数学危机

数学危机每一次数学危机，都是数学的基本部分受到质疑。实际上，也恰恰是这三次危机，引发了数学史上的三次思想解放，大大推动了数学科学的发展。公元前5世纪爱琴海毕达格拉斯希帕斯一、第一次数学危机希帕斯的问题：边长为1的正方形的对角线长是多少？之比引发的。不能写成两个整数第一次数学危机是由2证明：设对角线表示为m/n，m,n为互质的正整数2/2nm,222nm也是偶数为偶数，mm2222,2pnpm则令则n也为偶数，这与m,n互质矛盾。当时认为所有的数都能表示为整数比，但突然发现不能表为整数比。其实质是：是无理数，全体整数之比构成的是有理数系，有理数系需要扩充，要添加无理数。22希帕斯科学精神绝非信仰科学是批评的、疑问的、创造的、严谨的、求实的科学工作中不容迷信和崇拜危机往往是数学发展的先导危机也意味着挑战，危机的解决就意味着进步二、第二次数学危机十七世纪牛顿贝克莱大主教“无穷小量”初等数学----常量数学高等数学------变量数学0xx0xx0,0xxxx1．危机的引发1）牛顿的“无穷小”求运动物体在某一时刻的瞬时速度例如，设自由落体在时间下落的距离为，有公式，其中是固定的重力加速度。我们要求物体在的瞬时速度，先求。∴（*）t)(tS221)(gttSg0ttS22101022200011()()2211[()][2()]22SStStgtgtgtttgttt01()2Sgtgtt牛顿的这一方法很好用，解决了大量过去无法解决的科技问题。但是逻辑上不严格，遭到指责。2）贝克莱的发难英国的贝克莱大主教发表文章猛烈攻击牛顿的理论。贝克莱问道：“无穷小”作为一个量，究竟是不是0？贝克莱还讽刺挖苦说：即然和都变成“无穷小”了，而无穷小作为一个量，既不是0，又不是非0，那它一定是“量的鬼魂”了。————贝克莱悖论对牛顿微积分的这一责难并不是由数学家提出的，但是，牛顿及他以后一百年间的数学家，都不能有力地还击贝克莱的这种攻击。St2．危机的实质那么第二次数学危机的实质是极限的概念不清楚，极限的理论基础不牢固。也就是说，微积分理论缺乏逻辑基础。提出和使用了“极限”这个词，但并没有明确说清这个词的意思3．危机的解决1）必要性微积分虽然在发展，但微积分逻辑基础上存在的问题是那样明显，这毕竟是数学家的一块心病。而且，随着时间的推移，研究范围的扩大，类似的悖论日益增多。数学家在研究无穷级数的时候，做出许多错误的证明，并由此得到许多错误的结论。由于没有严格的极限理论作为基础。数学家们在有限与无限之间任意通行。2）严格的极限理论的建立到19世纪，一批杰出数学家辛勤、天才的工作，终于逐步建立了严格的极限理论，并把它作为微积分的基础。严格的极限理论的建立是逐步的、漫长的。①在18世纪时，人们已经建立了极限理论，但那是初步的、粗糙的。②达朗贝尔在1754年指出，必须用可靠的理论去代替当时使用的粗糙的极限理论。但他本人未能提供这样的理论。③19世纪初，捷克数学家波尔查诺开始将严格的论证引入数学分析，他写的《无穷的悖论》一书中包含许多真知灼见。④法国数学家柯西（A.L.Canchy,1789—1857）。对极限给出比较精确的定义（５）德国数学家魏尔斯特拉斯（KarlWeierstrass，1815—1897）一方面是建立了实数系，另一方面是创造了精确的“”语言。柯西的贡献在于，将微积分建立在极限论的基础。魏尔斯特拉斯的贡献在于，逻辑地构造了实数系，建立了严格的实数理论，使之成为极限理论的基础。建立微积分基础的“逻辑顺序”是：实数理论—极限理论—微积分。而“历史顺序”则正好相反。“贝克莱悖论”的消除把物体在时刻的瞬时速度定义为：上述平均速度当趋于0时的极限，即物体在时刻的瞬时速度=。0tt0ttSt0lim瞬时速度=然后再求极限得))(21(lim00tggtt)(21limlim))(21(lim00000tggttggtttt000gtgt上述过程所得结论与牛顿原先的结论是一样的，但每一步都有了严格的逻辑基础。“贝克莱悖论”的焦点“无穷小量是不是0？”，在这里给出了明确的回答：0tt三、第三次数学危机到19世纪，数学从各方面走向成熟。人们水到渠成地思索：整个数学的基础在哪里？19世纪末，集合论出现了。人们感觉到，集合论有可能成为整个数学的基础。元素与集合关系:AaAa罗素悖论的通俗化——“理发师悖论”：某村的一个理发师宣称，他给且只给村里自己不给自己刮脸的人刮脸。问：理发师是否给自己刮脸？如果他给自己刮脸，他就属于自己给自己刮脸的人，按宣称的原则，理发师不应该给他自己刮脸，这与假设矛盾。如果他不给自己刮脸，他就属于自己不给自己刮脸的人，按宣称的原则，理发师应该给他自己刮脸，这又与假设矛盾。悖论在于：无论哪一种情况，都得出矛盾。其它悖论“我说这句话时正在说谎”问：这句话是真是假?请在我手上写上一个“不”字判断这件事是否会发生，若判断会发生，则写“是”，否则写“不”。罗素的“集合论悖论”引发危机正当弗雷格即将出版他的《算术基础》一书的时候，罗素的集合论悖论出来了。这也是庞加莱宣布“完全严格的数学已经建立起来！”之后刚刚两年，即1902年。集合论中居然有逻辑上的矛盾！罗素悖论引发的危机，就称为第三次数学危机。4．危机的消除危机出现以后，包括罗素本人在内的许多数学家作了巨大的努力来消除悖论。当时消除悖论的选择有两种，一种是抛弃集合论，再寻找新的理论基础，另一种是分析悖论产生的原因，改造集合论，探讨消除悖论的可能。人们选择了后一条路，希望在消除悖论的同时，尽量把原有理论中有价值的东西保留下来。1908年，策梅洛（E.F.F.Zermelo,1871—1953）提出了由7条公理组成的集合论体系，称为Z-系统。1922年，弗兰克（A.A.Fraenkel）又加进一条公理，还把公理用符号逻辑表示出来，形成了集合论的ZF-系统。再后来，还有改进的ZFC-系统。这样，大体完成了由朴素集合论到公理集合论的发展过程，悖论消除了。但是，新的系统的相容性尚未证明。因此，庞加莱在策梅洛的公理化集合论出来后不久，形象地评论道：“为了防狼，羊群已经用篱笆圈起来了，但却不知道圈内有没有狼”。这就是说，第三次数学危机的解决，并不是完全令人满意的。四、三次数学危机与“无穷”的联系三次数学危机都与无穷有关，也与人们对无穷的认识有关。第一次数学危机的要害是不认识无理数，而无理数是无限不循环小数，它可以看成是无穷个有理数组成的数列的极限。所以，第一次数学危机的彻底解决，是在危机产生二千年后的19世纪，建立了极限理论和实数理论之后。实际上，它差不多是与第二次数学危机同时，才被彻底解决的。第二次数学危机的要害，是极限理论的逻辑基础不完善，而极限正是“有穷过渡到无穷”的重要手段。贝克莱的责难，也集中在“无穷小量”上。无穷与有穷有本质的区别.由于人们习惯于有穷，习惯于有穷情况下的思维，所以一旦遇到无穷时，要格外地小心.希尔伯特旅馆房间数不是有限而是无穷多间，房间号码为1，2，3，4，……这个旅馆的房间可排成一列的无穷集合（1，2，3，4，…），称为可数无穷集。第一天一个人1号房间的客人搬到2号房间，2号房间的客人搬到3号房间……依此类推。最后1号房间空出来，请这位客人住下了。第二天一个团自然数个人1号房间客人搬到2号，2号房间客人搬到4号……，k号房间客人搬到2k号，这样，1号，3号，5号，……房间就都空出来了，代表团的代表都能住下了。第三天自然数个代表团，每个团有自然数个成员第四天康托尔区间[0，1]上每一实数点都占一个房间请提问49还会有第四次数学危机吗？50终极问题存在吗？51谢谢大家！