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2．2双曲线2．2.1双曲线的定义与标准方程2.2.1课堂互动讲练知能优化训练课前自主学案学习目标学习目标1.了解双曲线的定义，几何图形及标准方程的推导过程．2．掌握双曲线的标准方程．3．会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的实际问题．课前自主学案温故夯基3已知椭圆方程为5x2＋9y2＝45，a、b、e分别为椭圆的长半轴长、短半轴长、离心率，则a＝____，b＝_____，e＝_____.5231．双曲线的定义平面上到两个定点F1，F2的距离之差的绝对值为________(小于|F1F2|)的点的轨迹叫作双曲线．这两个定点F1，F2叫作双曲线的______，两个焦点之间的距离叫作双曲线的_______2．双曲线的标准方程知新益能固定值焦点焦距．焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)焦点___________________焦距|F1F2|＝2c，c2＝a2＋b2(±c,0)(0，±c)1．如何理解双曲线的定义？提示：(1)定义中的前提条件为“平面内”，这一限制条件十分重要，不能丢掉，否则就成了空间曲线，不是平面曲线了．(2)不可漏掉定义中“常数小于|F1F2|”．(3)双曲线的定义中要注意两点：①距离之差的绝对值；②2a|F1F2|.这两点与椭圆的定义有本质的不同，若|PF1|－|PF2|＝2a|F1F2|，点P的轨迹仅为双曲线焦点F2这一侧的一支，若|PF2|－|PF1|＝2a|F1F2|，点P思考感悟的轨迹仅为双曲线焦点F1这一侧的一支，而双曲线是由两个分支组成的，故定义中应为“差的绝对值”．2．如果去掉“小于|F1F2|”这一条件，轨迹会有怎样的变化？提示：当2a＝|F1F2|时，动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线；当2a|F1F2|时，动点的轨迹不存在．课堂互动讲练求双曲线的标准方程考点突破与求椭圆的标准方程的方法一样，若由题设条件易于确定方程的类型，可先设出方程的标准形式，再确定方程中的参数a，b的值，即“先定型，再定量”．若两种类型都有可能，则应进行分类讨论．例1分别求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)过点P(3，154)，Q(－163，5)，且焦点在坐标轴上；(2)c＝6，经过点(－5,2)，焦点在x轴上．【思路点拨】求双曲线的标准方程时，应先“定位”，再“定型”，即先确定其焦点的位置，再确定a、b的取值；和椭圆一样，在所求曲线的焦点位置不确定的情况下，可借助于双曲线方程的一般形式求解．【解】(1)设双曲线方程为x2m＋y2n＝1(mn0)．∵P、Q两点在双曲线上，∴9m＋22516n＝1，2569m＋25n＝1，解得m＝－16，n＝9.∴所求的双曲线方程为y29－x216＝1.(2)∵焦点在x轴上，c＝6，∴设所求双曲线方程为x2λ－y26－λ＝1(其中0λ6)．∵曲线经过点(－5,2)，∴25λ－46－λ＝1，∴λ＝5或λ＝30(舍去)．∴所求双曲线方程是x25－y2＝1.【名师点评】求双曲线标准方程的方法：(1)定义法若由题设条件能判断出动点的轨迹是双曲线，可根据双曲线的定义确定其方程，这样可以减少运算量．(2)待定系数法，其步骤为：①作判断：根据条件判断双曲线的焦点在x轴上还是在y轴上，还是两种情况都有可能．②设方程：根据条件，设出标准方程．③寻关系：根据已知条件列出关于a、b、c的方程组．④得方程：解方程组代入所设方程即为所求．自我挑战1(1)求焦点是F1(0，－4)，F2(0,4)且过点P(22，－6)的双曲线的标准方程；(2)求焦点在y轴上，且过点P1(3，－42)，P2(94，5)的双曲线的标准方程．解：(1)设所求标准方程为y2a2－x2b2＝1(a0，b0)，且c＝4，∵曲线过点P(22，－6)，∴有36a2－8b2＝1，a2＋b2＝16，∴a2＝12，b2＝4，∴双曲线的标准方程为y212－x24＝1.(2)设双曲线的标准方程为y2a2－x2b2＝1(a0，b0)．因为P1，P2在双曲线上，所以P1，P2的坐标适合方程，所以有32a2－9b2＝1，25a2－8116b2＝1，令m＝1a2，n＝1b2.则方程组可化为32m－9n＝1，25m－8116n＝1，解得m＝116，n＝19.即a2＝16，b2＝9.∴所求方程为y216－x29＝1.利用定义求方程利用定义法求双曲线的标准方程，首先找出两个定点(即双曲线的两个焦点)；然后再根据条件寻找动点到两个定点的距离的差(或差的绝对值)是否为常数，这样确定c和a的值，再由c2＝a2＋b2求b2，进而求双曲线的方程．例2在△ABC中，|BC|＝8，点A满足sinB－sinC＝12sinA.求点A的轨迹方程．【思路点拨】建系―→得B、C坐标―→利用正弦定理―→a，b，c的关系―→点A的轨迹―→写出点A的轨迹方程【解】如图，以BC边所在的直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，则B(－4,0)，C(4,0)，∵sinB－sinC＝12sinA，∴由正弦定理得b－c＝12a.即|AC|－|AB|＝12|BC|.∴|AC|－|AB|＝4.∴点A是以B、C为焦点的双曲线的左支(除去与x轴的交点)．∵c＝4，a＝2，∴b2＝12.∴其方程为x24－y212＝1(x＜－2)．∴点A的轨迹是双曲线的一支(除去一点)．【名师点评】如果动点的轨迹可以较容易地判断符合直线、圆、椭圆或者双曲线的定义，通常运用待定系数法求出相关的基本量的值即可．利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题，一是要注意定义条件||PF1|－|PF2||＝2a的变形使用，特别是与|PF1|2＋|PF2|2，|PF1|·|PF2|间的关系；二是要与三角形知识相结合，经常利用余弦定理、正弦定理等知识，同时要注意整体思想的应用．双曲线定义的应用设双曲线x24－y29＝1，F1，F2是其两个焦点，点M在双曲线上．(1)若∠F1MF2＝90°，求△F1MF2的面积；(2)若∠F1MF2＝60°时，△F1MF2的面积是多少？若∠F1MF2＝120°时，△F1MF2的面积又是多少？(3)观察以上计算结果，你能看出随∠F1MF2的变化，△F1MF2的面积将怎样变化吗？试证明你的结论．例3【思路点拨】在△F1MF2中运用余弦定理及三角形的三角恒等式，再由三角形的面积公式进行计算、证明．【解】(1)由双曲线方程知a＝2，b＝3，c＝13，设|MF1|＝r1，|MF2|＝r2(r1r2)．因为∠F1MF2＝90°，所以r21＋r22＝|F1F2|2，由双曲线定义，有r1－r2＝2a＝4，两边平方得r21＋r22－2r1·r2＝16，即|F1F2|2－4S△F1MF2＝16，也即52－16＝4S△F1MF2，求得S△F1MF2＝9.由双曲线定义，有r1－r2＝2a＝4，两边平方得r21＋r22－2r1·r2＝16，即|F1F2|2－4S△F1MF2＝16，也即52－16＝4S△F1MF2，求得S△F1MF2＝9.(2)若∠F1MF2＝60°，在△F1MF2中，由余弦定理得|F1F2|2＝r21＋r22－2r1r2cos60°，由|F1F2|2＝(r1－r2)2＋r1r2，得r1r2＝36，求得S△F1MF2＝12r1r2sin60°＝93.同理可求得若∠F1MF2＝120°，S△F1MF2＝33.(3)由以上结果可见，随着∠F1MF2的增大，△F1MF2的面积将减小．证明如下：令∠F1MF2＝θ，则S△F1MF2＝12r1·r2sinθ.由双曲线定义及余弦定理，有r1－r22＝4a2，①r21＋r22－2r1·r2cosθ＝4c2，②②－①得r1·r2＝4c2－4a221－cosθ，所以S△F1MF2＝c2－a2sinθ1－cosθ＝b2tanθ2.因为0θπ，0θ2π2，在(0，π2)内，1tanθ2是减函数．因此当θ增大时，S△F1MF2＝b2tanθ2减小．【名师点评】(1)由于三角形面积S△F1MF2＝12r1r2sinθ，所以只要求出r1r2即可，因此可考虑到双曲线定义及余弦定理求出r1r2，体现了数学中的整体思想．(2)本题由θ＝60°、90°、120°时的△F1MF2面积的值的变化猜想到随θ的增大面积减小的事实，进而要求进行证明，这是一种很重要的题型，同时也体现了运用由特殊到一般的思想解决问题的方法，要注意认真体会．(3)双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)中的焦点三角形自我挑战2已知双曲线x29－y216＝1的左、右焦点分别是F1、F2，若双曲线上一点P使得∠F1PF2＝90°，求△F1PF2的面积．△F1MF2与椭圆类似，集中了双曲线的定义、余弦定理、三角恒等变换等知识．解：如图所示，由x29－y216＝1，得a＝3，b＝4，∴c＝5.由双曲线定义及勾股定理得|PF1|－|PF2|＝±6，|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝102.∴(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1|·|PF2|＝100，∴|PF1|·|PF2|＝100－362＝32，∴S△F1PF2＝12|PF1|·|PF2|＝16.1．遇到动点到两定点距离之差问题，要联想应用双曲线定义解题，点P在双曲线上，有||PF1|－|PF2||＝2a，充分利用这一隐含条件，是解决问题的重要技巧．2．求双曲线的标准方程主要有：一是没有给出坐标系，必须建立坐标系，根据双曲线的定义确定出方程；二是给出标准形式，要先判断出焦点的位置，如果焦点不确定要分类讨论，采用待定系数法求方程或用形如mx2＋ny2＝1(mn0)的形式求解．方法感悟3．应用双曲线的定义解题，要分清是双曲线的哪一支，是否两支都符合要求，结合已知条件进行判断．本部分内容讲解结束点此进入课件目录按ESC键退出全屏播放谢谢使用