高代2

这次试卷有选择10个30分，填空10个30分，计算25分，证明15分同学要把下面的题理解1．实数域R上的4元二次型可以分成类。2．在向量空间][2xF中，定义线性变换)(')(:xxfxf，其中][2xF表示所有次数不超过2的多项式，)('xf表示)(xf的导数。在基},,1{2xx下的矩阵为。3．设},,,{21n是n维欧氏空间V的一组规范正交基，向量n21,nnnnn2211,试求内积,。4．设V是数域F上的n维向量空间，)(VL表示V上的所有线性变换，则)(VL作为域F上的向量空间，维数为。5．矩阵cossinsincos能否对角化？。1．关于向量空间的直和21WWV，下面说法正确的是（）（A）1W和2W是V的真子空间；（B）21WW是空集；（C）1W的一组基与2W的一组基构成V的一组基；（D）1W中的每一向量都与2W中的每一向量正交。2．设V是复数域C上的n维向量空间，1n，为V上的线性变换，则下面的说法正确的是（）（A）一定存在的非平凡的不变子空间；（B）的不变子空间有可能恰好是平凡子空间；（C）情况视的不同而有所不同；（D）没有定论。3．设R为实数域，在向量空间nR，设向量),,,(21nxxx,),,,(21nyyy，下面定义,，不是内积的是（）（A）nnyxyxyx2211,；（B）nnynxyxyx22112,（C）},,,max{,2211nnyxyxyx；（D）nnnnyxyxyxnynx1122112)1(,4．设V是域F上的有限维向量空间，W为V的非平凡子空间，下面关于W的余子空间说法正确的是：（）（A）W不一定存在；（B）一定存在且唯一；（C）与W有关；（D）上述都不正确5．设V是实数域F上的有限维向量空间，下面哪些线性变换一定可对角化（）（A）正交变换；（B）对称变换；（C）可逆的线性变换；（D）不可逆的线性变换。三、判断题，请简要说明理由（每小题2分，共10分）1.n维向量空间中的任一含有非零向量的向量组中都存在极大无关组()2.两个n阶上三角矩阵的乘积一定是上三角矩阵（）3.实对称矩阵一定可逆（）4.正定对称矩阵一定可逆（）5.域F上的有限维向量空间V的维数与F的选择没有关系（）四、计算题（每小题8分，共40分）1．试判断矩阵112223101A是否可逆，若可逆，试求其逆矩阵。2．令)(FMn表示数域F上所有n阶矩阵所组成的向量空间，令}|)({AAFMAWTn试说明W为)(FMn的子空间，并求W的维数。3．设矩阵00111100aA，试问，当a取何值的时候，矩阵A可对角化？5．试确定实二次型cxybzxayz的秩和符号差。1、设n阶实对称矩阵A是正交矩阵，则____C_______A.A=I；B.A与I相似；C.IA2；D.A与I合同。2、设A是3阶方阵，1)(Ar，则A的属于特征值0的特征子空间维数______A____A.=2；B.≥2；C.≤2；D.=1或2或3。3、设V是数域F上的n维向量空间，则L（V）的维数等于____C________AnB2nCn2D4n24、设r，，，21是向量空间V的线性相关的向量组，δ是V的线性变换，则)()()(21r，，，______B_____A线性无关B线性相关C不一定线性无关D全是零向量5、设u是正交矩阵，则_____C_______Au的行列式等于1Bu的行列式等于-1Cu的行列式等于±1Du的行列式等于06、和矩阵1001M正交相似的矩阵是_____A_______A.0110B.0011C.1111D.01107、设δ是向量空间V的对合变换（即2=单位变换），则关于δ的特征值的说法正确的是____C______Aδ只有一个特征值为1Bδ只有一个特征值为-1Cδ有两个特征值为1和-1Dδ的特征值与维数无关8、设δ是n维（n0）向量空间V的一个对称变换,则下列说法错误的是__D__Aδ的特征值全部为实数Bδ一定可以对角化Cδ关于某一组规范正交基的矩阵是对称矩阵Dδ一定是正交变换二.判断对错,并解释原因（每题4分，共16分）得分1、两个子空间的交是子空间，同理并也是子空间.(错误)2、设U是δ的属于本征值的本征子空间，则U中的任意向量都是δ的属于本征值的本征向量.(错误)3、实对称矩阵的秩r和符号差s具有相同的奇偶性.(对)4、设δ是n维欧氏空间V的一个正交变换，则δ关于V的任一基的矩阵都为正交矩阵.（错）二填空题（每空2分,共18分）1．n阶实对称矩阵按合同分类，共有_(n+1)(n+2)/2__类；而n阶复对称矩阵按相似分类，共有_n+1__类。2．设211A，211B，21111C，20110D是R上3阶方阵。则在B,C,D中，_______D_______与A正交相似，_________B______与A合同。3.设nnijaA为n阶正交矩阵，且111a，则矩阵方程001Ax的解x=(001)4．13R中，定义内积为标准内积，则向量(1,2,2),(1,0,1)的夹角是_____62cosar___，距离是_____3_________。5．设1234,,,是欧氏空间V的一组标准正交基，112(,)VL，其中123，2124，1232124是V1的一组标准正交基。6在14R中，与矩阵123423453456A的每个行向量都正交的全体向量所构成的子空间W的维数为____2______。三计算题（15分）1.已知二次型222(,,)()222fxyzxyzxyxzyz。(1)请写出该二次型的相伴矩阵；解:111111(2)取什么值时，f是正定的？(2时,f是正定的)(2)当=1时，将二次型f化为标准型并求出相应的非退化线性替换。解:非退化线性替换可取22zyZzyYzyxX相应的标准型为22244ZYX2．（10分）设113202002A(1)求A的特征值.(2)A可以对角化吗?为什么?解:11322002AI=0A的特征值=2,-2,-1因有3互不相同的特征根,A可以对角化1.设向量组线性相关，则向量组一定线性。2．已知)2,1,2,1(1,3),(1,2,2,(2,3,1,0),32则),,(321L的维数为,此生成空间的一组基为.3.已知向量组123(1,,5),(2,3,2),(2,1,1)kaaa==-=-线性相关，则参数k的值为_________。4.设A为数域P上秩为r的n阶矩阵，定义n维列向量空间Pn的线性变换：(),nAP，则1dim(0)＝，dim()nP＝．5.设A是m×n矩阵,b是m×1矩阵,则AX=b有解的充要要条件是________________.6.矩阵A=(aij)n×m可逆的充要条件是______________________.7.=，=。二．选择：（每空3分，共15分）1.与单位向量组e1=(1,0,….,0),e2=(0,1,…..,0),en=(0,…..0,1)等价的n维向量组()(a)必线性无关,(b)必含n个向量,(c)若由n个向量组成,则必线性无关(d)若也由n个向量组成,则必线性相关2.设A为n阶可逆矩阵，则下述说法不正确的是（）(a)(b)(c)r(A)=n(d)A的行向量组线性相关3.设矩阵A=(aij)，AX=0仅有零解的充要条件是（）(a)A的行向量组线性无关321,,332211,,,,,4321432143214321A,01A0nm(b)A的行向量组线性相关(c)A的列向量组线性无关(d)A的列向量组线性相关4.A,B,C为n阶方阵，则下列各式正确的是（）(a)AB=BA(b)AB=0,则A=0或B=0（c）（A+B）（A-B）=A2-B2(d)BC且C可逆,则A=B5.的充要条件是（）。（a）k（b）k（c）k（d）k三．计算：1．设是3P的线性变换，(,,)(2,4,3)abcbcaba，,,abcP，123(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)是3P的一组基，求在基123,,下的矩阵，又3123,P求()(15分)2．设二次型222123123121323,,222222fxxxxxxxxxxxx，（1）写出二次型所确定的矩阵；（2）用正交线性替换将二次型化为标准形；（3）求二次型的秩；（4）判断二次型的正定性．（30分）1221kk0133,1k且3,1k或四．证明：1.已知向量组线性无关，而向量组线性相关，证明：向量一定可由向量组线性表示.,,,,,,,2.向量组线性无关，证明,,也线性无关。（5分1设R为实数域，R+为正实数集合，构造一个R到R+的双射。1．已知143021001A,则|2|A________2．把复数域C看成复数域上的向量空间，其维数是________3．设3阶方阵A的特征根分别为1,2,－3，则1A________;TrA4．设方阵A满足方程OIaAA22，且已知A的一个特征根为2，则常数a________5.3R的两个线性变换,为123122311231(,,)(,,),(,,)(,0,0),xxxxxxxxxxxx并且3(1,0,1)R，则()()6.若A,B为正定矩阵,则ABBAAA,*,,1中一定是正定矩阵的有7.设},,{321是欧氏空间3R的规范正交基,则向量3212和322的夹角为8.设4R中向量1=(1,3,5,-1),2=(2,-1,-3,4),)7,,1,5(3t线性相关,则t=_________9.若3000200011ATT,则TAAT)2(3110.已知实对称矩阵A与300001010B合同,则二次型AxxfT的典范形式为二、选择题（3分*5=15分）1.设ABcCBAij，，203410112120212321，则23c()(A)－2;(B)6;(C)2;(D)－3.3,2,11213212.设BA、均为n阶可逆矩阵，下列结论中正确的是().(A)BABA;(B)BAAB;(C)BAAB;(D)111BABA.3.下列说法中错误的是：()(A)设BA,皆为n阶方阵，若B可逆，则AB与BA相似(B)若()RAr，则A有r个列向量线性无关，任意r+1（若有）个列向量线性相关(C)若,(),,LV，则(D)若dimFVn，则任意n个线性无关的向量可作为FV的基4.是向量空间3R上的线性变换，关于V的基},,{321的矩阵为212130001,则关于基},,{213的矩阵是（）（A）