分类计数原理和分布计数原理

欢迎莅临指导！分类计数原理与分步计数原理从本节课开始，我们将要学习中学代数内容中一个独特的部分—排列、组合、二项式定理.它们研究对象独特，研究问题的方法不同一般.虽然份量不多，但是与旧知识的联系很少，而且它还是我们今后学习概率论的基础，统计学、运筹学以及生物的选种等都与它直接有关.至于在日常的工作、生活上，只要涉及安排调配的问题，就离不开它.问题1：从甲地到乙地,可以乘火车,也可以乘汽车。一天中，火车有3班，汽车有2班。那么，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？新课引入分析：解：因为一天中乘火车有3种走法，乘汽车有2种走法，每一种走法都可以从甲地到乙地，因此，从甲地到乙地共有3+2=5种不同的走法。分类计数原理（加法原理）：完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法……在第n类办法中有mn种不同的方法。那么完成这件事共有N=m1+m2+……+mn种不同的方法。新课讲授问题2：某人从镇江到西藏必须经由成都转车，方法为乘火车到成都，再于次日乘汽车到西藏。一天中，火车有3班，汽车有2班。那么两天中，从镇江到西藏共有几种不同的走法？镇江成都西藏火车1火车2火车3汽车1汽车2分析：所有走法火车1——汽车1火车1——汽车2火车2——汽车1火车2——汽车2火车3——汽车1火车3——汽车2镇江成都西藏火车1火车2火车3汽车1汽车2解：从镇江到成都有3种不同的走法，按这3种走法中的每一种走法到达成都后，再去西藏又有2种不同的走法。因此，从镇江经由成都去西藏共有3×2=6种不同的走法。分步计数原理（乘法原理）：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法。那么完成这件事共有N=m1×m2×……×mn种不同的方法。新课讲授类比：分类计数原理（加法原理）分步计数原理（乘法原理）都是把一个事件分解成若干个分事件来完成。不同点：共同点：如果分事件相互关联,缺一不可,就用乘法原理（分步乘）。前者分类，后者分步。如果分事件相互独立,分类完备,就用加法原理（分类加）；例1书架的第一层放有4本不同的计算机书，第二层放有3本不同的文艺书，第三层放有2本不同的体育书。⑴从书架上任取一本，共有多少种不同的取法？解：⑴从书架上任取一本书，有3类办法：第1类办法是从第一层取1本计算机书，有4种取法；第2类办法是从第二层取1本文艺书，有3种取法；第3类办法是从第三层取1本体育书，有2种取法。根据加法原理，不同取法的种数是：N=m1+m2+m3=4+3+2=9答：从书架上任取一本书，有9种不同的取法。例1书架的第一层放有4本不同的计算机书，第二层放有3本不同的文艺书，第三层放有2本不同的体育书。⑵从书架的每层各取一本书，共有多少种不同的取法？解：（2）从书架的每层上各取一本书，可分3步完成：第1步，从第一层取1本计算机书，有4种取法；第2步，从第二层取1本文艺书，有3种取法；第3步，从第三层取1本体育书，有2种取法。根据乘法原理，不同取法的种数是：N=m1×m2×m3=4×3×2=24答：从书架上的每层上各取一本书，有24种不同的取法。例2一种密码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共10个数字，那么这4个拨号盘可以组成多少个四位数字号码？（各位上的数字可以重复）解：要组成一个四位数字的号码，可分成四步完成：第一步，第1个盘可从0~9中任取一个，有10种取法；第二步，第2个盘可从0~9中任取一个，有10种取法；第三步，第3个盘可从0~9中任取一个，有10种取法；第四步，第4个盘可从0~9中任取一个，有10种取法；根据乘法原理，不同取法的种数是：N=10×10×10×10=10000答：这4个拨号盘可以组成10000个四位数字号码。2+2+3=7３×４×５＝６０课堂练习1：1.一件工作可以用两种方法完成。有5人会用第一种方法完成，有4人会用第二种方法完成。选出一个人来完成这件工作，共有多少种选法？2.在读书活动中，一个学生要从2本科技书，2本政治书，3本文艺术里任选一本，共有多少种不同的选法？3.乘积(a1+a2+a3)(b1+b2+b3+b4)(c1+c2+c3+c4+ｃ5)展开后共有几项？4+5=9例3要从甲、乙、丙3名工人中选出2人，分别上日班和晚班，有多少种不同的选法？分析：日班甲乙丙乙丙甲丙甲乙晚班解：可分成2步完成：第一步，先从3人中选出1人上日班，共有3种选法；第二步，再从剩下的2人中选1人上晚班，共有2种选法根据乘法原理，不同选法的种数是：N=3×2=6答：共有6种不同的选法。课堂练习2：1.书架的上层放有5本不同的数学书，中层放有6本不同的语文书，下层放有4本不同的英语书，从中任取1本书的不同取法的种数是（）A.5+6＋4=15B.1C.6×5×4=120D.32.在上题中,如果从中任取3本,数学,语文,英语各一本,则不同取法的种数是()A.1+1+1=3B.5+6+4=15C.5×6×4=120D.1AC3.从5名同学中选出1名组长、1名副组长，有多少种不同的选法？()A.5+4=9B.5×4=20C.1D.3B4.从1、5、9、13中任取一数作分子，4、8、16中任取一数作分母。能得到几个不同的分数？5.把四封信任意投入三个信箱中,不同投法种数是()A.12B.64C.81D.73×4=12C课堂小结：1、分类计数原理的理解和记忆。3、分类计数与分步计数原理的异同点。即分类加、分步乘2、分步计数原理的理解和记忆。思考：例1、书架的第一层放有4本不同的计算机书，第二层放有3本不同的文艺书，第三层放有2本不同的体育书。（3）若从这些书中取不同的科目的书两本，有多2、由数字0，1，2，3，4可以组成多少个三位整数（各位上的数字允许重复）?1.在所有的两位数中，个位数字小于十位数字的共有多少个?2.某学生填报高考志愿，有M个不同的志愿可供选择，若只能按第一、二、三志愿依次填写3个不3.在所有的三位数中，有且只有两个数字相同的三位数共有多少个?课后练习：