点三勾股定理的实际应用例3如图1－2，在公路AB旁有一座山，现有一C处需要爆破，已知点C与公路上的停靠站A的距离为300m，与公路上另一停靠站B的距离为400m，且CA⊥CB，为了安全起见，爆破点C周围半径250m范围内不得进入．在进行爆破时，公路AB段是否因有危险而需要暂时封锁？图1－2第一章|过关测试[解析]要判断公路AB段是否需要封锁，则需要比较点C到AB的距离与250m的大小关系，可以借助勾股定理和三角形的面积计算点C到AB的距离．解：作CD⊥AB于D，因为BC＝400m，AC＝300m，∠ACB＝90°，根据勾股定理，得AC2＋BC2＝AB2，即3002＋4002＝AB2，所以AB＝500m.由三角形的面积可知：12AB·CD＝12BC·AC，所以500CD＝400×300，所以CD＝240m.因为240＜250，即点C到AB的距离小于250m，所以有危险，公路AB段需要暂时封锁．第一章|过关测试转化思想是一种重要的数学思想，它的应用十分广泛，如通过作高可以将非直角三角形的问题转化为直角三角形的问题来解决，通过建模可以将实际问题转化为数学问题来解决等．方法技巧第一章|过关测试例4李老师让同学们讨论这样一个问题，如图1－3所示，有一个长方体盒子，底面正方形的边长为2cm，高为3cm，在长方体盒子下底面的A点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面的F点处的食物，则怎样爬行路程最短？最短路程是多少？图1－3方法技巧最短路径问题是勾股定理在立体几何中的应用，一般做法是把长方体(或其他几何体)侧面展开，将立体图形问题转化为平面图形问题，再根据两点之间线段最短，用勾股定理求解．第一章|过关测试考点四验证勾股定理例5一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种新的验证方法．如图1－6，火柴盒的一个侧面ABCD倒下到AB′C′D′的位置，连接CC′，设AB＝a，BC＝b，AC＝c，请利用四边形BCC′D′的面积验证勾股定理：a2＋b2＝c2.图1－6第一章|过关测试[解析]观察图形会发现易证△ABC≌△C′D′A，得∠CAC′＝90°，于是梯形BCC′D′的面积既等于12(C′D′＋BC)·BD′，又等于S△ABC＋S△CAC′＋S△D′AC′，于是定理得证．证明：由题意可知四边形BCC′D′为直角梯形，因为Rt△ABC≌Rt△AB′C′，所以∠BAC＝∠B′AC′，∠CAC′＝∠CAB′＋∠B′AC′＝∠CAB′＋∠BAC＝90°.所以S梯形BCC′D′＝S△ABC＋S△CAC′＋S△D′AC′，12(a＋b)(a＋b)＝12ab＋12ab＋12c2，即a2＋b2＝c2.第一章|过关测试针对训练1．如图1－7，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC边长的平方和为()A.74B.75C.64D．70图1－7C第一章|过关测试2．如图1－8所示，每个小方格都是边长为1的正方形，点A、B是方格纸的两个格点(即正方形的顶点)，在这个6×6的方格中，找出格点C，使△ABC是面积为1个平方单位的直角三角形，这样的点有________个．图1－86[解析]如图1－9，当∠A为直角时，满足面积为1的点是A1、A2；当∠B为直角时，满足面积为1的点是B1、B2；当∠C为直角时，满足面积为1的点是C、C1，所以满足条件的点共有6个．图1－9第一章|过关测试针对训练1．已知三角形的三边为a＝34，b＝54，c＝1，这个三角形是直角三角形吗？解：∵a2＝916，b2＝2516，c2＝1，∴a2＋c2＝b2，∴三角形是直角三角形．第一章|过关测试针对训练B、C是河岸边两点，A为对岸岸上一点，测得∠ABC＝45°，∠ACB＝45°，BC＝50m，则河宽AD为()图1－10A．252mB．25mC.5033mD．253mB第一章|过关测试针对训练如图1－12，在直线l上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1，1.21，1.44，正放置的四个正方形的面积为S1、S2、S3、S4，则S1＋S2＋S3＋S4＝________.图1－122.44[解析]由勾股定理的几何意义可知：S1＋S2＝1,S2＋S3＝1.21,S3＋S4＝1.44，∴S1＋S2＋S3＋S4＝2.44.第一章|过关测试2．如图1－14，是一块长、宽、高分别是4cm、2cm和1cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体的表面到长方体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是________cm.图1－145第一章|过关测试[解析]因为平面展开图不唯一，故分情况分别计算，进行大小比较，再从各个路线中确定最短的路线．(1)展开前面、右面．由勾股定理得AB2＝(2＋4)2＋12＝37；(2)展开前面、上面．由勾股定理得AB2＝(1＋4)2＋22＝29；(3)展开左面、上面．由勾股定理得AB2＝(2＋1)2＋42＝25.所以最短路径的长为AB＝5cm.第一章|过关测试针对训练如图1－15所示，某住宅社区在相邻两楼之间修建一个上方是一个半圆，下方是长方形的仿古通道，现有一辆卡车装满家具后，高4米，宽2.6米，请问这辆送家具的卡车能否通过这个通道？图1－15第一章|过关测试解：如图1－16所示，过直径的中点O，作直径的垂线交下底边于点D.如图1－16所示，在Rt△ABO中，由题意知OA＝2米，DC＝OB＝2.6×0.5＝1.3(米)，所以AB2＝22－1.32＝2.31.因为4－2.6＝1.4,1.42＝1.96,2.31＞1.96，所以卡车可以通过．答：卡车可以通过图1－16第二章实数第二章|过关测试知识归纳1．算术平方根一般地，如果一个正数x的平方等于a，即＝a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根，记为，特别地，0的算术平方根是.2．平方根一般地，如果一个数x的平方等于a，即＝a，那么这个数x就叫做a的.一个正数有个平方根，它们互为；0的平方根是；负数没有．0x2ax2平方根两相反数0平方根第二章|过关测试3．立方根一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3＝a，那么这个数x就叫做a的(也叫做)，记作.正数的立方根是；负数的立方根是；0的立方根是.4．实数的有关概念(1)无限小数叫无理数．【注意】常见的几种无理数：①根号型：2、8等开方开不尽的；②构造型：如1.323223…；③与π有关的：如π3、π－1等．(2)实数可以分为有理数和无理数，也可以分为、0和.(3)若a、b互为相反数，则有a＋b＝0，|a|＝|b|.【注意】相反数等于它本身的数是0，即若a＝－a，则a＝0.立方根三次方根3a正数负数0不循环正实数负实数第二章|过关测试(4)任何非0实数a都有倒数是.【注意】零是唯一没有倒数的数，倒数等于本身的数是1或－1.(5)绝对值：数轴上表示数a的点与原点的，记作|a|.【注意】|a|＝aa0，0a＝0，－aa0.(6)非负数：叫做非负数．5．实数的运算法则a·b＝(a≥0，b≥0)；ab＝(a≥0，b0)．1a距离正数和0abab第二章|过关测试考点攻略考点一平方根与立方根例1若35x＋32＝－2，求x＋17的平方根．[解析]可由5x＋32的值，求出x的值，间接求x＋17的平方根．第二章|过关测试解：∵35x＋32＝－2，∴5x＋32＝(－2)3＝－8，5x＝－40，x＝－8，∴x＋17＝－8＋17＝9.∴±x＋17＝±9＝±3，∴x＋17的平方根为±3.方法技巧解答此类问题要注意平方根和立方根的概念和性质的区别．一个数的立方根只有一个，并且它们同号．一个正数有两个平方根．第二章|过关测试考点二实数与数轴例2在数轴上作出－13对应的点．图2－1[解析]关键要在数轴上构造一个矩形(长方形)，而此矩形(长方形)的对角线的长度正好是此数的绝对值，且长和宽的平方和等于被开方数13.由此想到22＋32＝13.∴此长方形的长为3，宽为2.第二章|过关测试解：如图2－2，点A表示－13.图2－2方法技巧对于画长为k(k为自然数)的线段，通常将k写成两个自然数的平方和或平方差的形式，然后利用勾股定理画图．第二章|过关测试例3如图2－3，数轴上A，B两点对应的实数分别是1和3，若点A关于点B的对称点为点C，则点C所对应的实数为()A．23－1B．1＋3C．2＋3D．23＋1图2－3A第二章|过关测试[解析]A因为点A关于点B的对称点为点C，则AB＝BC，AB＝3－1，则将点B向右平移(3－1)个单位长度得到点C，则点C对应的实数为3＋(3－1)＝23－1.方法技巧实数与数轴体现了数形结合思想的应用，在各类考试中，经常把实数的大小比较、实数的相关概念或运算等知识和数轴结合考查．第二章|过关测试考点三算术平方根的非负性例4若x、y为实数，且||x＋2＋y－2＝0，则xy的值为()A．1B．－1C．4D．－4D[解析]D依题意，得x＋2＝0，y－2＝0，∴x＝－2，y＝2，xy＝－2×2＝－4.方法技巧(1)常见的非负数的形式：|a|，a2，a(a≥0)．(2)非负数的性质：几个非负数之和为0，则每一个数都为0.第二章|过关测试考点四实数的运算例5估计8×12＋3的运算结果应在()A．1到2之间B．2到3之间C．3到4之间D．4到5之间C[解析]C原式运算结果为2＋3，因为3＜2＋3＜4，所以2＋3在3到4之间．第二章|过关测试例6计算：36×14－364－111×121解：原式＝6×12－4－111×11＝3－4－1＝－2.易错警示进行实数运算时，运算结果一定要化成最简，要避免没有把运算结果化成最简的错误．第二章|过关测试针对训练1．给出四个数0，2，－12，1，其中最大的是()A．0B.2C