4.1.3幂函数举例(职高)

4.1实数指数幂4.1.3幂函数(1)如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克,那么她需要支付P=______w元(2)如果正方形的边长为a,那么正方形的面积S=____(3)如果立方体的边长为a,那么立方体的体积V=____(5)如果某人ts内骑车行进1km,那么他骑车的平均速度v=______________是____的函数a²a³V是a的函数t⁻¹km/sv是t的函数(4)如果一个正方形场地的面积为S,那么正方形的边长_________12Sa是S的函数以上问题中的函数具有什么共同特征?Pway=xy=x2y=x3y=x12y=x-1ayx____是____的函数Saayxaayx一般地，函数叫做，其中x为自变量，为常数。1.幂函数的解析式必须是y=ｘＫ的形式，其特征可归纳为“两个系数为１，只有１项”．2.定义域与k的值有关系.解析式，底数为自变量x，指数为常数α，α∈R；注意练习1、下列函数中，哪几个函数是幂函数？（1）y=（2）y=2x2（3）y=2x（4）y=1(5)y=x2+2(6)y=-x321x答案:(1)(4)下面研究幂函数.ayx在同一平面直角坐标系内作出这六个幂函数的图象.结合图象，研究性质：定义域、值域、单调性、奇偶性、过定点的情况等。y=x0研究y=x2yx3yx12yx1yxx…-3-2-10123……-3-2-10123……9410149……-27-8-101827……\\\01……-1/3-1/2-1\11/21/3…2yx3yx12yx1yxy=x2yx2yx3yx12yx1yx3y=x04321-1-2-3-4-6-4-2246(-1,-1)(1,1)4321-1-2-3-4-6-4-2246y=x(-1,-1)(1,1)x-3-2-10123y=x294101494321-1-2-3-4-6-4-2246y=x(-2,4)(2,4)(-1,1)(-1,-1)(1,1)4321-1-2-3-4-6-4-2246y=x2y=x(-2,4)(2,4)(-1,1)(-1,-1)(1,1)x-3-2-10123y=x3-27-8-1018274321-1-2-3-4-6-4-2246y=x3y=x2y=x(-2,4)(2,4)(-1,1)(-1,-1)(1,1)x012401212yx24321-1-2-3-4-6-4-2246y=x3y=x2y=x(4,2)(-2,4)(2,4)(-1,1)(-1,-1)(1,1)4321-1-2-3-4-6-4-2246y=x12y=x3y=x2y=x(4,2)(-2,4)(2,4)(-1,1)(-1,-1)(1,1)x-3-2-1123-1/3-1/2-111/21/31yx4321-1-2-3-4-6-4-2246y=x-1y=x12y=x3y=x2y=x(4,2)(-2,4)(2,4)(-1,1)(-1,-1)(1,1)4321-1-2-3-4-6-4-2246y=x-1y=x12y=x3y=x2y=x(4,2)(-2,4)(2,4)(-1,1)(-1,-1)(1,1)y=x04321-1-2-3-4-6-4-2246y=x-1y=x12y=x3y=x2y=x(4,2)(-2,4)(2,4)(-1,1)(-1,-1)(1,1)y=x0在第一象限内,函数图象的变化趋势与指数有什么关系?在第一象限内，当k0时，图象随x增大而上升。当k0时，图象随x增大而下降不管指数是多少,图象都经过哪个定点?4321-1-2-3-4-6-4-2246y=x-1y=x12y=x3y=x2y=x(4,2)(-2,4)(2,4)(-1,1)(-1,-1)(1,1)在第一象限内，当k0时，图象随x增大而上升。当k0时，图象随x增大而下降。图象都经过点（1，1）y=x0K0时,图象还都过点(0,0)点y=xy=x2y=x3y=xy=x-1定义域值域奇偶性单调性公共点奇偶奇非奇非偶奇(1,1)RRR{x|x≠0}［0,+∞）RR{y|y≠0}［0,+∞）［0,+∞）在R上增在（-∞，0)上减，观察幂函数图象，将你发现的结论写在下表:12在R上增在(0，+∞）上增，在（-∞，0)上减,在(0，+∞）上增，在(0，+∞)上减幂函数的性质１.所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且函数图象都通过点(1,1);幂函数的定义域、奇偶性、单调性，因函数式中k的不同而各异.３.如果k0,则幂函数的图象过点(1,1),并在(0,+∞)上为减函数;K0２.如果k0,则幂函数的图象过点(0,0),(1,1)并在(0,+∞)上为增函数;k10k1(1)奇偶性:∵定义域不关于原点对称,∴为非奇非偶函数.(2)单调性：在（０，+∞）上是减函数例1.研究幂函数的定义域、奇偶性和单调性，并作出图象解:它的定义域是（０，+∞）321-1-2-3y-4-224xox1/41/21234y21.410.70.60.5321-1-2-3y-4-224x(4,0.5)(3,0.6)(2,0.7)(1,1)(12,1.4)(14,2)o321-1-2-3y-4-224x(4,0.5)(3,0.6)(2,0.7)(1,1)(12,1.4)(14,2)o探究与发现例2：讨论函数的定义域、奇偶性,作出它的图象，并根据图象说明函数的单调性、及值域。23yx定义域:(－∞,+∞)奇偶性:偶函数-10-5510108642-2(8.4)(4,2.5)(1,1)ox012468y011.62.53.34-10-5510108642-2ox-10-5510108642-2(8.4)(4,2.5)(1,1)ox012468y011.62.53.34-10-5510108642-2(8.4)(4,2.5)(1,1)oxyx012468y011.62.53.34-10-5510108642-2(8.4)(4,2.5)(1,1)oxy-10-5510108642-2(8.4)(4,2.5)(1,1)ox012468y011.62.53.34-10-5510108642-2(8.4)(4,2.5)(1,1)oxy探究与发现例2：讨论函数的定义域，作出它的图象，并根据图象说明函数的单调性、奇偶性及值域。23yx(-,0]在上是增函数定义域：[0,),)（在上是减函数值域：奇偶性：偶函数单调性：[0,)练习：如果函数是幂函数，且在区间（0，+∞）内是减函数，求满足条件的实数m的集合。32221mmxmmxf)()(解:依题意,得112mm解方程,得m=2或m=-1检验:当m=2时,函数为3)(xxf符合题意.当m=-1时,函数为1)(0xxf不合题意,舍去.所以m=2幂函数定义六个特殊幂函数图象基本性质本节知识结构:课堂小结：XyXy第一象限k0时k0时双曲线型０＜ｋ＜１开口向右抛物线型OOk0画出函数在第一象限的图象后,再根据函数的奇偶性,画出函数在其他象限还有的图象K=0,直线型ｋ＞１开口向上型抛物线K=1熟记六个特殊幂函数的图像和性质