45恒定电流场

静电场孤立导体处于静电平衡状态。导体中不可能存在自由电荷的体分布，电荷只能位于导体表面上，整个导体是一等位体。与恒定电源相连的一块导体，因两极间存在一定的电位差，使导体中形成恒定电流场，使自由电子维持连续不断的定向运动，从而形成恒定电流。为了维持这种恒定电流，导体中的电场也必须是恒定的，这种电场称为恒定电场。恒定电场和静电场一样与时间无关，但它是由外加电压导致的，而且可存在于导体中，而静电场是由静止电荷产生的，不可能存在于导体中。本章从电流角度讨论导电媒质中恒定电流场的方程及边界条件。均匀导电媒质中的恒定电流场是无旋场，因此它与静电场很类似，常常可以直接利用静电场的结果求解均匀导电媒质中的恒定电流场4-1电流电流、传导电流与运流电流。传导电流是导体中的自由电子（或空穴）或者是电解液中的离子运动形成的电流。运流电流是电子、离子或其它带电粒子在真空或气体中运动形成的电流。一、基本概念各向同性导电媒质：导电特性不因电场方向而改变的媒质线性导电媒质：σ不随和的量值而改变的媒质EJ均匀导电媒质：若媒质中σ处处为常数（不随空间坐标变化），即为均匀导电媒质电流强度：单位时间内穿过某一截面的电量，又简称为电流，以I表示。电流的单位为A（安培）。因此，电流I与电荷q的关系为tqIdddIJdS电流密度：是一个矢量，以表示。电流密度的方向为正电荷的运动方向，其大小为单位时间内垂直穿过导体单位面积的电荷量。J因此，穿过任一有向面元的电流dI与电流密度的关系为JdS二、电流密度与电场强度的关系JE那么，穿过任一截面S的电流I为dSIJS此式表明，穿过某一截面的电流等于穿过该截面电流密度的通量。JE式中称为电导率，其单位为S/m。值愈大表明导电能力愈强，即使在微弱的电场作用下，也可形成很强的电流。上式又称为欧姆定律的微分形式。IRU实验表明，多数导电媒质中某点的传导电流密度与该点的电场强度成正比，即JE电导率为无限大的导体称为理想导体。显然，在理想导电体中，无需电场推动即可形成电流。由上式可见，在理想导电体中是不可能存在恒定电场的，否则，将会产生无限大的电流，从而产生无限大的能量。但是，任何能量总是有限的。电导率为零的媒质，不具有导电能力，这种媒质称为理想介质。71017.671080.531071010.451071054.3111071057.112107101510媒质电导率(S/m)媒质电导率(S/m)银海水4紫铜淡水金干土铝变压器油黄铜玻璃铁橡胶Jv式中为电荷密度。运流电流的电流密度并不与电场强度成正比，而且电流密度的方向与电场强度的方向也可能不同。可以证明运流电流的电流密度与运动速度的关系为Jv三、运流电流的电流密度与电荷密度ρ和运动速度的关系Jv在电流区域一观察点附近，取一体元，其中运动正电荷密度为ρ，运动速度为，取、和的方向一致，在时间dt内穿出的运动正电荷量为dVdSdldSdlvdSvdldSdqdVdSdldSdl由于dqdSdldIdldtdtJvdSdSdSdtJvJv又因和方向相同，所以有与介质的极化特性一样，媒质的导电性能也表现出均匀与非均匀，线性与非线性以及各向同性与各向异性等特点，因而，此式仅适用于各向同性的线性导电媒质。4-2电动势如图所示，首先将外接的导电媒质移去，讨论开路情况下外源内部的作用过程。在外源中非静电力作用下，正电荷不断地移向正极板P，负电荷不断地移向负极板N。极板上的电荷在外源中形成电场E，其方向由正极板指向负极板，而且随着极板上电荷的增加不断增强。E导电媒质PNE外源显然，由极板上电荷产生的电场力阻止正电荷继续向正极板移动，同时也阻止负电荷继续向负极板移动，一直到极板电荷产生的电场力等于外源中的非电力时，外源的电荷运动方才停止，极板上的电荷也就保持恒定。一、电动势既然外源中的非静电力表现为对于电荷的作用力，因此，通常认为这种非静电力是由外源中存在的外电场产生的，其电场强度仍然定义为对于单位正电荷的作用力，以E'表示。由于外电场使正电荷移向正极板，负电荷移向负极板，因此，外电场的方向由负极板指向正极板。可见，在外源中外电场E'的方向与极板电荷形成的电场E的方向恰好相反。当外源中的外电场与极板电荷的电场等值反向时，外源中合成电场为零，电荷运动停止。若外源的极板之间接上导电媒质，正极板上的正电荷通过导电媒质移向负极板；负极板上的负电荷通过导电媒质移向正极板。因而导致极板上电荷减少，使得外源中由极板电荷形成的电场E小于外电场，外电场又使外源中的正负电荷再次移动，外源不断地向正极板补充新的正电荷，向负极板补充新的负电荷。由上可见，极板上的电荷通过导电媒质不断流失，外源又不断地向极板补充新电荷，从而维持了连续不断的电流。因此，为了在导电媒质中产生连续不断的电流，必须依靠外源。当达到动态平衡时，极板上的电荷分布保持不变。这样，极板电荷在外源中以及在导电媒质中产生恒定电场，且在外源内部保持，在包括外源及导电媒质的整个回路中维持恒定的电流。'EE注意，极板上的电荷分布虽然不变，但是极板上的电荷并不是静止的。它们是在不断地更替中保持分布特性不变，因此，这种电荷称为驻立电荷。驻立电荷是在外源作用下形成的，一旦外源消失，驻立电荷也将随之逐渐消失。外电场由负极板N到正极板P的线积分称为外源的电动势，以e表示，即'dPNeEl达到动态平衡时，在外源内部，所以上式又可写为'EEPNeEdl考虑到导电媒质中，，那么，上式可写成JE0lJdl驻立电荷产生的恒定电场与静止电荷产生的静电场一样，也是一种保守场。因此，它沿任一闭合回路的线积分应为零，即0lEdl二、均匀导电媒质中恒定电流场的电流对于均匀导电媒质，上式变为0lJdl根据斯托克斯定理，求得上两式的微分形式如下：0J0J可见，均匀导电媒质中，恒定电流场是无旋的。4-3恒定电流场设闭合面S包围的体积V中驻立电荷的体密度为，则VVqdddSVqJSVtt那么，已知恒定电流场中的电荷分布与时间无关，即，由此得0td0SJS此式表明，在恒定电流场中，电流密度通过任一闭合面的通量为零。如果以一系列的曲线描述电流场，令曲线上各点的切线方向表示该点电流密度的方向，这些曲线称为电流线。那么，电流线是连续闭合的。它和电场线不同，电流线没有起点和终点，这一结论称为电流连续性原理。电流连续性原理根据高斯定理，求得Jt上式为电荷守恒原理的微分形式。因此，对于恒定电流场，得0J此式表明，恒定电流场是无散的。已知导电媒质中的传导电流，代入上式，得JE()0EEE即EE对于介电常数为的均匀各向同性导电媒质E式中为驻立电荷的体密度。恒定电流场的无散性于是有E此式说明，当导电媒质的电导率不均匀时，存在驻立电荷的体分布。在电导率均匀的导电媒质中电导率的梯度为零，驻立电荷的体密度为零，这说明，均匀导电媒质中的驻立电荷只能分布在导电媒质的表面上。tJ由，和可推得JEE0t于是可求得00ttee其中常数为弛豫时间，它决定了电荷体密度衰减的快慢。良导体的弛豫时间一般非常短暂，如铜的弛豫时间大约为1.52×10-19s。良好的绝缘介质，其弛豫时间则有可能长达几小时或几天。弛豫时间也可以代表导体达到静电平衡过程所需的时间。4-4恒定电流场的边界条件由积分形式的恒定电流场方程导出边界两侧电流密度的切向分量关系为：2t21t1JJ而边界两侧电流密度的法向分量关系为2n1nJJ2121()0()0nEEnJJ即121122121212nnnnttttJJEEJJEE因此恒定电流场的边界条件为在恒定电流场中有JE0J对应的微分形式为即0E已知恒定电流场方程的积分形式为0lJdl0SJdS或0lEdl和由此可见，在恒定电流场中不同导电媒质分界面两侧的电场强度切向分量连续，但其法向分量不连续；而电流密度的法向分量连续，但其切向分量不连续。已知理想导电体内部不可能存在电场，那么，理想导电体表面不可能存在切向电场，因而也不可能存在切向恒定电流。当电流由理想导电体流出进入一般导电媒质时，电流线总是垂直于理想导电体表面。21nn2211应用边界条件，可得分界面处的折射定理2121tantan在恒定电场中，分界面处用电位表示的边界条件为讨论：1)两种导电媒质在，如聚乙烯的电导率为10-10数量级，由当一种导电媒质为不良导体，另一种导电媒质为良导体，若电电导率，如同轴线的内外导体通常由电导率很高(107数量级)的铜或铝制成，填充在两导体间的材料不可能是理想的绝缘电介质,总有很小的漏电导存212(0)101722711tan1010tan101721tan10tan得当σ1σ2，第一种媒质为良导体，第二种媒质为不良导体时，只要θ1≠π/2,θ2≈0，即在不良导体中，电力线近似地与界面垂直，这时可将良导体的表面近似地看作等位面。2）理想介质与良导体2222/0/00nnnEJE由于2120nnJJJ1110ntJJJ所以有22222ntEEE因此，E2不垂直导体表面,导体表面不是等位面,导体也不是等位体,这是由于σ1有限,导体中沿电流方向存在电场。而在静电场中,导体内电场强度为零,介质中的场强总是垂直导体表面,导体是等位体,其表面是等位面。在这一点,恒定电场与静电场有根本的区别。易知，在均匀导体内电流沿平行于导体表面流动。3)载恒定电流的均匀导电媒质内部无（体）电荷存在0()00JJEDJDDD即，载恒定电流的均匀导电媒质内部无（体）电荷存在，电荷分布在载流导体的表面。4）有电流流过两种导电媒质分界面时界面的电荷当恒定电流通过电导率不同的两导电媒质时,其电流密度和电场强度要发生突变。故分界面上必有电荷分布。1211111122222221212121nnnnnnnnnSnnnnJJJJEDJEDDDJJ分界面上的面电荷密度2121SnJ当时，分界面上的面电荷密度为零。1122可见,在两种导电媒质分界面上一般有一层自由电荷分布。如果导电媒质不均匀,在媒质中还会有体电荷的存在。作业：4-4、4-11