状态反馈与状态观测器

第5章状态反馈与状态观测器5.1引言5.2状态反馈与输出反馈5.3反馈控制对能控性与能观测性的影响5.4闭环系统极点配置5.5状态观测器5.6采用状态观测器的状态反馈系统5.7解耦控制5.8MATLAB在闭环极点配置及状态观测器设计中的应用5.9线性控制系统理论的工程应用举例5.1引言对一个性能不好甚至不稳定的被控系统，如何设计系统的状态反馈控制律，使闭环系统稳定且具有优良的动态响应。状态反馈状态观测器设计图5-1多输入多输出系统的状态反馈结构DuCxBuAxxy5．2状态反馈与输出反馈Fxvu（5-3）将式（5-3）代入式（5-1）,可得采用状态反馈构成的闭环系统状态空间表达式为DvxDFCBvxBFAx)()(y（5-4）D=0DuCxBuAxxy5-1CxBvxBFAxy)()(FCB,BF,ACxBvxBFAxy)(（5-5）式（5-5）可简记为，其对应的传递函数矩阵为)(FCB,BF,ABBFAICW1))(()(ssF（5-6）5.2.2输出反馈Hyvu（5-7）式中，v为r维参考输入列向量；y为m维输出列向量；H为维输出反馈实数增益矩阵。mr若D=0，CxBvxBHCAxy)(（5-8）式（5-8）可简记为，其对应的传递函数矩阵为)(HCB,BHC,ABBHCAICW1))(()(ssH（5-9）HyvuDuCxBuAxxy在被控系统D=0时，比较两种基本反馈控制律（只要取的状态反馈即可达到与线性非动态输出反馈H相同的控制效果。HCF5.3反馈控制对能控性与能观测性的影响定理5-1状态反馈不改变被控系统的能控性，但不一定能保持系统的能观性。)(oCB,A,定理5-2输出反馈不改变被控系统的能控性与能观性。)(oCB,A,证明5.2节已说明，输出反馈H可等效为的状态反馈，又由定理5-1知，状态反馈不改变被控系统的能控性，故输出反馈不改变被控系统的能控性。HCF可从系统能观性的PBH秩判据出发证明输出反馈不改变被控系统的能观性。显然，对复数域C上的所有s,下式成立，即)(oCB,A,CBHCAII0BHICAIn)(ssm（5-14）5.4闭环系统极点配置证明先证必要性。由定理5-1知，若不能控，则其不能控极点及其对应的不能控模态不能通过状态反馈改变。证毕。)(oCB,A,再证充分性。以下充分性证明过程实际上给出了单输入单输出系统设计反馈增益矩阵的规范算法。(1)若被控系统状态完全能控，且设其特征多项式和传递函数分别为)(oCB,A,CxBuAxxynnnnasasasssf111odet)(AI（5-16）nnnnnnnnasasasbsbsbsbssG111122111o)()(BAIC（5-17）可通过如下变换（设为能控标准型变换矩阵）cTxTxc（5-18）将化为能控标准型，即)(oCB,A,__o)(C,B,AxCuBxAxy（5-19）式中，121c1c121c1c1000,100001000010bbbbaaaannnnnCTCBTBATTA（5-20）(2)针对能控标准型引入状态反馈__o)(C,B,AxFvu（5-21）式中，，可求得对的闭环系统的状态空间表达式仍为能控标准型，即nffff321Fx__F)(C,B,FBAxCBxFBAxyv)(（5-22）式中，)()()()(100001000010132211nnnnfafafafaFBA（5-23）则闭环系统的特征多项式和传递函数分别为__F)(C,B,FBA)()()()(det)(12111FfasfasfassspnnnnnFBAI（5-24）)()()()]([)(12111122111FfasfasfasbsbsbsbssGnnnnnnnnnBFBAIC（5-25）式（5-24）、（5-25）表明，的n阶特征多项式的n个系数可通过__F)(C,B,FBAnffff,,,,321即的特征值可任选。)(FBA独立设置，)(det)(det)(FBFAIFBAIsssf故若被控系统能控，则其状态反馈系统极点可任意配置。)(oCB,A,又(3)事实上，由给定的期望闭环极点组，可写出期望闭环特征多项式),,2,1(niinnnnniiasasasssp1111)()(（5-26）令式（5-24）与式（5-26）相等，可解出能控标准型使闭环极点配置到期望极点的状态反馈增益矩阵为__o)(C,B,A111121aaaaaafffnnnnnF（5-27）(4)将式（5-18）代入式（5-21）得xFxTFxFvvvu1c（5-28）则原被控系统即对应于状态x引入状态反馈使闭环极点配置到期望极点的状态反馈增益矩阵为)(oCB,A,1cTFF（5-29）2.采用状态反馈配置闭环极点的方法方法一规范算法对状态完全能控的单输入单输出被控系统,可采用以上状态反馈任意配置极点充分条件证明过程所给出的规范算法确定实现闭环极点配置目标的反馈增益矩阵F，即在根据式（5-16）、（5-26）分别确定开环系统特征多项式和期望闭环特征多项式系数的基础上，先用式（5-27）求出能控标准型对应的下的状态反馈增益矩阵；然后再根据式（5-29）将变换为原状态x下的状态反馈增益阵F，即)(oCB,A,)(oCB,A,__o)(C,B,AxFF11111cnnnnaaaaaaTF(5-30)式中,为按式（5-18）将化为能控标准型的变换矩阵的逆矩阵，即1cT)(oCB,A,__o)(C,B,AcTc1cc1c;;CTCBTBATTA111111111aaanncBAABBT（5-31）方法二解联立方程设状态反馈增益阵，则闭环系统的特征多项式为nfff21F)(FCB,BF,AnnnnnFsssfffspssp11121F),,,,()(det)(BFAI（5-34）而由给定的期望闭环极点组，可确定如式（5-26）所示的期望闭环特征多项式。为将闭环极点配置在期望位置，应令式（5-34）与式（5-26）相等，即令，由两个n阶特征多项式对应项系数相等，可得n个关于的联立代数方程，若能控，解联立方程可求出唯一解。),,2,1(nii)()(spspFnfff21)(oCB,A,nfff21【例5-2】被控系统的状态空间表达式为试设计状态反馈增益矩阵F，使闭环系统极点配置为和，并画出状态变量图。)(oCB,A,xxx11101031yuj1j1解(1)nQc21130rank)(rankrankABB所以被控系统状态完全能控，可通过状态反馈任意配置闭环系统极点。(2)确定闭环系统期望特征多项式闭环系统期望极点为，对应的期望闭环特征多项式为j1*2,122)1)(1())(()(221ssjsjssssp则，，22a21a(3)求满足期望极点配置要求的状态反馈增益矩阵21ffF方法一规范算法被控系统的特征多项式为)(oCB,A,11031)det()(2ossssspAI则，12a01a根据式（5-27），能控标准型对应的下的状态反馈增益阵为__o)(C,B,AxF2302)1(2112221aaaaffF按式（5-18）将化为能控标准型的变换矩阵为)(oCB,A,__o)(C,B,AcT1103011011300111acABBT则131031110311cT根据式（5-29），原状态x下的状态反馈增益阵F应为235131031231c21TFFff方法二解联立方程对被控系统，引入状态反馈后的闭环系统特征多项式为)(oCB,A,21ffF)(FCB,BF,A13131)](det[)(212221ffsfsfsfssspFBFAI令，即，比较等式两边同次幂项系数得如下联立方程)()(spspF221322122ssffsfs2132212fff解之得，3/51f22f(4)据被控系统状态空间表达式和所设计的状态反馈增益矩阵F，可画出状态反馈后的闭环系统状态变量图如图5-3所示。图5-3例5-2图3.采用状态反馈进行部分极点配置若被控系统状态不完全能控,采用状态反馈只能将其能控子系统的极点配置到期望位置,而不可能移动其不能控子系统的极点。换言之,对状态不完全能控的n阶系统而言,若期望配置的n个极点中包含了其全部的不能控极点,那么这一组闭环极点是可以采用状态反馈进行配置的(这时实质上只是配置了被控系统的能控极点);否则,就不能采用状态反馈配置n个极点。)(oCB,A,)(oCB,A,5.4.2采用线性非动态输出反馈至参考输入配置闭环系统极点定理5-4完全能控的系统不能靠引入式（5-7）所示的线性非动态输出反馈控制来任意配置闭环系统的极点。对定理5-4以单输入单输出系统为例加以说明。这时,输出反馈矩阵为反馈放大系数(标量)H,由经典控制理论的根轨迹法,改变反馈放大系数H时的闭环极点变化的轨迹是起于开环极点,终于开环零点或无限远点的一组根轨迹,即闭环极点不能配置在复平面的任意位置。定理5-5对完全能控的单输入单输出系统,通过带动态补偿器的输出反馈实现极点任意配置的充要条件为:)(oCB,A,(1)完全能观;(2)动态补偿器的阶数为n-1。)(oCB,A,5.4.3镇定问题若被控系统通过状态反馈(或输出反馈)能使其闭环极点均具有负实部,即闭环系统渐近稳定,则称系统是状态反馈(或输出反馈)可镇定的。)(oCB,A,定理5-6线性定常系统采用状态反馈可镇定的充要条件是其不能控子系统为渐近稳定。)(oCB,A,定理5-7线性定常系统采用输出反馈可镇定的充要条件是结构分解中的能控且能观子系统是输出可镇定的;而能控不能观、能观不能控、不能控且不能观的三个子系统均为渐近稳定。)(oCB,A,)(oCB,A,【例5-3】被控系统的状态空间表达式为)(oCB,A,xxx01100010yu试设计状态反馈增益矩阵F，使闭环系统得到镇定。该被控系统采用输出反馈可否镇定?解为能控标准型,显然能控,故可采用状态反馈使闭环系统镇定。若设期望极点为)(oCB,A,,,则对应的期望闭环特征多项式为1*1λ2*2λ23)2)(1())(()(221ssssλsλssp由规范算法可确定满足期望极点配置要求的状态反馈增益矩阵,对应的闭环系统状态变量图如图5-4(a)所示。但若采用线性非动态输出反馈,则闭环系统的特征多项式为3221ffF)(oCB,A,)(HCB,B