让数学探究活动更真实

让数学探究活动更真实——记“反比例函数图象与性质1”的教学实践与评析执教:陈建新(浙江义乌市廿三里初中322000)点评:张宏政(浙江舟山南海实验初中316021)去年4月初,笔者有幸参加了2013年浙江省金华市优质课比赛,课题是“反比例函数的图象与性质(1)”,由于是给八年级学生授课,课前又不知学生的具体情况.因此,在教学设计与实践时思考颇多,现书面整理之,供各位同仁借鉴,以期对大家的教学和研究有所启示.1学情分析与教学目标确定反比例函数是初中阶段的三个基本函数之一,它既是学生学习一次函数之后的深化,也为他们日后学习曲线型函数积累必要的数学经验.虽然学生已初步经历了一次函数图象与性质的探索过程,但学生的学习经历已时隔一个学期之久,并且原有的研究经验容易对反比例函数的学习产生负迁移,加之反比例函数性质的复杂性,将给教学活动带来很大挑战.基于上述分析,确定教学目标如下:1.会用描点法画反比例函数的图象,明确反比例函数的图象是双曲线.2.经历操作、分析、观察、探究及应用的过程,渗透对应及数形结合思想,理解反比例函数图象的性质.教学重点是反比例函数的图象及其性质理解;难点是反比例函数图象的探究过程.2初稿设计与反思2.1[学习准备]原有的知识、经验是学习的基础！1.用描点法画函数图象的基本步骤有:、、．2.反比例函数)0(kxky中,自变量x的取值范围是．2.2[课本导学]顺着这些脚手架，你一定能够学会，而且会学！根据下列步骤,在直角坐标系中画出反比例函数y=4/x和xy4的图象,并思考相应的问题?①列表:请根据表中自变量的数据,求出对应的y值,填入表内.x…-4-3-2-11234…y=4/xxy4②描点:以表中各组对应值为点的坐标,在图1中描出相应的点．③连线:先在一个象限内,按自变量由小到大的顺序，将点用光滑的曲线连结,得到图象的一个分支;再在另一个象限内画出图象的另一个分支,并标明相应的解析式．思考：①你认为x可以取哪些值？观察表中的x值的取法,有哪些特点?②观察你所得的图象,由几部分组成？会不会与坐标轴相交,为什么?③在图象上任取一点,如点（,），在坐标系中作出它关于原点的对称点（,），这个对称点在函数图象上吗？请验证,并猜想反比例函数的图象具有怎样的性质？④对照所画图象,回答反比例函数的图象与k有何关系？具有怎样的性质？(余略)教学实施:先让学生试着独立完成,再小组交流,然后选代表全班展示,其它小组评价补充,教师用几何画板演示y=4/x、问题一yx–6–5–4–3–2–1123456654321–1–2–3–4–5–6O（图1）xy4及不同k值的反比例函数,验证其图象与性质.针对初稿的设计进行了试讲,根据听课教师的反馈,结合录像,发现主要存在下列问题.①开始同时出现y=4/x和xy4两个反比例函数,等于让每位学生列两次表、画两次图象,结果造成画图时间过长,给学生后面的学习带来了时间上的制约.②学案中的问题过多过细,指向又太直白,一来容易造成假探究,二来活动过程又相对集中,使教师难以及时发现问题,解决问题.③设计的一些问题表述不清,导致学生很难回答,教师解释起来也比较困难.3改进后的教学流程在准备的过程中,恰逢笔者参加了首届浙派名师班培训,有幸请培训班同学和导师当参谋.在综合了各方意见,并结合自身教学特点的基础上,笔者以如下的设计进行了比赛,并取得了第一名的佳绩.3.1问题引入（用时2分钟）师:前面我们已经学习了反比例函数的概念,那么反比例函数的解析式是怎样的?自变量x的取值范围呢?生(众):y=kx(k≠0),自变量x≠0.师:我们知道图象是研究函数的重要工具,那反比例函数y=kx（k≠0）的图象是怎样的呢?不妨让我们从一个具体的函数6yx开始研究吧！3.2新知探究（以下用时共22分钟）3.2.1初探——猜想、验证（用时3分钟）师:思考以前学过一次函数时,是用什么方法画出y=6x的图象的？生1:用描点法,取两点连线.师:好,那函数6yx的图像也可以如此吗?（一用几何画板:描出两点并连成直线）生(众):不行!师:为什么?生1:那是一次函数的图象.生2:可以再取一点试一试.师:好,再取一点……,看来这一点不在直线上,这显然说明函数6yx的图象不是直线,那它的图像到底是什么呢?为细致了解它的变化规律,仅有三点显然无法做到，那我们就多取几点吧!当然,刚才取的都是x＞0的点,还有x＜0的点是否也需考虑?3.2.2再探——列表、交流（用时6分钟）师:请拿出学案,按照以前用描点法画一次函数图象的步骤完成学案中的活动一.注意表格下面的思考!任务:在直角坐标系中画出反比例函数6yx的图象,探索图象的性质.活动一:列表取适当的x值,求出对应的y值，填入表内.x6yx思考1:根据解析式,说说这样取x值的理由或取x值时的注意点.(2分钟后要求先在小组内交流,基本统一意见后选一位代表向全班汇报.)师:下面哪个小组先来?其他小组同学认真倾听后,请给予评价!生3:我们认为,x为分母,所以x不能取0,但可以是正数或负数.师:大家都同意吗?有意见的请补充?(看见学生没有意见,投影另一组的表格)师:那请看这个小组的列表情况,与刚才的有什么不同？生4:x还取了分数,这样画图更细致了,但数据太少了.生5:感觉x的取值有点乱,应从小到大有序排列.但他们所取的x值都能使y值为整数,这样便于描点!师:刚才同学们讲的都很有价值,这些都是我们在画图时的宝贵经验.3.2.3三探——操作、展示（用时7分钟）师:请同学们按照刚才所讲的取值要求,结合你所列的表格完成学案中的活动二.活动二：描点连线以表中各组对应值为点的坐标,在图2中描出相应的点,连线画出图象．思考2：观察并分析函数6yx的图象在哪些象限,且具有怎样的对称性?（学生操作,师巡视指导后）师:下面开始小组交流,请把不同的观点亮出来！（2分钟后,教师有意选取有问题的图象进行投影展示）生6:我们发现它的图象在第一、三象限,两个图象关于原点中心对称.生7:(指着图象与x轴的交点)她的图象画错了！因为x不能为零,所以图象不会与x轴相交.生6:哦,是的!我把点（6,1）描成了（6,0）.不过生7也讲错了,x不能为零只能说明图象不会与y轴相交.理由应该是因为y不能为零.（掌声）师:好!能及时发现问题并改正,真不错!生7:还有问题,两点之间不能用线段连接,要用光滑的曲线.（掌声）师:精彩!（板书“光滑的曲线”）3.2.4演示——分析、整理（用时6分钟）师:通过描点连线,我们分析得出了反比例函数6yx的图象在形状、位置和对称性方面的一些结论,但是这个图象和结论到底是否正确呢?我们可以用描更多的点,画更加准确的图象来验证.请注意观察,并对刚才所得的结论提出修改意见！（二用几何画板:通过跟踪点的轨迹产生6yx的完整图象）师:图象会与x轴,y轴相交吗？生(众):不会.师:请看活动一中的表格,结合刚才的观察,表格左右两端还能取x的值吗?若能,该怎么表示?生(众):能,用省略号.师(三用几何画板演示k取不同正整数时的图象）:谁有办法验证k＞0时,反比例函数的图象一定具有中心对称性?生8:选几个点,作出关于原点的对称点,计算题目与原点的连线段的长度是否相等.生9:不需要计算长度,只要看这些点的对称点是否在图象的另一支上就可以了.生10:可以把对称点的坐标代入解析式验证.师:生8为我们提供了很好的思路,不过在表述上,后两位同学更加方便.下面就按这个思路一起来试一试（四用几何画板:yx–6–5–4–3–2–1123456654321–1–2–3–4–5–6O(图2)在一个分支上取若干点并作关于原点的对称点进行验证）师:通过观察分析k＞0时的函数图象,得出的结论能作为一般反比例函数图象的性质吗?生11:不能,还要看k＜0时的情况.师:哦,考虑得很严谨!那请再观察图象,并思考性质是否需要调整！（五用几何画板,图象随着k的符号与绝对值的变化而变化的情况.）生12:当k＞0时,图象在第一、三象限;当k＜0时,图象在第二、四象限.其它性质不变.师:（板书修改后的性质）通过大家的努力,我们探究出了反比例函数的图象与性质.下面小结一下（投影:画图象的步骤、注意点、图象性质）3.3知识应用（用时约13分钟,学生解答过程略）1.如图3,反比例函数8yx的大致图象是（）2.上述A、B、D选项中的图象,对应的解析式可能是下列哪一个?①y=x8②y=x8(x0)③y=x8(x0)3.如图4,P是反比例函数kyx(k≠0)图象上的一点,则k值为.并请你补画图3中反比例函数图象的另一支.4.如图5,直线PO与过P点的反比例函数的另一个交点为P',则点P'的坐标是多少?若过原点O作任意直线y=k'x,则它与函数8yx的图象一定有交点吗?5.如图6,当k、k'满足什么条件时,双曲线(0)kykx与直线y=k'x(k'≠0)有交点？3.4课堂小结（用时3分钟）请在组内交流你的收获,每位同学至少说一条,并把你认为重要的在书上标出来.1.引导学生交流画反比例函数图象的步骤、注意点及图象的性质.2.归纳体验:从一次函数图象到反比例函数的类比学习方法,从特殊到一般的具体研究思路,以及研究函数的数形结合思想等.)4评析数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上.教师应关注学生“会学”,而不应仅仅关注学生“学会”.正是基于这样的理念,陈老师在本课中能引导学生围绕教学目标进行深度探索,既凸显了真实的学习场景,亦取得了较好的教学效果.4.1问题驱动、方法引领,创设自主的学习氛围问题是数学的心脏,是思维的起点.纵观整个教学过程,本课的三个主要环节都是通过问题进行驱动,分别是引导性问题——旨在旧知到新知的过渡,使学生产生必要的学习动机;探究性问题——指向探索反比例函数的图象及性质,使学生自主建构学习的内容;巩固性问题——有关联的变式训练,使学生内化所学的知识与方法;从学习方式上,主要以学生的自主探究、小组xyOxyO(图3)(A)(B)(C)(D)xyP(2,4)OxyOxyP'P(2,4)O（图4）（图5）（图6）展示、互相交流为主,以教师的组织调控、启发引导、思维点拨为辅,有效遵循了学生的认知特点与学习规律;而从学习方法上,则突出了类比、从特殊到一般、数形结合思想的渗透;从而让学生在充分经历操作与观察、分析与猜想、比较与交流、展示与评价的过程中,积累活动经验,感悟数学思想,形成学习方法,较好的达成了学习目标.4.2把握学情、找准起点,还原真实的探究过程本课的主要环节无疑是通过对反比例函数图象的探究,观察发现反比例函数图象的性质——中心对称性.但是,怎么来设计这个探究过程却颇值得思量.比较两次设计,我们可以强烈的感受到,若按照初稿的设计,学生就必须具备下列基本的画图经验,即他们会按照教材那样均匀的取x的值,知道要描出很多个点,能自觉地接受反比例函数图象是光滑的曲线等前提条件,但事实却远非如此.同时,问题的设计肤浅直白,缺乏思维深度,实有探究之名却无探究之实.所以,要想展现学生的原始想法,还原真实的探究过程,就必须设计相对开放的活动放手让学生进行探索.实际上,画一个新函数的图象是一个试探、摸索的过程,这个过程不应该是盲目的,而应有一定的理性分析,这个分析必须从解析式入手,要剖析解析式的特征.从这个角度看,改进后的活动既重视对学生操作能力的培养,更着力培养学生的思维能力,凸显了学生自主探究的价值.于是我们发现,学生的错误被充分暴露,从而在教师的合理引导下,在学生的争论与思辨过程中,也就自然完成了知识的探究,方法的归纳,经验的积累.故此,准确把握学情,找准学生的学习起点,是本课教学得以成功的重要条件.4.3善用资源、有效组织,让学生在思辨中内化知识本课教学中陈老师在有效运用资源方面颇具亮点.一是教师善于运用学生的生成性资源.在列表,交流环节,通过展示各小组的表格,经比较不同点,学生既明白了x的取值范围,也掌握了列表取值的基本方法;而在画图展示环节,陈老师则有意选取有问题的图象进行投影展示,从而引起了生6与生7间的