第十章 柱坐标系下的分离变量

PreviousonBesselFunction一.Bessel方程的及其解20(1)()()!(1)2nnmnmxJxnmnm不为整数,BesselEq.通解为：12()()mmycJxcJx()cos()()sinJxJxNx贝塞尔方程的通解总是可记为：12()()mmycJxcNxm阶和–m阶贝塞尔函数v阶诺依曼函数22222()0(0)dydxxyxmymdxdxm为整数,此时J-m与Jm线性相关.此时J-m与Jm线性相关。此时定义并且()lim()mmNxNx(m为整数)则无论m是否为整数,Bessel方程的通解总是可以记为：12()()mmycJxcNx二.半奇数阶Bessel函数与球函数其解为112212()()llycJxcNxTips：半奇数阶Bessel函数可用初等函数表示,这是因为：1(),(1)()2xxx2221'''[()]02xyxyxly12()()2lljxJxx12()()2llnxNxx定义球贝塞尔函数为：例：球坐标系下HelmholtzEq.分离变量后：222222[(1)]0dRdRrrkrllRdrdr12,()()()22xkrRryxxyxx作变量代换则方程变为2221'''[()]02xyxyxly12()()()llRrcjkrcnkr得方程的通解为：三.虚宗量Bessel方程(NEW)222'''()0(0)xyxyxmym令z=ix,代入得222'''()0(0)zyzyzmym当m不是整数时，方程的两个特解为()()myxJxi20(1)()!(1)2nnmnxnmni202(1)()!(1)2nnmnmnxinimn20()!(11)2nmnmxinmn注意到方程的齐次性，方程的实数解可表示为20()()!(1)21nmnxyxnmnDefinition()mIx=()mmiJix当m是整数时,与前面的讨论类似，线性相关.()mIx定义第二类虚宗量贝塞尔函数(麦克唐纳德函数)为：()()()2sinIxIxKx，且()lim()()mmKxKxm12()()()mmyxcIxcKx则虚宗量Bessel方程的解总可以表示为令,代入Helmholtz方程得柱坐标系下表示为：第十章柱坐标系下的变量分离、柱函数§10.1柱坐标系下的变量分离一、柱坐标系下Helmholtz方程的分离变量20vkv22222222110vvvvkvz1.坐标、、z分离变量(,,)()()()vzRZz'''''''2222RRZkRRZ2211'''''''0RZRZRZRZkRZ2RZ两边同乘，移项得：2222'''''''RRZkRRZ2m222222''0(1)'''''()0(2)mRRZkmRRZ即：(2)式两边同乘，移项得：21/222''1'''()RRZkmRRZ2222''0(3)'''()0(4)ZZRRkmR2.的本征问题求解()2220()(2)dmd（自然周期条件）本征值：本征函数：0,1,2m()cossinmmAmBm或,本征值：本征函数：0,1,2m()ime即：3.的解()Zz220dZZdz221,(0)(),(coss0),(0in)hzhzzZzehhzhzheZ(z)的具体形式,由z方向的边界条件，即函数在柱体的上底和下底的取值决定.(需解本征值问题)例如(i).Z(0)=Z(l)=0(ii).Z'(0)=Z'(l)=0本征值？本征函数？4.的解()R2222'''()0RRkmR需对k、的取值作讨论!i.若，则方程为贝塞尔方程，其解为：20k22()()()mmmmRcJkdNkii.若，则方程为欧拉方程，其解为：20k00ln(0)()(0)mmmmcdmRcdmTips:若在柱体内求解，则dm=0.Tips:若在柱体内求解，则dm=0.iii.若，令方程变为20k2xk22222()0dRdRxxxmRdxdx此即虚宗量贝塞尔方程，方程通解为：22()()()mmmmRcIkdKkTips:若在柱体内求解，则dm=0.k=0时，Helmholtz方程变为Laplace方程.其解将k=0代入，即可得到！柱坐标系Helmholtz方程分离变量形式的解(,,)vz()()R2220,()(),()mmkRJkNk()Zzcos,sin(0,1,2)mmm20vkv0,()1,Zzz20,(),hzhzhZzee20,()cos,sinhZzhzhz20,()1,ln()0,()0mmkmmR2220,()(),()mmkRIkKk例10.1一内壁为理想金属的圆柱形空腔，圆柱长为l，截面半径为a，空腔内电磁场的强度沿柱(z)方向的分量u=Ez(x,y,z)满足波动方程20,0,02,0,0ttucuazlt及边界条件00,0,0,zzazzluuu求空腔内电磁振荡的本征频率.(c为真空中的光速.)例10.2均匀圆柱,半径为R,高H,柱侧有均匀分布的恒定热流进入,强度为q0,求解柱体内的稳定温度分布.以下为草稿解：令(,,,)()(,,)uztTtvz可得：1220,0.()cossin,(1)0,(2)|0|(3)azzlTtckctckctvkvvv，(1)式中的kc就是本征振荡的圆频率，因此需要求k的本征值.令(,,)()()(),vzRZz可得()cos,sin,0,12mmm，，；因柱之上、下底面有第二类齐次边界条件，故关于()Zz的本征值和本征函数为2,()cos,0,1,2nnZzznll，；又因在空腔圆柱内部求解，要解有限，应排除(),mN故2()(),mRaJk由条件(3)知2()()0.mRaJka记()mJx的第i个正零点为(1,2,),mii则22222,()()()mimiminkkaaal，所以本征振荡频率为22()(),,0,1,2,;1,2,.minminwkccnmial注：0m时，0x虽然也是()mJx的零点，但这时20,k从而()(0)0,mRJ故求本征值时只取()mJx的正零点.解：以圆柱下底中心为原点，柱轴为z轴建立坐标系，定界问题为000,0,(),|.zHuRuIukqu令0,uuv则得00,00,(),|.zHRvIIvkqv圆柱之上、下底面有第一类齐次边界条件，知20,h,()sin,1,2,.nnhZzznHH因在柱内求拉普拉斯方程的有限解，应排除(),mKh只取();mIh又注意到柱轴是温度场之对称轴，温度分布与无关，0,m所以问题()II的一般解为01(,)()sin.nnnnvzAIzHH代入柱侧边界条件，得'001()sin,nnnnnkAIRzqHHH'00000,2,2()sin4,21.(21)HnnlqnnnAIRzdzqnlHHHkHkl得到022122'040,.(21)[(21)/]llqHAAkkIlRH原问题()I的解为00022'004[(21)/](21)sin.(21)[(21)/]lqHIlHluuzklIlRHH