第2章 单元和插值函数的构造

CHONGQINGUNIVERSITYCHONGQINGUNIVERSITY工程力学系第2章单元和插值函数的构造主讲教师：严波CHONGQINGUNIVERSITY工程力学系2.1引言1单元类型和形状一维单元：直线曲线直线单元（杆、梁单元）曲线单元（索单元）杆单元、梁单元、索单元空间梁单元空间杆单元CHONGQINGUNIVERSITY工程力学系二维单元：三角形矩形四边形平面应力（应变）单元平板单元壳单元壳单元平板单元平面应力单元CHONGQINGUNIVERSITY工程力学系轴对称单元：绕对称轴旋转形成环状单元环状单元二维单元离散CHONGQINGUNIVERSITY工程力学系三维单元：四面体六面体四面体单元六面体单元三维实体单元CHONGQINGUNIVERSITY工程力学系2插值函数一次单元：线性单元，只有角结点。二次单元：在角结点间的边界上配置一个边内结点。CHONGQINGUNIVERSITY工程力学系三次单元：边界上配置二个内结点。3特殊单元弹簧单元、阻尼单元、间隙单元、界面单元、刚体单元、集中质量单元等。模拟裂纹的奇异单元CHONGQINGUNIVERSITY工程力学系2.2一维单元1Lagrange单元x1x2xnxyf(x)用一较简单的函数Ф(x)代替f(x)，使()(),(1,2,,)iiixfxyin称Φ(x)为插值函数。若Φ(x)为多项式，称为多项式插值。1)插值函数已知函数f(x)在[a,b]上一系列点上的值()(1,2,,)iiyfxin可由Φ(x)确定[a,b]上其它点的函数值。CHONGQINGUNIVERSITY工程力学系例子：2点插值xkxk+1xyf(x)11111111()()()()kkkkkkkkkkkkkkkkkkyyyxyxxxxxxxxyyxxxxlxylxyφ(x)xkxk+1xy1()klxxkxk+1xy11()klx111111()()1kkkkkkkkkkkkxxxxxxxxlxlxxxxxxx11()()()()kkkkNxlxNxlx11()()kkkkuNxuNxu线性组合CHONGQINGUNIVERSITY工程力学系2)Lagrange插值公式(1)12111,1211()()()()()()()()()()()()()njniinijjiiiiiiiinijxxxxxxxxxxxxlxxxxxxxxxxxxxiniiyxlx1)()(设函数f(x)在[a,b]上一系列互不相同的点12(,,)nxxx上的值12(,,)nyyy构造一个（n-1）次的多项式)(xli具有形状函数Ni(x)的性质，可以作为有限单元的插值函数。jijixlji01)(讨论：1()()()niiifxxlxy1)(1niixl()1letfxCHONGQINGUNIVERSITY工程力学系3)Lagrange单元iiixlxn21)1()()(,2121)1(2212)1(1)(,)(xxxxxlxxxxxl21211212)(xxxxxxxxx一次单元x1xnl作变换：lxxxxxxn11110,)()()(,1)1(nijjjijnil可得：自然坐标ξx1xnlξ(1)1,()njnijjiijxxlxxx11111111()()()()jjjjjiijijijxxxxxxxxxxllxxxxxxxxxxll11CHONGQINGUNIVERSITY工程力学系例子：(1)(1)21121221()1,()ll12()(1)一次单元x1x2l11211221212,0,1xxxxnxxxxξx1x321313,()2nxxxx231112112331313110,,12xxxxxxxxxxxx(2)(2)23131212132123(2)1233132()()()()12()(1),4(1)()()2()()()()12()()()2lll二次单元CHONGQINGUNIVERSITY工程力学系2Hermite单元若场方程的最高阶导数为m，要求场函数及其m-1阶导数在结点上均连续。如梁、板、壳结点的挠度和转角均要连续，转角即为挠度的一阶导数关系。2121)1(21)0()dd()()()(iiiiiiiiiQNξHHijijiiijjijjξHHξHHd)(d0)(0d)(d)()1()1()0()0(2121)dd()dd(ξξQCHONGQINGUNIVERSITY工程力学系1三角形单元ijmPAiAmAj(1,0,0)(0,1,0)(0,0,1)Li=0Lj=0Lm=01）面积坐标),,(mjiAALii特点：①在本点为1，其它点为0②③与三角形的具体形状及其在总体坐标系中的位置无关。1AAAALiii自然坐标2）与直角坐标间的转换关系)(2111121ycxbayxyxyxAiiimmjjimmjjiiyxyxyxA11121iiiiiiNycxbaAAAL)(212.3二维单元CHONGQINGUNIVERSITY工程力学系可以证明：mmjjiimmjjiivNvNvNvuNuNuNummjjiimmjjiimmjjiimmjjiiyNyNyNyLyLyLyxNxNxNxLxLxLx结论：三角形域内点的坐标和位移可以通过相同的插值函数分别由结点的坐标和位移得到。等参变换3）面积坐标的微分运算),,(21,21mjicAyLbAxLiiii)(21mmjjiimmjjiiLcLcLcAyLLyLLyLLy)(21mmjjiimmjjiiLbLbLbAxLLxLLxLLxCHONGQINGUNIVERSITY工程力学系4）面积坐标表示的插值函数一次单元插值函数的构造式njiiiijijiLLLfLLLfN1321)(321)(),,(),,(通过除结点i以外所有结点的直线方程的左端项直线方程在结点i的取值3(0,0,1)1(1,0,0)2(0,1,0)L3=0L1=0L2=04(1/2,1/2,0)5(0,1/2,1/2)6(1/2,0,1/2)L1-1/2=0L3-1/2=0L2-1/2=0iiLN二次单元)12(12112111111LLLLN3163252143332224,4,4)12()12(LLNLLNLLNLLNLLN三次单元略。CHONGQINGUNIVERSITY工程力学系2Lagrange矩形单元(0,0)(r,0)(0,p)(r,p)ηξrIjjjIjrIl,1)1()()()(pJjjjJjrJl,1)1()()()()()()()(pJrIIJillNN缺点：随着插值函数方次的增高而增加内结点，从而增加自由度，且不能提高计算精度。应用不多。CHONGQINGUNIVERSITY工程力学系3Serendipity单元ηξ1(-1,-1)2(1,-1)3(1,1)4(-1,1)ξ-1=0ξ+1=0η-1=0η+1=01）四结点双一次单元njiiijijiffN1)()(),(),()1)(1(41)1)(1(411111111N同理：)1)(1(41),1)(1(41),1)(1(41432NNNiiiN0000,)1)(1(41统一形式：2）变结点单元5(0,-1))1)(1(2110110111125N52251121ˆ,21ˆNNNNNN02121)5(21)5(ˆ)5(101)1(21)1(ˆ)1(511511NNNNNN可以构造变结点的过渡单元。CHONGQINGUNIVERSITY工程力学系1四面体单元利用体积坐标：1234一次单元：4结点二次单元：10结点5678910(,,),1iiiVLijmLV2.4三维单元iiLN角结点：(21)(1,2,3,4)iiiNLLi棱内结点：5126137148239341024444444NLLNLLNLLNLLNLLNLLCHONGQINGUNIVERSITY工程力学系2Serendipity六面体单元一次单元：8结点二次单元：20结点ηξζ12345678913121114101516171819200000001(1)(1)(1)8,,iiiiN角结点：0000001(1)(1)(1)(2)8iN典型的棱内结点(0,1,1)iii2001(1)(1)(1)4iNCHONGQINGUNIVERSITY工程力学系2.5阶谱单元1自适应分析：p方案：网格不变，提高单元的阶次后重分析。h方案：单元阶次不变，细化网格后重分析。对于p方案，希望提高单元阶次后仍可使用已计算的低阶单元的单元结果。阶谱单元可以解决这一问题。CHONGQINGUNIVERSITY工程力学系12lξ2一维阶谱单元Lagrange单元iniiN1)()11(),1(21),1(21,221NNn在单元内增加结点33233223111,21ˆ,21ˆNNNNNNN)2(ˆˆ21332211NNN代入插值表达式)1(21ˆ),1(21ˆ21NN原线性单元的插值函数31pppaH2,,,)(,ˆ)(,ˆ)(21332211332211aaaNHNHNH原线性单元的插值函数原线性单元的结点参数不再是结点3的函数值CHONGQINGUNIVERSITY工程力学系3讨论：H1和H2在结点3不再等于01321HHHH1,H2,H3不再具有标准C0型单元插值函数所具有的性质，称为阶谱函数。线性单元的刚度矩阵)2(22)2(21)2(12)2(11)2(KKKKK三次阶谱单元的刚度矩阵)3(33)3(32)3(31)3(23)2(22)2(21)3(13)2(12)2(11)3(KKKKKKKKKK形成高阶单元的刚度矩阵时，低阶单元的刚度矩阵可以保持不变地被利用。CHONGQINGUNIVERSITY工程力学系2.6小结一维单元：Lagrange单元，Hermite单元三角形单元和四面体单元：广义Lagrange插值函数法（划线法）四边形单元和六面体单元：变结点单元构造法（Serendipity单元）阶谱单元注意：本章所讨论的单元都是建立在自然坐标内的规范化的单元。