构造判断矩阵的讲解(层次分析法)

构造判断矩阵在确定各层次各因素之间的权重时，如果只是定性的结果，则常常不容易被别人接受，因而Santy等人提出：一致矩阵法，即：1.不把所有因素放在一起比较，而是两两相互比较2.对此时采用相对尺度，以尽可能减少性质不同的诸因素相互比较的困难，以提高准确度。心理学家认为成对比较的因素不宜超过9个，即每层不要超过9个因素。判断矩阵是表示本层所有因素针对上一层某一个因素的相对重要性的比较。判断矩阵的元素aij用Santy的1—9标度方法给出。建立判断矩阵例如：如果C为购一台满意的设备，P1为功能强，P2为价格低，P3为维修容易。通过对P1，P2和P3的两两比较后做出的判断矩阵P如下：P1P2P2P3P3P111/323151/21/51功能强价格低易维修衡量判断矩阵质量的标准是矩阵中的判断是否有满意的一致性，如果判断矩阵存在如下关系，则称判断矩阵具有完全一致性。bij=bik/bjk为了考察AHP决策分析方法得出的结果是否基本合理，需要对判断矩阵进行一致性检验。1135/13/11125/13/13/12/117/14/1557123342/11AijjiijnnijaaaaA1,0,)(设要比较各准则C1,C2,…,Cn对目标O的重要性ijjiaCC:A~成对比较阵A是正互反阵要由A确定C1,…,Cn对O的权向量选择旅游地目标层O(选择旅游地)准则层C3居住C1景色C2费用C4饮食C5旅途C1C2C3C4C5C1C2C3C4C5稍加分析就发现上述成对比较矩阵有问题层次单排序和一致性检验对判断矩阵求其相对应的特征向量Ｗ，即ＢＷ＝λmaxＷ其中Ｗ的分量（Ｗ１，Ｗ２，···，Ｗn）就是对应于n个要素的相对重要度，即权重系数。计算权重系数的方法和积法方根法（1）和积法①将判断矩阵的每一列元素做归一化处理：②将归一化的判断矩阵按行相加：③对向量T归一化：),...,2,1,.........(/1njibbbnkkjijij),...,2,1.........(1nibwnjiji),...,,(21ni),...,2,1.........(/1ni所得的),...,,(21n即为所求得特征向量，亦即判断矩阵的层次单排序结果（即权重系数）T（二）一致性检验层次单排序和一致性检验1maxnnCI定义一致性指标C.I.为：一般情况下，若C.I.≤0.10,就认为判断矩阵具有一致性。据此而计算的值是可以接受的。显然，随着n的增加判断误差就会增加，因此判断一致性时应考虑到n的影响，使用随机性一致性比值C.R.=C.I./R.I.，其中R.I.为平均随机一致性指标。下表给出了500样本判断矩阵计算的平均随机一致性指标检验值。阶数123456789101112131415RI000.580.91.121.241.321.411.451.491.521.541.561.581.59平均随机一致性指标基本概念什么是权重（权系数）？注意，X1，X2，…，Xn中有的不是基数变量，而有可能是序数变量如舒适程度或积极性之类。小石块W1小石块Wn小石块W2…设想：把一块单位重量的石头砸成n块小石块在决策问题中，通常要把变量Z表示成变量x1，x2，…，xn的线性组合：nnxwxwxwz+++L2211其中.则叫各因素对于目标Z的权重，叫权向量.nniiiwwTwnw2w1w),...,,(利用判断矩阵计算各因素C对目标层Z的权重（权系数）b.对按行求和得：a.将A的每一列向量归一化得：c.将归一化，即为近似特征根（权向量）d.计算，作为最大特征根的近似值。例：列向量归一化按行求和归一化268.0972.0760.1091.0077.01.0364.0308.03.0545.0615.06.014/16/1412/1621AniiiwAwn1)(1njijiww1~~niijijijaaw1/~w089.0324.0587.0268.0974.0769.1Aw009.3)089.0268.0324.0974.0587.0769.1(31++Tnniiii),...,,(,~/~211iw~ijw~得到排序结果：w=(0.588,0.322,0.090)T,max=3.0092.层次单排序及其一致性检验对应于判断矩阵最大特征根λmax的特征向量，经归一化(使向量中各元素之和等于1)后记为W。W的元素为同一层次因素对于上一层次因素某因素相对重要性的排序权值，这一过程称为层次单排序。能否确认层次单排序，需要进行一致性检验，所谓一致性检验是指对A确定不一致的允许范围。定理：n阶一致阵的唯一非零特征根为n定理：n阶正互反阵A的最大特征根n,当且仅当=n时A为一致阵由于λ连续的依赖于aij，则λ比n大的越多，A的不一致性越严重。用最大特征值对应的特征向量作为被比较因素对上层某因素影响程度的权向量，其不一致程度越大，引起的判断误差越大。因而可以用λ-n数值的大小来衡量A的不一致程度。1nnCI定义一致性指标:CI=0，有完全的一致性CI接近于0，有满意的一致性CI越大，不一致越严重RI000.580.901.121.241.321.411.451.491.51n1234567891110为衡量CI的大小，引入随机一致性指标RI。方法为Saaty的结果如下随机一致性指标RI50021,,,AAAL50021,,,CICICIL15005005002150021+++++nnCICICIRILL则可得一致性指标随机构造500个成对比较矩阵1.0RICICRA一致性检验：利用一致性指标和一致性比率0.1及随机一致性指标的数值表，对进行检验的过程。一般，当一致性比率的不一致程度在容许范围之内，有满意的一致性，通过一致性检验。可用其归一化特征向量作为权向量，否则要重新构造成对比较矩阵A，对aij加以调整。时，认为A定义一致性比率：RICICR“选择旅游地”中准则层对目标的权向量及一致性检验1135/13/11125/13/13/12/117/14/1557123342/11A准则层对目标的成对比较阵最大特征根=5.073权向量(特征向量)w=(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T018.0155073.5CI一致性指标随机一致性指标RI=1.12(查表)一致性比率CR=0.018/1.12=0.0160.1通过一致性检验层次总排序的一致性检验设层对上层(层)中因素的层次单排序一致性指标为，随机一致性指为，则层次总排序的一致性比率为：BnBBB,,,21LA),,2,1(mjAjLjCIjRImmmmRIaRIaRIaCIaCIaCIaCR++++++LL221122111.0CR当时，认为层次总排序通过一致性检验。层次总排序具有满意的一致性，否则需要重新调整那些一致性比率高的判断矩阵的元素取值。到此，根据最下层（决策层）的层次总排序做出最后决策。记第2层（准则）对第1层（目标）的权向量为(2)(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)Tw同样求第3层(方案)对第2层每一元素(准则)的权向量12/15/1212/15211B方案层对C1(景色)的成对比较阵1383/1138/13/112B方案层对C2(费用)的成对比较阵…Cn…Bn最大特征根1=3.0052=3.002…5=3.0权向量w1(3)w2(3)…w5(3)=(0.595，0.277，0.129)=(0.082，0.236，0.682)=(0.166，0.166，0.668)选择旅游地第3层对第2层的计算结果w(2))3(kwkkCI0.2630.5950.2770.1293.0050.0030.00100.00503.0020.6820.2360.0820.47530.1420.4290.4290.0553.0090.1750.1930.6330.09030.6680.1660.1660.110组合权向量RI=0.58(n=3),CIk均可通过一致性检验方案P1对目标的组合权重为0.5950.263+…=0.300方案层对目标的组合权向量为(0.300,0.246,0.456)T1.建立层次结构模型该结构图包括目标层，准则层，方案层。层次分析法的基本步骤归纳如下3.计算单排序权向量并做一致性检验2.构造成对比较矩阵从第二层开始用成对比较矩阵和1~9尺度。对每个成对比较矩阵计算最大特征值及其对应的特征向量，利用一致性指标、随机一致性指标和一致性比率做一致性检验。若检验通过，特征向量（归一化后）即为权向量；若不通过，需要重新构造成对比较矩阵。计算最下层对最上层总排序的权向量。4.计算总排序权向量并做一致性检验1.0CRCR进行检验。若通过，则可按照总排序权向量表示的结果进行决策，否则需要重新考虑模型或重新构造那些一致性比率较大的成对比较矩阵。mmmmRIaRIaRIaCIaCIaCIaCR++++++LL22112211利用总排序一致性比率例1大学毕业生就业选择问题获得大学毕业学位的毕业生，在“双向选择”时，用人单位与毕业生都有各自的选择标准和要求。就毕业生来说选择单位的标准和要求是多方面的，例如：①能发挥自己才干作出较好贡献（即工作岗位适合发挥自己的专长）；②工作收入较好（待遇好）；③生活环境好（大城市、气候等工作条件等）；④单位名声好（声誉等）；⑤工作环境好（人际关系和谐等）⑥发展晋升机会多（如新单位或前景好）等。