3.微分方程模型1

微分方程模型传染病模型动态模型•描述对象特征随时间(空间)的演变过程•分析对象特征的变化规律•预报对象特征的未来性态•研究控制对象特征的手段•根据函数及其变化率之间的关系确定函数微分方程建模•根据建模目的和问题分析作出简化假设•按照内在规律或用类比法建立微分方程传染病模型问题•描述传染病的传播过程•分析受感染人数的变化规律•预报传染病高潮到来的时刻•预防传染病蔓延的手段•按照传播过程的一般规律，用机理分析方法建立模型已感染人数(病人)i(t)•每个病人每天有效接触(足以使人致病)人数为模型1假设ttititti)()()(若有效接触的是病人，则不能使病人数增加必须区分已感染者(病人)和未感染者(健康人)建模0)0(iiidtdiitteiti0)(?传染病模型sidtdi1)()(tits模型2区分已感染者(病人)和未感染者(健康人)假设1）总人数N不变，病人和健康人的比例分别为)(),(tsti2）每个病人每天有效接触人数为,且使接触的健康人致病建模ttNitstittiN)()]([)]()([0)0()1(iiiidtdi~日接触率SI模型传染病模型teiti1111)(00)0()1(iiiidtdi模型21/2tmii010t11ln01itmtm~传染病高潮到来时刻(日接触率)tm1itLogistic模型?t=tm,di/dt最大传染病模型适用范围？模型3传染病无免疫性——病人治愈成为健康人，健康人可再次被感染增加假设SIS模型3）病人每天治愈的比例为~日治愈率ttNittitNstittiN)()()()]()([建模/~日接触率1/~感染期~一个感染期内每个病人的有效接触人数，称为接触数。0)0()1(iiiiidtdi传染病模型1,01,11)(i)]11([iidtdi模型3i0i0接触数=1~阈值/1-1/i0iiidtdi)1(idi/dt0110ti11-1/i0t1di/dt0传染病模型小01i形曲线增长按Sti)(感染期内有效接触感染的健康者人数不超过病人数模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例？传染病模型1)(ti~日接触率/~日治愈率--反映地区的卫生水平--反映地区的医疗水平结果解释：提高卫生水平和医疗水平都可以有效控制传染病的蔓延！模型4传染病有免疫性——病人治愈后即移出感染系统，称移出者SIR模型假设1）总人数N不变，病人、健康人和移出者的比例分别为)(),(),(trtsti2）病人的日接触率,日治愈率,接触数=/建模1)()()(trtits需建立的两个方程)(),(),(trtsti传染病模型ttNittitNstittiN)()()()]()([模型4SIR模型很小）通常000)0((1rrsi无法求出的解析解)(),(tstittitNststtsN)()()]()([00)0(,)0(ssiisidtdsisidtdi传染病模型相平面分析方法（PhasePlaneAnalysis)00)0(,)0(ssiisidtdsisidtdi(),()stit时间t的相（像）si平面称为相平面((),())stit的轨迹称为相轨线相平面分析是在相平面上分析相轨线随时间变化的变化情况，是一种定性分析的方法。它也是应用中非常重要的一种分析方法。0011iisdsdiss000ln1)()(sssissi模型400)0(,)0(ssiisidtdsisidtdi/消去dtSIR模型}1,0,0),{(isisisD相轨线的定义域)(si相轨线11si0D在D内作相轨线的图形，进行分析)(si传染病模型数值模拟相平面分析方法（PhasePlaneAnalysis)传染病模型ill_fun.mphase.msi101D模型4SIR模型相轨线及其分析)(si00)0(,)0(ssiisidtdsisidtdi0011iisdsdiss000ln1)()(sssissi0ln1000sssiss满足miis,/1s(t)单调减相轨线的方向0,itP1s0/1imsP3P4P2S0传染病模型,0ti的证明(1)0,()0()dsstsdt存在;(2)0,()1()drirtrdt存在;()()()1()stitrti存在;()0,0,0().2TtTrt若i则存在当时,drdtP1:i(t)先升后降至0P2:i(t)单调降至0传染病蔓延传染病不蔓延1/阈值01s01sssss00lnln模型4SIR模型预防传染病蔓延的手段(日接触率)卫生水平(日治愈率)医疗水平传染病不蔓延的条件——s01/的估计0ln1000sssis0i忽略•降低s0提高r01000ris•提高阈值1/降低(=/),群体免疫传染病模型模型4SIR模型被传染人数的估计0ln1000sssis记被传染人数比例ssx00)211(200sxsx0)1ln(10sxx)1(200ssx2xxs0i0s/1P10ssi00,s01小,s01提高阈值降低被传染人数比例xs0-1/=传染病模型