第二章 自动控制系统原理的数学模型分析

第二章自动控制系统的数学模型第一节系统的微分方程、传递函数、动态结构图第二节典型环节第三节自动控制系统的方框图及系统闭环传递函数的求取第四节自动调节器的基本动作规律小结课题：第一节系统的微分方程、传递函数、动态结构图目的、要求：1、掌握运用微分方程建立数学模型的步骤和方法；2、掌握传递函数的定义、一般表达式和主要性质；3、熟悉动态结构图（方框图）的基本组成。重点：运用微分方程建立数学模型系统微分方程自动控制系统中最基本的数学模型建立微分方程式的一般步骤是：①确定系统的输入量和输出量。②根据各元件或环节所遵循的物理规律，依次列写它们的微分方程。③将各元件或环节的微分方程联立起来消去中间变量，求取一个仅含有系统的输入量和输出量的微分方程，它就是系统的微分方程。④将该方程整理成标准形式。微分方程建立举例(1)【例2-1】RC电路（1）确定输入、输出量输入量为电压，输出量为电压。（2）根据基尔霍夫定律，列出原始微分方程（2-1）（2-2）（3）消除中间变量(2-3)（4）整理为标准形式)(2-4)ccrudtduRCucudtduCicrucruRiurccuudtduRC一阶常系数线性微分方程微分方程建立举例(2)【例2-2】机械位移系统（1）确定输入、输出量设外作用力为输入量，质量物体的位移为输出量。（2）建立微分方程组根据牛顿第二定律可得:(2-5)(2-6)(2-7)(2-8))(tF)(tymatFtFtFKB)()()(dttdyftFB)()()()(tkytFK22)(dttdya微分方程建立举例(2)续（3）消除中间变量将式（2-6），（2-7），（2-8）代入（2-5），得(2-9)（4）将式子标准化(2-10)22)()()()(dttdymtkydttdyftF)()()()(22tFtkydttdyfdttdym机械位移系统是一个二阶常系数线性微分方程。微分方程建立举例(3)【例2-3】列写RLC电路中输入电压与输出电压关系的微分方程（1）确定输入、输出量输入量为电压Ui，输出量为电压Uo。（2）列写原始微分方程组dtdUCio(2-12)idtCdtdiLRiUUUUCLRi1)()()()(22tUtUdttdURCdttUdLCiOOO(2-13)微分方程建立举例(4)例2-4求单容水箱液位H与输入流量Qi的系统动态方程。单容水箱（1）确定输入、输出量输入量为流入量Qi，输出量液面高度H。（2）根据物质守恒定律，列出微分方程dtQQAdHOi)(HQOHRHQ/0（3）消除中间变量并将式子标准化处理得iQHdtdHA1解：其数学模型是一个一阶常系数线性微分方程。微分方程建立举例(5)求容器2的液面高度H2对容器1输入流量Q1的动态方程。容器2（1）确定输入、输出量输入量为流入量Q1，输出量液面高度H2。（2）根据物质守恒定律及流量近似公式，列出微分方程)(12111QQFdtdH)(13222QQFdtdH)(2112HHKQ223HKQ2122222112222121KQHdtdHKFKKFdtHdKKFF（3）消除中间变量并将式子标准化处理得二阶常系数线性微分方程传递函数自动控制系统中最常用的数学模型传递函数是在用拉氏变换求解微分方程的过程中引伸出来的概念。传递函数的定义为：在初始条件为零时，输出量的拉氏变换式与输入量的拉氏变换式之比。即)()()(sRsC输入量的拉氏变换式输出量的拉氏变换式s传递函数初始条件为零，一般是指输入量在t=0时刻以后才作用于系统，系统的输入量和输出量及其各阶导数在t≤时的值也均为零。传递函数的一般表达式如果系统的输入量为，输出量为，并由下列微分方程描述)(tr)(tc)()(...)()(01111tcatcdtdatcdtdatcdtdannnnnn)()(...)()(01111trbtrdtdbtrdtddbtrdtdbmmmmmm在初始条件为零时，对方程两边进行拉氏变换并整理得)()()()()(01110111sNsMasasasabsbsbsbsRsCsGnnnnmmmm（2-25）)(sM)(sN、—传递函数的分子、分母多项式求单容水箱系统液位H1与输入流量Qi动态方程的传递函数iQHdtdHA1已知动态方程是：令AT1K对上式两边进行拉氏变换并化简得：)()()(sKQsHsTsHi)()()1(sKQsHTsi最后整理得传递函数及方框图如下：1)()()(TsKsQsHsGi)(sQi)(sH1TsK求双容水箱系统液位与输入流量动态方程关系的传递函数。系统的动态方程是：2122222112222121KQHdtdHKFKKFdtHdKKFF111KR212KR将、代入上式得：12222122112222121)(QRHdtdHRFFRFRdtHdFFRR两边进行拉氏变换得：)()()()()(1222212211222121sQRsHssHRFFRFRsHsFFRR整理得：1)(2)()()(2122112212112sRFFRFRsFFRRRsQsHsG传递函数的性质（一）①传递函数是由微分方程变换得来的，它和微分方程之间存在着一一对应的关系。对于一个确定的系统，则它的微分方程是唯一的，所以，其传递函数也是唯一的。②传递函数是复变量s的有理分式，s是复数，而分式中的各项系数都是实数，它们是由组成系统的元件的参数构成的。由式（2-25）可见，传递函数完全取决于其系数，所以传递函数只与系统本身内部结构、参数有关，而与输入量、扰动量等外部因素无关。因此它代表了系统的固有特性，是一种用象函数来描述系统的数学模型，称为系统的复数域模型（以时间为自变量的微分方程，则称为时间域模型）。传递函数的性质（二）③传递函数是一种运算函数。由可得。④传递函数的分母多项式等于零[]，即为微分方程的特征方程，而特征方程的根反映了系统动态过程的性质，所以由传递函数可以研究系统的动态特性。特征方程的阶次n即为系统的阶次。通常n≥m。⑤传递函数是一种数学模型，因此对不同的物理模型，它们可以有相同的传递函数。反之，对同一个物理模型(系统和元件)，若选取不同的输入量和输出量，则传递函数将是不同的。)(/)()(sRsCsG)()()(sRsGsC0)(sN返回课题第二节典型环节任何一个复杂的系统，总可以看成一些典型环节组合而成。掌握这些典型环节的特点，可以更方便地分析复杂系统内部各单元间的联系。目的、要求：1.掌握常用典型环节的微分方程、传递函数和方框图、动态响应。2.熟悉这种典型环节的应用实例。难点：振荡环节比较环节1.微分方程)()(tKrtc2.传递函数与方框图KsG)(方框图如图a所示。3.动态响应当)(1)(ttr时)(1)(tKtc（2-27）图a图b比例环节的阶跃响应如图b所示。比较环节能立即成比例地响应输入量的变化比较环节应用实例惯性环节1.微分方程)()()(trtcdttdcTT——惯性时间常数2.传递函数与方框图11)(TssG(2-28)图a方框图如图a所示。3.动态响应当输入为阶跃信号时通过拉氏变换与逆变换求得输出响应为图b。Ttetc/1)(图b当输入量发生突变时，输出量不能突变，只能按指数规律逐渐变化。惯性环节应用实例a）电阻、电容电路b)惯性调节器c)弹簧—阻尼系统11)()(12TssUsU1)()(TsKsUsUio11)()(TsKBsKsXsXio积分环节1.微分方程tdttrTtc0)(1)(T——积分时间常数2.传递函数与方框图TssG1)(（2-35）方框图如图a所示。3.动态响应当输入为阶跃信号时通过拉氏变换与传递函数求得输出响应为图b。图a图btTtc1)(输出量随着时间的增长而不断增加，增长的斜率为1/T。积分环节应用实例图c微分环节1.微分方程2.传递函数与方框图3.动态响应dttdrtc)()(式中τ—微分时间常数ssG)(方框图如图a所示。)()(ttc理想微分环节的输出量与输入量间的关系恰好与积分环节相反，传递函数互为倒数。输出只能反映输入信号的变化率。近似微分环节应用实例RCssG)(11)(ssRCsRCssG单位阶跃响应曲线如右图所示/)(tetc比例微分环节1.微分方程)()()(trdttdrtc2.传递函数与方框图)1()(ssG3.动态响应1)()(ttc比例微分环节的阶跃响应为比例与微分环节的阶跃响应的叠加。比例微分环节的应用当比例微分环节的输入量为恒值时，其输出量与输入量成正比；当输入信号为变量时，输出量中既含有与输入量成正比的量，也包含反映输入信号变化趋势的信息。振荡环节1.微分方程2.传递函数与方框图3.动态响应Tn1)()()(2)(222trtcdttdcTdttcdT(2-42)222222121)(nnnssTssTsG(2-43)式中，—阻尼比)sin(11)(2tetcdtn01时式中21nd，21arctan(2-44)4.应用实例例2-2机械位移系统等。振荡环节的方框图和阶跃响应曲线在自动控制系统中，若包含着两种不同形式的储能单元，这两种单元的能量又能相互交换，在能量的储存和交换的过程中，就可能出现振荡而构成振荡环节。延迟环节1.微分方程)()(0trtc2.传递函数与方框图sseesG001)(3.动态响应0—纯延迟时间由拉氏变换延迟定理可得(2-47)在延迟时间很小的情况下:111)(00sesGs(2-48)延迟环节的方框图如图2-18a所示。延迟环节的阶跃响应如图2-18b所示。延迟环节的方框图和阶跃响应曲线延迟环节在工作中经常遇到，例如晶闸管整流电路中，控制电压与整流输出有时间上的延迟等。返回课题：第三节自动控制系统的方框图及系统闭环传递函数的求取目的、要求：1.掌握自动控制系统方框图的绘制方法。2.掌握自动控制系统方框图的化简规则。3.掌握系统闭环传递函数的求取方法。重点：系统方框图的化简规则系统动态结构图（方框图）的绘制方法1.列写各元件或环节的微分方程2.对各元件或环节的微分方程进行拉氏变换3.确定各元件或环节的传递函数。4.绘出各环节的动态结构图，方框中标出其传递函数，并以箭头和字母标明其输入量和输出量。5.根据信号在系统中的流向，依次将各动态结构图连接起来。例：求RC电路的系统方框图列出RC电路的微分方程组：cruRiudtduCic对以上两式取拉氏变换，得：)()()(sUsRIsUcr)()(sCsUsIc即：)()()(sIRsUsUcrCssIsUc1)()(用方框图表示各变量之间的关系，如图2-19所示。再根据信号的流向，将各方框图依次连接起来，即得系统的动态结构图，如图2-20所示。框图的等效变换规则框图等效变换的规则是变换后与变换前的输入量和输出量都保持不变。1.串联变换规则当系统中有两个（或两个以上）环节串联时，其等效传递函数为各环节传递函数的乘积。)()()()()(21sGsGsRsCsG(2-44)变换前变换后2.并联变换规则当系统中有两个（或两个以上）环节并联时，其等效传递函数为各环节传递函数的代数和。)()()()()(21sGsGsRsCsG(2-45)变换前变换后3.反馈联接变换规则反馈联接的框图的变换如图2-21a和b所示。图2-21)()()(sBsRsE)()()(sCsHsB)()()(