第四章 截面的几何性质

第四章截面的几何性质概述：讨论的问题：介绍与截面形状和尺寸有关的几何量(静矩、惯性矩、惯性积）的定义及计算方法；平行移轴公式，转轴公式等。在实际工程中发现，同样的材料，同截面积，由于横截面的形状不同，构件的强度、刚度有明显不同，如一张纸（或作业本），两端放在铅笔上，明显弯曲，更不能承载东西了.但把同一张纸折成波浪状（象石棉瓦状），这时纸的两端再搁在铅笔上，不仅不弯曲，再放上一支铅笔,也不弯曲.可见,材料截面的几何形状对强度、刚度是有一定影响的，研究截面几何性质的目的就是解决如何用最少的材料，制造出能承担较大荷载的杆件的问题的.•4—1截面的静矩和形心一、静矩的定义设平面图形，取zoy坐标系，取面积元dA，坐标为（z,y），整个截面对z、y轴的静矩为：——整个截面对z轴的静矩；——整个截面对y轴的静矩；AzydAsdAyczcyyzzoAyzdAs•若将理解为垂直于纸面的力，便是对z轴的力矩，则为对z轴的合力矩，故称为面积矩。•若形心坐标为，静矩也可写成：•性质：•1、同一截面对不同轴的静矩亦不同；静矩可以是正、可以是负或零；•2、单位：；•3、当坐标轴原点过形心，；dAydAzsccyz,ASyASzzcyc,cyAAzydAsczAAyzdAs0,0yzccssyz33,cmmm反之，若，坐标轴原点必过截面形心。•二、形心位置的计算•形心位置：对面积连续分布的（非组合图形）图形：0yxssAydAAsyAzdAAszAzcAycASyASzzcyc,•对组合图形：iiiciiciiiiccAAyyAAzzi；iiciyAzSiciizAys个分图形的形心坐标；第、个分图形的面积；第iyziAcicii•例1，求四分之一圆截面对z,y轴的形心位置•解：取如图示的坐标系,•先求yxss,dyzyydAsAzdR2320cossin33R344323RRRAsyzcdyRyzzoydzyzzdAsAzdzRyzzoydRdyRyRzcossincosdRRRsinsincosdRo232sincos34RAszyc233sin31oR•三、组合截面的静矩•例1：如图由两个矩形截面组合成的T形截面，y轴为对称轴，对z，y轴的静矩。解：因为是组合图形,又关于轴对称，故有：,5027022mmA）；，（0021zzAzSiiciy2211AyAyAysiciiz,)(10625.2350270302270303001525mm,3030021mmA50yzo30030270•4-2惯性矩和惯性积一、惯性矩的定义------面积对坐标轴的二次矩.设一平面图形，取一元面积，坐标为(z,y)，距原点的距离为，方位角为，定义：——平面图形对z,y轴的惯性积;而dA;2dAyIAz;2dAzIAyzydAIAzydAIdAdAyzIIAAAyz2222定义：.极惯性矩dAyyzzo•二、性质1、恒为正，可正、可负、也可以为零，其正负值与坐标轴的位置有关。2、单位：（长度）4；例4-4：计算直径为d的圆截面对形心轴z,y的惯性矩和惯性积。解：用平面极坐标yzII、zyIdAyIAz2dddoo2222sinddodo2232sinzdd）、yz(）、（yzydd2cos1214120204).,(rdddA.cos;sinzydA446424dd由于对称：极惯性矩：对过形心的一对轴的惯性积因坐标轴是对称轴，如对左右的（如上图），•结论：截面如有一根对称轴，则截面对这根轴与另一根与之垂直的轴的.4641dIIyz432122dIIIIIyzyz0sincos22ddzydAIodozydA0ydAzzydA0zyI对矩形截面，过形心轴的惯性矩：•若为组合图形，对z轴，y轴的惯性矩：因,元面积对z轴的惯性矩就等于将各元面积对z轴的惯性矩求和，因质量连续分布，求和则为积分。3121bhIz3121hbIyybzohziizII，，yiiyIIdAyIz2应用于圆环的情形,可看成两个圆形截面，，yzyzIIIIIII2221.16432322124444DdDdDIIIyz式中的），（其他如表4.1.*惯性半径（回转半径）的概念：•如以r表示某一截面对某轴的惯性半径，定义例4—3中的矩形截面：zzIAr2AIrzzyyIAr2AIryyhhhhbbhAIrzz289.03212123Azryyrzoybzoh•补充例子：试计算圆弧右上方阴影部分面积的惯性积解：因为惯性矩与惯性积等于各微元面积的惯性矩或惯性积之和，所以.zyIrzyABCDzyzyIIIryzBACD.884444rrrIzy;8212104220000200222222ryrryrryrArrzyrdyyrydyzyzdzydyyzdydzyzdAI）（;4040rrAABCDzyrzydydzzydAI•4-3惯性矩和惯性积的平行移轴公式•一、公式如图示：任一平面过形心c的坐标系，截面对该轴的为,与平行的坐标系为，截面对该轴的为由图知：,zyyzIII,,zoydAycbyzza'o'z'y'z'yzoyyoz.yzyzIII、、zbzyaydAbzdAzIAAy22dAbzbdAdAzAAA222AbIy20AbIIyy2•结论：截面对与形心轴平行的任意轴的惯性矩等于截面对过形心轴y的惯性矩加上.•同理可得：•平行移轴定理：截面对平行于形心轴的其它任意轴的惯性矩等于该截面对形心轴的惯性矩加上其面积乘以两轴之间距离的平方。yAb2AaIIzz2dAaybzdAyzIAyzdAabbydAzadAzydAAAAAAbaIccyz00AabIIccyzyz•意义:提供了计算平面图形对平行于形心轴的其它轴的的方法;也可反算对形心轴的惯性矩及惯性积。例子:求矩形截面对边界轴z轴的惯性矩和截面对z轴的惯性半径.解：yzyzIII,,123bhIzhbhIIzz2233331412bhbhbhybzhc'z'y.289.0321577.033313hhrhhhbbhAIrzzz二、组合截面的惯性矩及惯性积公式:•例子:求下平面图形的•解：图由一个矩形和两个半圆组成,设矩形的惯性矩为，每个半圆的为,•半圆对过形心轴的惯性矩,ziyiizyyiiyziizIIIIII,,1zI312121adIz4731033.512100280mmcz422726492dIcz?zI2zI1002a40yzc80d32d40cz•所以47221047.332822mmdadIIczz4810227.1(221mmIIIzzz）两个半圆的•4—5惯性矩和惯性积的转轴公式讨论的问题：两组坐标系共原点，且旋转了一角度，平面对这两组坐标系的惯性矩或惯性积之间的关系。如图：相对转过一角度,平面对坐标系的与对的之间的关系-----11oyzzyyzIII,,1111,,yzyzIIIoyz11oyzoyz•概念：•一、主惯性轴与主惯性矩•定义：截面对一对坐标轴的惯性积为零，则这一对坐标轴称为主惯性轴，截面对主惯性轴的惯性矩即为主惯性矩。•二、形心主惯性轴和主惯性矩•定义：截面对过形心的一对坐标轴（互相垂直）的惯性积为零，则这一对轴称为形心主惯性轴，平面对形心主惯性轴的惯性矩称为形心主惯性矩。•由上知要确定形心惯性轴，必须先求再令其为零。为方便，先求平面对z、y轴的由此计算相对它转过一个角度的。,zyI,,,zyyzIII1111,,yzyzIII转轴公式的推导：•面元的坐标（z、y）与•二者之间的关系为：•1111111,,,,yzyzzyyzIIIyozIIIzoy坐标系的平面对坐标系的为设平面对dA11,yzBDoEocz1sincosyzsincos1xyyEBCDAD同理有dAzydAyIAAz221sincos1dAzydAzdAyAAAsincos2sincos2222zydAdAzdAyAAAcossin2sincos2222zyyzIIIcossin2sincos22zyzyAyIIIdAzIcossin2sincos22211yzzyzyAyzIIIIdAyzIcossincossinsincos221111•利用2sincossin22cos121sin2cos121cos22转轴公式2cos2sin22sin2cos222sin2cos221111zyyzyzzyyzyzyzyyzyzzIIIIIIIIIIIIIIII将与相加得：结论：平面对同一原点的不同的一组互相垂直的坐标轴的惯性矩之和是一常数。三、主惯性轴及主惯性矩的求解----由求解：•即因在内变化，不同对应不同的坐标系，从而有不同的，其中必有一对值最大,对惯性轴的惯性矩最大。1zI1yI常数yzyzIIII11011yzI02cos2sin200zyyzIIIyzzyIIItg2202~0yzII,•可由及确定.且因,其中1个极大，1个为极小。•在内有两个值满足上式，的具体确定：•（1）先设一角度•（2）再由分子及的正负，判断在哪一个象限;如:;01011ddIz011ddIy1cIIyz112~0000yzzyIIItg2即zyI2yzII02002,2,0,02在第一象限yzzyIII;;;•确定了后，再将代入式4—11中求得对主惯性轴的主惯性矩•（极大）1802,2,0,0200在第二象限yzzyIII1802,2,0,0200在第三象限yzzyIII002,2,0,02在第四象限yzzyIII002222zyyzyzzoIIIIII极小2222zyyzyzyoIIIIII•说明：主轴的惯性矩是图形对一点的所有坐标轴惯性矩中的极大值和极小值。•证明：•利用，02002122sintgtg0202112costg002sin2cos22zyyzyyzoIIIIII2122112222tgtgItgIIIIzyyzyz222241241122）（）（yzzyyzzyzyyzzyyzyzIIIIIIIIIIIIII222222222zyyzzyzyyzyzyzIIIIIIIIIII