福州市初中毕业会考高级中等学校招生考试数学卷(含答案)

二○一三年福州市初中毕业会考、高级中等学校招生考试一、选择题1．2的倒数是A．12B．2C．－12D．－22．如图，OA⊥OB，若∠1＝40°，则∠2的度数是A．20°B．40°C．50°D．60°3．20XX年12月13日，嫦娥二号成功飞抵距地球约700万公里远的深空，7000000用科学计数法表示为A．7×105B．7×106C．70×106D．7×1074．下列立体图形中，俯视图是正方形的是5．下列一元二次方程有两个相等实数根的是A．x2＋3＝0B．x2＋2x＝0C．(x＋1)2＝0D．(x＋3)(x－1)＝06．不等式1＋x＜0的解集在数轴上表示正确的是7．下列运算正确的是A．a·a2＝a3B．(a2)3＝a5C．(ab)2＝a2bD．a3÷a3＝a8．如图，已知△ABC，以点B为圆心，AC长为半径画弧；以点C为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点D，且点A，点D在BC异侧，连结AD，量一量线段AD的长，约为A．2.5cmB．3.0cmC．3.5cmD．4.0cm9．袋中有红球4个，白球若干个，它们只有颜色上的区别．从袋中随机地取出一个球，如果取到白球的可能性较大，那么袋中白球的个数可能是A．3个B．不足3个C．4个D．5个或5个以上10．A，B两点在一次函数图象上的位置如图所示，两点的坐标分别为A(x＋a，y＋b)，B(x，y)，下列结论正确的是A．a＞0B．a＜0C．b＝0D．ab＜0二、填空题(共5小题，每小题4分．满分20分；请将正确答案填在答题卡相应位置)11．计算：2a－1a＝__________．12．矩形的外角和等于__________度．13．某校女子排球队队员的年龄分布如下表：年龄131415人数474则该校女子排球队队员的平均年龄是__________岁．14．已知实数a，b满足a＋b＝2，a－b＝5，则(a＋b)3·(a－b)3的值是__________．15．如图，由7个形状、大小完全相同的正六边形组成网格，正六边形的顶点称为格点．已知每个正六边形的边长为1，△ABC的顶点都在格点上，则△ABC的面积是__________．三、16．(每小题7分，共14分)(1)计算：(－1)0＋|―4|―12；(2)化简：(a＋3)2＋a(4－a)．解：原式＝1＋4－23解：原式＝a2＋6a＋9＋4a－a2＝5－23＝10a＋9ABCO第2题图12ABCD－2－110－1120－2－110－1120ABCDABC第8题图ABOxy第10题图ABC第15题图17．(每小题8分，共16分)(1)如图，AB平分∠CAD，AC＝AD．求证：BC＝BD．证明：∵AB平分∠CAD∴∠CAB＝∠DAB在△ABC和△ABD中AC＝AD∠CAB＝∠DABAB＝AB∴△ABC≌△ABD∴BC＝BD．(2)列方程解应用题：把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，则还缺25本，这个班有多少学生？解：设这个班有x名学生，依题意，得3x＋20＝4x－25解得x＝45答：这个班有45名学生．18．(10分)为了解某校学生的身高情况，随机抽取该校男生、女生进行抽样调查．已知抽取的样本中，男生、女生的人数相同，利用所得数据绘制如下统计图表：根据图表提供的信息，回答下列问题：(1)样本中，男生的身高众数在__________组，中位数在__________组；(2)样本中，女生身高在E组的人数有__________人；(3)已知该校共有男生400人，女生380人，请估计身高在160≤x＜170之间的学生约有多少人？(1)B；C；(2)2：(3)解：400×10＋840＋380×(25%＋15%)＝322(人)答：估计该校身高在160≤x＜170之间的学生约有322人．组别身高Ax＜155B155≤x＜160C160≤x＜165D165≤x＜170Ex≥170ABCD第17(1)题图身高情况分组表(单位：cm)ABCDE122486124681010身高/cm频数(人数)男生身高情况直方图ABCDE17.5%37.5%25%15%女生身高情况扇形统计图ABCDOxy第19题图19．(12分)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(－2，0)，等边三角形AOC经过平移或轴对称或旋转都可以得到△OBD．(1)△AOC沿x轴向右平移得到△OBD，则平移的距离是__________个单位长度；△AOC与△BOD关于直线对称，则对称轴是__________；△AOC绕原点O顺时针旋转得到△DOB，则旋转角度可以是__________度；(2)连结AD，交OC于点E，求∠AEO的度数．(1)2；y轴；120；(2)解：依题意，连接AD交OC于点E如图，由旋转得OA＝OD，∠AOD＝120°∵△AOC为等边三角形∴∠AOC＝60°∴∠COD＝∠AOD－∠AOC＝60°∴∠COD＝∠AOC又OA＝OD∴OC⊥AD∴∠AEO＝90°．20．(12分)如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点M，弦MN∥BC交AB于点E，且ME＝1，AM＝2，AE＝3．(1)求证：BC是⊙O的切线；(2)求⌒BN的长．(1)证明：∵ME＝1，AM＝2，AE＝3∴ME2＋AE2＝AM2∴∠AEM＝90°∵MN∥BC∴∠ABC＝∠AEM＝90°即OB⊥BC∴BC是⊙O的切线．(2)解：连接ON在Rt△AME中，sinA＝MEAM＝12∴∠A＝30°∴AB⊥MN∴⌒BN＝⌒BM，EN＝EM＝1∴∠BON＝2∠A＝60°在Rt△ONE中，sin∠EON＝ENON∴ON＝ENsin∠EON＝233∴⌒BN的长＝60·π180·233＝239πABCEOMN第20题图ABCDOxyEABCEOMN21．(12分)如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝45°，P是BC边上一点，△PAD的面积为12，设AB＝x，AD＝y．(1)求y与x的函数关系式；(2)若∠APD＝45°，当y＝1时，求PB•PC的值；(3)若∠APD＝90°，求y的最小值．21解：(1)如图1，过A作AE⊥BC于点E，在Rt△ABE中，∠B＝45°，AB＝x∴AE＝AB·sinB＝22x∴S△APD＝12AD·AE＝12∴12·y·22x＝12∴y＝2x(2)∵∠APC＝∠APD＋∠CPD＝∠B＋∠BAP又∠APD＝∠B＝45°∴∠BAP＝∠CPD∵四边形ABCD是等腰梯形∴∠B＝∠C，AB＝DC∴△ABP∽△PCD∴ABPC＝PBDC∴PB·PC＝AB·DC∴PB·PC＝AB2当y＝1时，x＝2即AB＝2∴PB·PC＝(2)2＝2(3)如图2，取AD的中点F，连接PF，过点P作PH⊥AD于点H∴PF≥PH当PF＝PH时，PF有最小值又∵∠APD＝90°∴PF＝12AD＝12y∴PH＝12y∵S△APD＝12AD·PH＝12∴12·y·12＝12y2＝2∵y＞0∴y＝2即y的最小值为2．ABCDP第21题图备用图ABCDABCDPE图1ABCDPFH图222．(14分)我们知道，经过原点的抛物线的解析式可以是y＝ax2＋bx(a≠0)．(1)对于这样的抛物线：当顶点坐标为(1，1)时，a＝__________；当顶点坐标为(m，m)，m≠0时，a与m之间的关系式是______________；(2)继续探究，如果b≠0，且过原点的抛物线顶点在直线y＝kx(k≠0)上，请用含k的代数式表示b；(3)现有一组过原点的抛物线，顶点A1，A2，…，An在直线y＝x上，横坐标依次为1，2，…，n(n为正整数，且n≤12)，分别过每个顶点作x轴的垂线，垂足记为B1，B2，…，Bn，以线段AnBn为边向右作正方形AnBnCnDn．若这组抛物线中有一条经过Dn，求所有满足条件的正方形边长．22．(14分)(1)－1；a＝－1m(或am＋1＝0)；(2)解：∵a≠0∴y＝ax2＋bx＝a(x＋b2a)2－b24a∴顶点坐标为(―b2a，―b24a)∵顶点在直线y＝kx上∴k(－b2a)＝－b24a∵b≠0∴b＝2k(3)解：∵顶点An在直线y＝x上∴可设An的坐标为(n，n)，点Dn所在的抛物线顶点坐标为(t，t)由(1)(2)可得，点Dn所在的抛物线解析式为y＝－1tx2＋2x∵四边形AnBnCnDn是正方形∴点Dn的坐标为(2n，n)∴－1t(2n)2＋2×2n＝n∴4n＝3t∵t、n是正整数，且t≤12，n≤12∴n＝3，6或9∴满足条件的正方形边长为3，6或9二○一三年福州市初中毕业会考、高级中等学校招生考试数学试卷参考答案一、选择题(每小题4分，满分40分)题号12345678910答案ACBDCAABDB二、填空题(每小题4分，满分20分)题号1112131415答案1a36014100023三、解答题16．(每小题7分，满分14分)(1)解：原式＝1＋4－23＝5－23(2)解：原式＝a2＋6a＋9＋4a－a2＝10a＋917．(每小题8分，满分16分)(1)证明：∵AB平分∠CAD∴∠CAB＝∠DAB在△ABC和△ABD中AC＝AD∠CAB＝∠DABAB＝AB∴△ABC≌△ABD∴BC＝BD．(2)解：设这个班有x名学生，依题意，得3x＋20＝4x－25解得x＝45答：这个班有45名学生．18．(10分)(1)B；C；(2)2：(3)解：400×10＋840＋380×(25%＋15%)＝322(人)答：估计该校身高在160≤x＜170之间的学生约有322人．19．(12分)(1)2；y轴；120；(2)解：依题意，连接AD交OC于点E如图，由旋转得OA＝OD，∠AOD＝120°∵△AOC为等边三角形∴∠AOC＝60°∴∠COD＝∠AOD－∠AOC＝60°∴∠COD＝∠AOC又OA＝ODABCDOxyE∴OC⊥AD∴∠AEO＝90°．20．(12分)(1)证明：∵ME＝1，AM＝2，AE＝3∴ME2＋AE2＝AM2∴∠AEM＝90°∵MN∥BC∴∠ABC＝∠AEM＝90°即OB⊥BC∴BC是⊙O的切线．(2)解：连接ON在Rt△AME中，sinA＝MEAM＝12∴∠A＝30°∴AB⊥MN∴⌒BN＝⌒BM，EN＝EM＝1∴∠BON＝2∠A＝60°在Rt△ONE中，sin∠EON＝ENON∴ON＝ENsin∠EON＝233∴⌒BN的长＝60·π180·233＝239π21．(12分)解：(1)如图1，过A作AE⊥BC于点E在Rt△ABE中，∠B＝45°，AB＝x∴AE＝AB·sinB＝22x∴S△APD＝12AD·AE＝12∴12·y·22x＝12∴y＝2x(2)∵∠APC＝∠APD＋∠CPD＝∠B＋∠BAP又∠APD＝∠B＝45°∴∠BAP＝∠CPD∵四边形ABCD是等腰梯形∴∠B＝∠C，AB＝DC∴△ABP∽△PCD∴ABPC＝PBDC∴PB·PC＝AB·DC∴PB·PC＝AB2当y＝1时，x＝2即AB＝2ABCEOMNABCDPE图1∴PB·PC＝(2)2＝2(3)如图2，取AD的中点F，连接PF，过点P作PH⊥AD于点H∴PF≥PH当PF＝PH时，PF有最小值又∵∠APD＝90°∴PF＝12AD＝12y∴PH＝12y∵S△APD＝12AD·PH＝12∴12·y·12＝12y2＝2∵y＞0∴y＝2即y的最小值为2．22．(14分)(1)－1；a＝－1m(或am＋1＝0)；(2)解：∵a≠0∴y＝ax2＋bx＝a(x＋b2a)2－b24a∴顶点坐标为(―b2a，―b24a)∵顶点在直线y＝kx上∴k(－b2a)＝－b24a∵b≠0∴b＝2k(3)解：∵顶点An在直线y＝x上∴可设An的坐标为(n，n)，点Dn所在的抛物线顶点坐标为(t，t)由(1)(2)可得，点Dn所在的抛物线解析式为y＝－1tx2＋2x∵四边形AnBnCnDn是正方形∴点Dn的坐标为(2n，n)∴－1t(2n)2＋2×2n＝n∴4n＝3t∵t、n是正整数，且t≤12，n≤12∴n＝3，6或9∴满足条件的正方形边长为3，6或9ABCDPFH图2