导数大题(6道单调极值讨论+分离变量)

导数大题复习11（极值比较讨论）已知函数22()(23)(),xfxxaxaaexR其中aR⑴当0a时，求曲线()(1,(1))yfxf在点处的切线的斜率；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m⑵当23a时，求函数()fx的单调区间与极值.解：本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法。⑴.3)1(')2()(')(022efexxxfexxfaxx，故，时，当.3))1(,1()(efxfy处的切线的斜率为在点所以曲线⑵.42)2()('22xeaaxaxxfw.w.w.k.s.5.u.c.o.m.2232.220)('aaaaxaxxf知，由，或，解得令以下分两种情况讨论：①a若＞32，则a2＜2a.当x变化时，)()('xfxf，的变化情况如下表：xa2，a222aa，2a，2a+0—0+↗极大值↘极小值↗.)22()2()2()(内是减函数，内是增函数，在，，，在所以aaaaxf.3)2()2(2)(2aaeafafaxxf，且处取得极大值在函数w.w.w.k.s.5.u.c.o.m.)34()2()2(2)(2aeaafafaxxf，且处取得极小值在函数②a若＜32，则a2＞2a，当x变化时，)()('xfxf，的变化情况如下表：x2a，2aaa22，a2，a2+0—0+↗极大值↘极小值↗内是减函数。，内是增函数，在，，，在所以)22()2()2()(aaaaxf.)34()2()2(2)(2aeaafafaxxf，且处取得极大值在函数w.w.w.k.s.5.u.c.o.m.3)2()2(2)(2aaeafafaxxf，且处取得极小值在函数导数大题复习22（最值，按区间端点讨论）已知函数f(x)=lnx－ax.(1)当a0时，判断f(x)在定义域上的单调性；(2)若f(x)在[1,e]上的最小值为32，求a的值.解：(1)由题得f(x)的定义域为(0,＋∞)，且f′(x)＝1x＋2ax＝2xax.∵a0，∴f′(x)0，故f(x)在(0,＋∞)上是单调递增函数.(2)由(1)可知：f′(x)＝2xax，①若a≥－1，则x＋a≥0，即f′(x)≥0在[1,e]上恒成立，此时f(x)在[1,e]上为增函数，∴f(x)min＝f(1)＝－a＝32，∴a＝－32(舍去).②若a≤－e，则x＋a≤0，即f′(x)≤0在[1,e]上恒成立，此时f(x)在[1,e]上为减函数，∴f(x)min＝f(e)＝1－ae＝32，∴a＝－2e(舍去).③若－ea－1，令f′(x)＝0，得x＝－a.当1x－a时，f′(x)0，∴f(x)在(1,－a)上为减函数；当－axe时，f′(x)0，∴f(x)在(－a,e)上为增函数，∴f(x)min＝f(－a)＝ln(－a)＋1＝32⇒a＝－e.综上可知：a＝－e.导数大题复习33（最值直接应用）已知函数)1ln(21)(2xaxxxf，其中aR.（Ⅰ）若2x是)(xf的极值点，求a的值；（Ⅱ）求)(xf的单调区间；（Ⅲ）若)(xf在[0,)上的最大值是0，求a的取值范围.解：（Ⅰ）(1)(),(1,)1xaaxfxxx.依题意，令(2)0f，解得13a.经检验，13a时，符合题意.（Ⅱ）解：①当0a时，()1xfxx.故)(xf的单调增区间是(0,)；单调减区间是)0,1(.②当0a时，令()0fx，得10x，或211xa.当10a时，()fx与()fx的情况如下：x1(1,)x1x12(,)xx2x2(,)x()fx00()fx↘1()fx↗2()fx↘所以，()fx的单调增区间是1(0,1)a；单调减区间是)0,1(和1(1,)a.当1a时，)(xf的单调减区间是),1(.当1a时，210x，()fx与()fx的情况如下：x2(1,)x2x21(,)xx1x1(,)x()fx00()fx↘2()fx↗1()fx↘所以，()fx的单调增区间是1(1,0)a；单调减区间是1(1,1)a和(0,).③当0a时，)(xf的单调增区间是(0,)；单调减区间是)0,1(.综上，当0a时，)(xf的增区间是(0,)，减区间是)0,1(；当10a时，()fx的增区间是1(0,1)a，减区间是)0,1(和1(1,)a；导数大题复习4当1a时，)(xf的减区间是),1(；当1a时，()fx的增区间是1(1,0)a；减区间是1(1,1)a和(0,).（Ⅲ）由（Ⅱ）知0a时，)(xf在(0,)上单调递增，由0)0(f，知不合题意.当10a时，)(xf在(0,)的最大值是1(1)fa，由1(1)(0)0ffa，知不合题意.当1a时，)(xf在(0,)单调递减，可得)(xf在[0,)上的最大值是0)0(f，符合题意.所以，)(xf在[0,)上的最大值是0时，a的取值范围是[1,).导数大题复习5恒成立之分离常数1.已知函数()ln1,.afxxaRx(1)若()yfx在0(1,)Py处的切线平行于直线1yx，求函数()yfx的单调区间；(2)若0a，且对(0,2]xe时，()0fx恒成立，求实数a的取值范围.解:(1)()ln1,.afxxaRx)(xf定义域为),0(,直线1yx的斜率为1,xxaxf1)('2,11)1('af,2a.所以22212)('xxxxxf由20)('xxf得;由200)('xxf得所以函数()yfx的单调增区间为)2(，,减区间为(0,2).(2)0a，且对(0,2]xe时，()0fx恒成立ln10(0,2]axxex在恒成立,即(ln1)axx.设]2,0(,ln)ln1()(exxxxxxxg.]2,0(,ln1ln1)('exxxxg当10x时,0)('xg,为增函数)(xg；当ex20时,0)('xg,为减函数)(xg.所以当1x时,函数)(xg在]2,0(ex上取到最大值,且11ln1)1(g所以1)(xg,所以1a所以实数a的取值范围为),1(.（法二）讨论法2()xafxx，()fx在(0,)a上是减函数，在(,)a上是增函数.当a≤2e时，()fx≥()1ln10faa，解得1a，∴1a≤2e.当2ae时，()(2)ln(2)102afxfeee，解得2ln2ae，∴2ae.综上1a.7654321-1-2-3-4-5-8-6-4-224681012A导数大题复习62已知函数12)(2axxexfx,（其中aR,e为自然对数的底数）.(1)当0a时,求曲线)(xfy在))0(,0(f处的切线方程；(2)当x≥1时,若关于x的不等式)(xf≥0恒成立,求实数a的取值范围.（改x≥0时，)(xf≥0恒成立.a≤1）解：（1）当0a时，12)(2xexfx,xexfx)(',1)0(',0)0(ff,切线方程为xy．（2）[方法一]x≥1,≥≤,设,则,设12)1()(2xexxx,则0)1()('xexx,)(x在),1[上为增函数,)(x≥021)1(,012)1()('22xxexxgx,xxexgx12)(2在),1[上为增函数,)(xg≥23)1(eg,a≤23e．[方法二]12)(2axxexfx,axexfx)(',设axexhx)(,1)('xexh,x≥0,1)('xexh≥0,axexhx)(在),1[上为增函数,)(xh≥aeh1)1(.又12)(2axxexfx≥0恒成立,23)1(aef≥0,a≤23e,xxexgx12)(212)(2axxexfxa0xxex1222212)1()('xxexxgx导数大题复习7)(xh≥01)1(aeh,0)('axexfx,12)(2axxexfx在),1[上为增函数,此时)(xf≥23)1(aef≥0恒成立,a≤23e．3、已知函数1ln()xfxx．（Ⅰ）若函数在区间1(,)2aa其中a0，上存在极值，求实数a的取值范围；（Ⅱ）如果当1x时，不等式()1kfxx恒成立，求实数k的取值范围；解：（Ⅰ）因为1ln()xfxx，x0，则2ln()xfxx，当01x时，()0fx；当1x时，()0fx．所以()fx在（0，1）上单调递增；在(1,)上单调递减，所以函数()fx在1x处取得极大值．因为函数()fx在区间1(,)2aa（其中0a）上存在极值，所以1,11,2aa解得112a．（Ⅱ）不等式(),1kfxx即为(1)(1ln),xxkx记(1)(1ln)(),xxgxx所以2(1)(1ln)(1)(1ln)()xxxxxgxx2lnxxx令()lnhxxx，则1()1hxx，1x，()0,hx()hx在1,)上单调递增，min()(1)10hxh，从而()0gx，故()gx在1,)上也单调递增，所以min()(1)2gxg，所以2k．