第三章：一次方程与方程组复习课

第3章一次方程与方程组复习课一、一元一次方程1、定义及其应用2、方程的解及其应用3、解方程4、一元一次方程组的实际应用一、一元一次方程1、定义：只含有一个未知数（元），未知数的次数是1，且等式两边都是整式的方程叫做一元一次方程。例如8215.4x2、等式的基本性质（1）性质1如果a=b，那么a+c=b+c，a-c=b-c。cbca（2）性质2如果a=b，那么ac=bc，（c≠0）（3）如果a=b，那么b=a。（对称性）（4）如果a=b，b=c，那么a=c。（传递性）3、解一元一次方程的一般步骤变形名称注意事项去分母去括号移项合并同类项(ax=b)方程两边同除以未知数的系数a防止漏乘（尤其整数项），注意添括号；注意变号，防止漏乘；移项要变号，防止漏项；计算要仔细，不要出差错；计算要仔细，不要出差错；312121xx例如：判断下列方程是否为一元一次方程？为什么？（1）（5）（3）012x03x22xx067yx0122xx1232y（4）（2）（6）否否否否是是大家判断一下，下列方程的变形是否正确？为什么？;2,021yy得由.32,23xx得由;47,47xx得由;35,53xx得由（1）（2）（3）（4）（×）（×）（×）（×）详解：学习了一元一次方程知识后，可以解决很多问题。有些问题表面上看似乎与一元一次方程无关，其实均需要构造一元一次方程求解.就本小专题而言，主要从两方面入手，介绍“构造一元一次方程解题”（1）利用一元一次方程的定义构造.（2）利用一元一次方程的解的定义构造.解：根据一元一次方程的定义，得3a-5=1。解得a=2答：当a=2时，已知的等式是关于x的一元一次方程.（1）利用一元一次方程的定义构造。一元一次方程？的x于是关012x为何值时，a当53a评析：一元一次方程的定义要求只含有一个未知数，并且未知数的次数为1，故有3a-5=1，从而求得a值.（2）利用一元一次方程解的定义构造。多少？的值1-2a则的一个解，02ax23的方程x是关关2已知2是评析：利用方程解的定义知x=2满足所给的方程，代入方程后得到一个关于a的方程，解这个方程求得a的值，从而求出2a-1的值.解：根据方程的解的定义，得×22-2a=0。解得a=3所以，当a=3时，2a-1=2×3-1=5321.当k为何值时,关于x的方程的解为1?kxkx21132分析:解为1是什么意思?即x=1解:把x=1代入方程得:kk2111312kk132去分母得:kk332移项得:323kk52k25k变式训练1讲要：要熟练求方程的解，必须掌握如去分母、去括号等步骤，这是解方程的基础，同时还要注意以下几点：（1）移项要变号；（2）去括号时，括号前是“-”，去括号后要将括号内的各项改变符号；（3）去分母时没有分母的项也要乘以分母的最小公倍数；去分母时不要忘记对分子加括号；（4）避免将利用分数的基本性质与等式的基本性质相混淆.解：去括号，得15x-15+6=20x+10合并同类项，得-5x=19评析：（1）第一步利用分数的基本性质把分子、分母同时扩大5倍，注意不要把“1”扩大5倍；（2）去分母时，“1”不要漏乘分母的最小公倍数6；（3）去分母时，要把(x-1)和(2x+1)看作一个整体参与运算，避免出现运算错误.解方程6.01214.01xx原方程可化为3)12(512)1(5xx去分母，得15(x-1)+6=10(2x+1)移项，得15x-20x=15-6+10系数化1，得x=-519典例分析31.若关于的方程是x03)2(1mxm一元一次方程，求这个方程的解.解：根据题意可知，11m∴2m即2m又∵02m∴2m∴2m当m=－2时，原方程为034x解得，43x独立作业中考链接11.已知关于x的方程3x-2m=4的解是x=m，则m的值是．2.已知5是关于x的方程3x-2a=7的解，则a的值为．44二、二元一次方程组1、定义及其应用2、方程的解及其应用3、解方程4、二元一次方程组的实际应用1.二元一次方程:通过化简后,只有两个未知数,并且所含未知数的项的次数都是1,系数都不是0的整式方程,叫做二元一次方程.2.二元一次方程的解:使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值,叫做二元一次方程的解.3.二元一次方程组:由两个一次方程组成,共有两个未知数的方程组,叫做二元一次方程组.（一）、有关概念4.二元一次方程组的解:二元一次方程组中各个方程的公共解,叫做二元一次方程组的解.5.方程组的解法根据方程未知数的系数特征确定用哪一种解法.基本思想或思路——消元常用方法————代入法和加减法用代入法解二元一次方程组的步骤：(1).求表达式：从方程组中选一个系数比较简单的方程，将此方程中的一个未知数，如y，用含x的代数式表示;(2).把这个含x的代数式代入另一个方程中，消去y，得到一个关于x的一元一次方程；(3).解一元一次方程，求出x的值;(4).再把求出的x的值代入变形后的方程，求出y的值.一、用代入法解二元一次方程组例1解方程组：说明：要判断结果是否正确，应像解一元一次方程那样进行检验，检验时，注意要把未知数的值代入方程组中的每一个方程，能使每一个方程都成立的一对数才是方程组的解。)2(1574)1(304yxyx用加减法解二元一次方程组的步骤：(1).利用等式性质把一个或两个方程的两边都乘以适当的数，变换两个方程的某一个未知数的系数，使其绝对值相等；(2).把变换系数后的两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得一元一次方程；(3).解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；(4).把所求的这个未知的值代入方程组中较为简便的一个方程，求出另一个未知数，从而得到方程的解.二、用加减法解二元一次方程组例2解方程组：4216134102xyxy()()下列是二元一次方程组的是（）+y=3x12x+y=0(A)3x-1=02y=5(B)x+y=73y+z=4(c)5x-y=-23y+x=4(D)2B考点一：什么是二元一次方程？已知方程3x-5y=4是二元一次方程，则m+n=m+n-7m-n-1m–n-1=1m+n-7=1m=5n=38已知方程3x-5y=4是二元一次方程，则m+n=m+n-7m-n-11.下列方程是二元一次方程的是____A.xy+8=0B.C.D.2351YX10622xx735yx2已知方程5221nmmyxyx、是关于（）（）一次方程，则nm的二元考点二：解的定义1、已知是方程3x-3y=m和5x+y=n的公共解，则m2-3n=.3,2yx2462.已知x＝２，y＝１是方程kx-y＝３的解，则k＝（）2考点三：二元一次方程的解法解二元一次方程组的基本思想是什么？二元一次方程一元一次方程消元转化消元的方法有哪些？代入消元法、加减消元法1.代入消元法（1）有一个方程是：“用一个未知数的式子表示另一个未知数”的形式.（2）方程组中某一未知数的系数是1或-1.y=2x-32x+4y=9①②3x-y=-8x+4y=5①②2.加减消元法（1）方程组中同一未知数的系数相等或相反数.（2）方程组中同一未知数的系数是变成相同或相反数.3x-y=-8x+y=5①②3x-2y=-83x+y=5①②3x-2y=-82x+3y=5①②1.解二元一次方程组的基本思路是2.用加减法解方程组{由①与②————直接消去——3.用加减法解方程组{由①与②——，可直接消去———2x-5y=7①2x+3y=2②4x+5y=28①6x-5y=12②消元相减x相加y4、方程2x+3y=8的解（）A、只有一个B、只有两个C、只有三个D、有无数个5、下列属于二元一次方程组的是（）A、B0153yxyx0153yxyxC、x+y=5Dx2+y2=11221xyxyDA6、甲、乙两位同学一同解方程组,甲正确解出方程组的解为,而乙因为看错了，得解为试求的值..23,2ycxbyax.1,1yxc.6,2yxcba,,5、一次方程应用题解题步骤1）审题：弄清题意和题中数量关系，用字母（如x、y）表示问题里的未知数；2）分析题意找出相等关系（可借助于示意图、表格等）3）根据相等关系，列出需要的代数式，并列出方程（组）；4）解这个方程（组），求出未知数的值；5）检查所得的值是否正确和符合实际情形，并写出答案（包括单位名称）应用题的问题常见类型：①等体积变形问题②行程③打折问题④利率问题⑤工程问题⑥调配问题⑦利润问题⑧比例问题详解：列方程解实际问题，若未知数设得巧妙，则求解简捷.常用的设未知数的方法有两种，（1）直接设未知数：题目问什么就设什么；（2）间接设未知数：选取一个与问题有关的量设为未知数，再通过这个未知数求出题中要求的量.1、一桶油连桶重量为8千克，油用去一半后，连桶重量为4.5千克，桶内原来有油多少千克？解：设桶内原来有油x千克8215.4x根据题意，得解得x=7答：桶内原来有油7千克.评析：直接设未知数法，即题目里问什么就设什么.这样设后，只要求出所列方程的解，就可以直接求得题目的所问.在大多数情况下的应用题都可以直接设未知数.典例分析42.一个三位数，三个数位上数字的和是17，百位上的数字比十位上的数字大7，个位上的数字是十位上的数字的3倍.求这个三位数.解：设十位上的数字为x，则百位上的数字为(x+7)个位上的数字为3x.根据题意，得x+7+x+3x=17解得x=2.则百位上的数字为x+7=9，个位上的数字为3x=6，故所求的三位数为926.答：这个三位数为926.评析：若直接设这个三位数为x，则很难找到相等关系，因此采用间接设未知数法.有些问题直接设未知数，不易列出方程，这时可以用间接设未知数的办法，即通过间接的桥梁作用，来达到求解的目的，按比例分配和、差、倍、分问题，整数的组成问题等均可采用间接设未知数法.1、元旦某公园的成人的门票每张8元，儿童门票半价（即每张4元），全天共售出门票3000张，收入15600元。问这天售出儿童门票多少张？解：设售出儿童门票x张根据题意，得：15600300084xx解方程，得：x=2100答：共售出儿童票2100张2、某公司存入银行甲、乙两种不同性质的存款共20万元。甲种存款的年利率为1.4%，乙种存款的年利率为3.7%，该公司一年共得利息6250元，求甲、乙两种存款各多少元？解：设甲种存款为x万元。则乙种存款为（20-x)万元根据题意得：6250732041%.xx%.解方程得：x=5所以20–x=15答：甲种存款为5万元，乙种存款为15万元3、某部队开展支农活动，甲队27人，乙队19人，现另调26人去支援，使甲队是乙队的2倍，问应调往甲队、乙队各多少人？解：设调往甲队x人，则调往乙队（26-x)人根据题意，得方程：xx2619227解方程得：x=21答：调往甲队21人。调往乙队5人。一.行程问题:1.相遇问题:甲的路程+乙的路程=总的路程(环形跑道):甲的路程+乙的路程=一圈长2.追及问题:快者的路程-慢者的路程=原来相距路程(环形跑道):快者的路程-慢者的路程=一圈长3.顺逆问题:顺速=静速+水(风)速逆速=静速-水(风)速例1.A、B两地相距36千米.甲从A地出发步行到B地,乙从B地出发步行到A地.两人同时出发,4小时相遇,6小时后,甲所余路程为乙所余路程的2倍,求两人的速度.解:设甲、乙的速度分别为x千米/小时和y千米/小时.依题意可得:)24(2243644yxxyyx解得54yx答:甲、乙的速度分别为4千米/小时和5千米/小时.例2、某体育场的环行跑道长400米，甲、乙分别以一定的速度练习长跑和自行车，如果反向而行，那么他们