第三节 机械能守恒定律及其应用

第三节机械能守恒定律及其应用一、重力势能1．定义：物体的重力势能等于它所受①与所处②的乘积。2．表达式：Ep＝③。3．矢标性：重力势能是④量，但有正负，其意义表示物体的重力势能比它在⑤大还是小。4．重力势能的特点(1)系统性：重力势能是⑥和⑦所共有的。(2)相对性：重力势能的大小与参考平面的选取⑧，但重力势能的变化与参考平面的选取⑨。重力高度mgh标参考平面物体地球有关无关5．重力做功与重力势能变化的关系重力做正功时，重力势能⑩；重力做负功时，重力势能⑪；重力做多少正(负)功，重力势能就⑫(增加)多少，即WG＝－ΔEP。减小增加减小1.如右图所示，质量为m的小球，从离桌面H高处由静止下落，桌面离地高度为h。若以桌面为参考平面，那么小球落地时的重力势能及整个过程中重力势能的变化分别是()A．mgh减少mg(H－h)B．mgh增加mg(H＋h)C．－mgh增加mg(H－h)D．－mgh减少mg(H＋h)【解析】以桌面为参考平面，落地时物体的重力势能为－mgh。末状态的重力势能为－mgh，初状态的重力势能为mgH，重力势能的变化即为－mgh－mgH＝－mg(H＋h)，重力势能减少了mg(H＋h)。【答案】D二、弹性势能1．定义：发生⑬的物体的各部分之间，由于有弹力的相互作用，也具有势能，这种势能叫做弹性势能。2．大小：弹性势能的大小与形变量及劲度系数有关，弹簧的形变量⑭，劲度系数⑮，弹簧的弹性势能越大。3．弹力做功与弹性势能变化的关系弹力做正功，弹性势能⑯；弹力做负功，弹性势能⑰。即弹簧恢复原长过程中弹力做⑱，弹性势能⑲；形变量增大的过程中弹力做⑳，弹性势能。弹性形变越大越大减小增加正功减小负功增加○211．内容：在只有做功的物体系统内，动能和势能可以互相，而总的机械能保持。2．机械能守恒的条件：只有或做功。3．守恒表达式：○22重力或弹力○23转化不变○24○25重力弹力○26观点表达式守恒观点E1＝E2，Ek1＋EP1＝○27转化观点ΔEk＝○28转移观点ΔEA＝○29Ek2＋EP2－ΔEP－ΔEB三、机械能守恒定律2．如图所示，细绳跨过定滑轮悬挂两物体M和m，且M＞m，不计摩擦，系统由静止开始运动过程中()A．M、m各自的机械能分别守恒B．M减少的机械能等于m增加的机械能C．M减少的重力势能等于m增加的重力势能D．M和m组成的系统机械能守恒【解析】M下落过程，绳的拉力对M做负功，M的机械能不守恒，减少；m上升过程，绳的拉力对m做正功，m的机械能增加，A错误。对M、m组成的系统，机械能守恒，易得B、D正确；M减少的重力势能并没有全部用于m重力势能的增加，还有一部分转变成M、m的动能，所以C错误。【答案】BD机械能守恒条件的理解及守恒判断方法1．对守恒条件的理解(1)物体只受重力，只发生动能和重力势能的相互转化。如自由落体运动、抛体运动等。(2)只有弹力做功，只发生动能和弹性势能的相互转化。如在光滑水平面上运动的物体碰到一个弹簧，和弹簧相互作用的过程中，对物体和弹簧组成的系统来说，机械能守恒。(3)物体既受重力，又受弹力，但只有重力和弹力做功，只发生动能、弹性势能、重力势能的相互转化。如自由下落的物体落到竖直的弹簧上，和弹簧相互作用的过程中，对物体和弹簧组成的系统来说，机械能守恒。(4)除受重力(或弹力)外，还受其他力，但其他力不做功，或其他力做功的代数和为零。如物体在沿斜面的拉力F的作用下沿斜面向下运动，其拉力的大小与摩擦力的大小相等，在此运动过程中，其机械能守恒。2．判断方法(1)利用机械能的定义判断(直接判断)：若物体动能、势能均不变，机械能不变。若一个物体动能不变，重力势能变化，或重力势能不变，动能变化或动能和重力势能同时增加(减小)，其机械能一定变化。(2)用做功判断：若物体或系统只有重力(或弹簧的弹力)做功，虽受其他力，但其他力不做功，机械能守恒。(3)用能量转化来判断：若物体系统中只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式的能的转化，则物体系统机械能守恒。如右图所示，质量均为m的A、B两个小球，用长为2L的轻质杆相连接，在竖直平面内绕固定轴O沿顺时针方向自由转动(转轴在杆的中点)，不计一切摩擦，某时刻A、B球恰好在如图所示的位置，A、B球的线速度大小均为v，下列说法正确的是()A．运动过程中B球机械能守恒B．运动过程中B球速度大小不变C．B球在运动到最高点之前，单位时间内机械能的变化量保持不变D．B球在运动到最高点之前，单位时间内机械能的变化量不断变化【解析】以A、B球组成的系统为研究对象，两球在运动过程中，只有重力做功(轻杆对两球做功的和为零)，两球的机械能守恒。以过O点的水平面为重力势能的参考平面时，系统的总机械能为E＝2×12mv2＝mv2。假设A球下降h，则B球上升h，此时两球的速度大小是v′，由机械能守恒定律知mv2＝12mv′2×2＋mgh－mgh，得到v′＝v，故运动过程中B球速度大小不变。当单独分析B球时，B球在运动到最高点之前，动能保持不变，重力势能在不断增加。由几何知识可得单位时间内B球上升的高度不同，因此机械能的变化量是不断改变的。B、D正确。【解题切点】轻杆对小球的弹力不一定沿杆，因此，在小球转动过程中，杆的弹力对小球做功，将引起小球机械能的变化。【答案】BD1.如图所示，一轻绳的一端系在固定粗糙斜面上的O点，另一端系一小球。给小球一足够大的初速度，使小球在斜面上做圆周运动，在此过程中()A．小球的机械能守恒B．重力对小球不做功C．绳的张力对小球不做功D．在任何一段时间内，小球克服摩擦力所做的功总是等于小球动能的减少【解析】斜面粗糙，小球受到摩擦力作用，摩擦力对小球做负功，机械能有损失，则A错误；重力对小球做功，B错误；绳的张力始终与小球运动方向垂直，不做功，C正确；小球动能的减少应等于克服摩擦力和重力所做的功的总和，所以D错误。【答案】C1．三种守恒表达式的比较机械能守恒定律的表达式及应用表达角度表达公式表达意义注意事项守恒观点Ek＋EP＝Ek′＋EP′系统的初状态机械能的总和与末状态机械能的总和相等应用时应选好重力势能的零势能面，且初、末状态必须用同一零势能面计算势能转化观点ΔEk＝－ΔEP表示系统(或物体)机械能守恒时，系统减少(或增加)的重力势能等于系统增加(或减少)的动能应用时关键在于分清重力势能的增加量和减少量，可不选零势能面而直接计算初、末状态的势能差转移观点ΔE增＝ΔE减表示若系统由A、B两部分组成，则A部分物体机械能的增加量与B部分物体机械能的减少量相等常用于解决两个或多个物体系的机械能守恒问题2.应用机械能守恒定律解题的基本步骤(1)分析题意，明确研究对象；(2)分析研究对象在运动过程中的受力情况，弄清物体所受各力做功的情况，判断机械能是否守恒；(3)选取零势能面，确定研究对象在始末状态时的机械能；(4)根据机械能守恒定律列出方程进行求解，并对结果进行必要的讨论和说明。如图所示，ABDO是处于竖直平面内的光滑轨道，AB是半径为R＝15m的1/4圆周轨道，半径OA处于水平位置，BDO是直径为15m的半圆轨道，D为BDO轨道的中央。一个小球P从A点的正上方距水平半径OA高H处自由落下，沿竖直平面内的轨道通过D点时对轨道的压力等于其重力的143倍。取g＝10m/s2。(1)H的大小等于多少？(2)试讨论此球能否到达BDO轨道的O点，并说明理由。【解题切点】小球先做自由落体运动，然后沿着两个半径不同的圆弧轨道运动。全过程满足机械能守恒。【解析】(1)小球从H高处落下，进入轨道，沿ABDO轨道运动，小球受重力和轨道的支持力。设小球通过D点的速度为v，通过D点时轨道对小球的支持力F(大小等于小球对轨道的压力)是它做圆周运动的向心力，即mv2R/2＝F＝143mg①小球从P点落下直到沿光滑轨道运动的过程中，机械能守恒，有mg(H＋R2)＝12mv2②由①②式可得高度H＝23R＝10m。【答案】(1)10m(2)能理由见解析【发散思维】对于复杂的过程一定要分解为几个相互联系的简单过程分析，注意研究对象和研究过程的选择，注意几个简单过程的相互联系。对于系统的机械能守恒则要抓住系统这个研究对象的初、末状态的机械能。(2)设小球能够沿竖直半圆轨道运动到O点的最小速度为vc，有mv2cR/2＝mg③小球至少应从距OA高Hc处落下，mgHc＝12mv2c④由③④式可得：Hc＝R4由HHc，小球可以通过O点。2．如图所示，倾角为θ的光滑斜面上放有两个质量均为m的小球A和B，两球之间用一根长为L的轻杆相连，下面的小球B离斜面底端的高度为h。两球从静止开始下滑，不计球与地面碰撞时的机械能损失，且地面光滑，求：(1)两球都进入光滑水平面时两小球运动的速度大小；(2)此过程中杆对B球所做的功。【解析】(1)由于不计摩擦力及碰撞时的机械能损失，因此两球组成的系统机械能守恒。两球在光滑水平面上运动时的速度大小相等，设为v，根据机械能守恒定律有：mgh＋mg(h＋Lsinθ)＝2×12mv2，解得：v＝2gh＋gLsinθ(2)根据动能定理，对B球有W＝12mv2－mgh＝12mgLsinθ。【答案】(1)2gh＋gLsinθ(2)12mgLsinθ1．下列关于机械能是否守恒的叙述正确的是()A．做匀速直线运动的物体机械能一定守恒B．做匀变速直线运动的物体的机械能可能守恒C．合外力对物体做功为零时，机械能一定守恒D．只有重力对物体做功，物体机械能一定守恒【解析】A中做匀速直线运动的物体，除了重力做功外，还可能有其他力做功，所以机械能不一定守恒，不正确。B中做匀变速直线运动的物体，可能只受重力或只有重力做功(如自由落体运动)，物体机械能守恒，正确。C中合外力对物体做功为零时，说明物体的动能不变，但势能有可能变化，如降落伞匀速下降，机械能减少，不正确。D中符合机械能守恒的条件，正确。【答案】BD2．如图所示，桌面高为h，质量为m的小球从离桌面高H处自由落下，不计空气阻力，假设地面处的重力势能为零，则小球落到地面前瞬间的机械能为()A．mghB．mgHC．mg(H＋h)D．mg(H－h)【解析】整个过程的机械能守恒，在最高点的机械能是mg(H＋h)，与小球落地前瞬间的机械能相等，故选C。【答案】C3.如图所示，斜面体置于光滑水平地面上，其光滑斜面上有一物体由静止下滑，在物体下滑过程中，下列说法正确的是()A．物体的重力势能减少，动能增加B．斜面体的机械能不变C．斜面对物体的作用力垂直于接触面，不对物体做功D．物体和斜面体组成的系统机械能守恒【解析】物体下滑过程中，由于物体与斜面体相互间有垂直于斜面的作用力，使斜面体加速运动，斜面体的动能增加；物体沿斜面下滑时，既沿斜面向下运动，又随斜面体向右运动，其合速度方向与弹力方向不垂直，且夹角大于90°，所以物体克服相互作用力做功，物体的机械能减少，但动能增加，重力势能减少，故A项正确，B、C项错误。对物体与斜面体组成的系统，只有动能和重力势能之间的转化，故系统机械能守恒，D项正确。【解析】AD4．(2011·大连模拟)如图所示，在高1.5m的光滑平台上有一个质量为2kg的小球被一细线拴在墙上，球与墙之间有一根被压缩的轻质弹簧。当烧断细线时，小球被弹出，小球落地时的速度方向与水平方向成60°角，则弹簧被压缩时具有的弹性势能为(g＝10m/s2)()A．10JB．15JC．20JD．25J【解析】由h＝12gt2和vy＝gt得：vy＝30m/s，落地时，由tan60°＝vyv0可得：v0＝vytan60°＝10m/s，由机械能守恒得：Ep＝12mv20，解得：Ep＝10J，故A正确。【解析】A5.(2011·东城模拟)跳台滑雪是勇敢者的运动，它是利用山势特别建造的跳台。运动员穿着专用滑雪板，不带雪杖在助滑路上获得高速后水平飞出，在空中飞行一段距离后着陆，这项运动极为壮观。设一位运动员由山坡顶的A点沿水平方向飞出，到山坡上的B点着陆，如图所示。已知运动员水平飞出的速度v0＝20m/s，山坡倾角为θ＝37