13线面平行和面面平行的性质定理

2.2.4平面与平面平行的性质2.2.3直线与平面平行的性质复习提问一、直线与平面有什么样的位置关系？aa1.直线在平面内——有无数个公共点；2.直线与平面相交——有且只有一个公共点；3.直线与平面平行——没有公共点。a复习：线面平行的判定定理如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。baba∥baa∥注意：1、定理三个条件缺一不可。2、简记：线线平行，则线面平行。3、定理告诉我们：要证线面平行，得在面内找一条线，使线线平行。二：如何判断平面和平面平行?答:有两种方法,一是用定义法,须判断两个平面没有公共点;二是用平面和平面平行的判定定理,须判断一个平面内有两条相交直线都和另一个平面平行.思考:1、如果直线与平面平行，会有那些结果呢？2、如果两个平面平行，会有哪些结论呢?新课讲解问题1：命题“若直线a平行于平面α，则直线a平行于平面α内的一切直线．”对吗？abc本节课研究的内容那么直线a会与平面α内的哪些直线平行呢?问题２：在上面的论述中，平面α内的直线b满足什么条件时，可以和直线a平行？∵直线a与平面α内任何直线都没有公共点，∴过直线a的某一个平面，若与平面α相交，则这一条交线b就平行于直线a．ba,,//aabab已知:直线求证:证明：//aa与没有公共点ab与没有公共点ab又与都在平面内且没有公共点//abba∵∩=b，∴b在内。结论：直线和平面平行的性质定理如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的任意平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行。注意：1、定理三个条件缺一不可。2、简记:线面平行,则线线平行。baba//,,aab巩固练习：判断下列命题是否正确（其中a，b表示直线，表示平面）（1）若a∥b，b，则a∥.()（2）若a∥，b∥，则a∥b.()（3）若a∥b，b∥，则a∥.()（4）若a∥，b，则a∥b.()（5）如果a,b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面（）例３：有一块木料如图，已知棱BC平行于面A′C′．（1）要经过木料表面A′B′C′D′内的一点P和棱BC将木料锯开，应怎样画线？（2）所画的线和面AC有什么关系？定理应用CACBBADC解：（１）如图，在平面内，过点Ｐ作直线ＥＦ，使ＥＦ//，并分别交棱，于点Ｅ，Ｆ．连接ＢＥ，ＣＦ．则ＥＦ，ＢＥ，ＣＦ就是应画的线．EFＥＦ//ＢＣＥＦ不在平面ＡＣ内ＢＣ在平面ＡＣ内//平面ＡＣ∴ＢＥ，ＣＦ显然都与平面ＡＣ相交．（２）因为棱ＢＣ平行于平面，平面与平面交于，所以，ＢＣ//．由（１）知，ＥＦ//，所以ＥＦ//ＢＣ，因此CACBCACBCBCBaba//ba//abb如图：已知直线，，平面，且，，，都在平面外。求证：//ab例题：已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，求证：另一条也平行于这个平面aba//ba//abb如图：已知直线，，平面，且，，，都在平面外。求证：//abcac证明：过作面交于bb//线//线线//面转化是立体几何的一种重要的思想方法。a//aca//ca//bb//cc注意：思考：P62习题6.//,,,ABABEFCD已知：如图，求证：CD//EF.ABCDEF证明：AB//平面ABβ∩β=CDAB//CD,AB//EF于是，CD//EF。AB//平面AB∩=EF探究新知探究1.如果两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面有什么位置关系？a答:如果两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面平行.借助长方体模型探究结论:如果两个平面平行，那么两个平面内的直线要么是异面直线,要么是平行直线.探究新知探究2.如果两个平面平行，两个平面内的直线有什么位置关系？探究3:当第三个平面和两个平行平面都相交时，两条交线有什么关系？为什么？探究新知答:两条交线平行.下面我们来证明这个结论abαβ如图，平面α，β，γ满足α∥β，α∩γ＝a,β∩γ=b，求证：a∥b证明：∵α∩γ＝a,β∩γ=b∴aα，bβ∵α∥β∴a，b没有公共点，又因为a，b同在平面γ内，所以，a∥b这个结论可做定理用结论:当第三个平面和两个平行平面都相交时，两条交线平行定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。用符号语言表示性质定理：//,aba//b想一想：这个定理的作用是什么?答:可以由平面与平面平行得出直线与直线平行例题分析,巩固新知例1.求证:夹在两个平行平面间的平行线段相等.讨论:解决这个问题的基本步骤是什么?答:首先是画出图形,再结合图形将文字语言转化为符号语言,最后分析并书写出证明过程。如图,α//β,AB//CD,且Aα,Cα,Bβ,Dβ.求证:AB=CD.证明:因为AB//CD,所以过AB,CD可作平面γ,且平面γ与平面α和β分别相交于AC和BD.因为α//β,所以BD//AC.因此,四边形ABDC是平行四边形.所以AB=CD.小结：一、直线和平面平行的性质定理如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的任意平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行。注意：1、定理三个条件缺一不可。2、简记:线面平行,则线线平行。baba//,,aab证明线面平行的转化思想：线//线线//面面//面(1)平行公理(2)三角形中位线(3)平行线分线段成比例(4)相似三角形对应边成比例(5)平行四边形对边平行由a//,通过构造过直线a的平面与平面相交于直线b，只要证得a//b即可。二、两个平面平行具有如下的一些性质：⑴如果两个平面平行，那么在一个平面内的所有直线都与另一个平面平行⑵如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行.⑶如果一条直线和两个平行平面中的一个相交，那么它也和另一个平面相交⑷夹在两个平行平面间的所有平行线段相等练习巩固1.如果一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么它与另一个也相交。βαAl已知：如图，α∥β，l∩α＝A求证：l与β相交。·证明：在β上取一点B，过l和B作平面γ，由于γ与α有公共点A，γ与β有公共点B，所以，γ与α，β都相交，设γ∩α＝a，γ∩β＝b，因为α∥β，所以a∥b，又因为l,a,b都在平面γ内，且l与相a交于点A，所以l与b相交，所以l与β相交。γabβαAlB