【数学】《高考》：第九章 解析几何 第一节直线和圆

第九章解析几何第一节直线和圆第一部分六年高考荟萃2013年高考题一、选择题1．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD版含答案））已知点(1,0),(1,0),(0,1)ABC,直线(0)yaxba将△ABC分割为面积相等的两部分,则b的取值范围是（）A．(0,1)B．21(1,)22(C)21(1,]23D．11[,)32答案：B由题意可得，三角形ABC的面积为=1，由于直线y=ax+b（a＞0）与x轴的交点为M（﹣，0），由﹣≤0，可得点M在射线OA上．设直线和BC的交点为N，则由可得点N的坐标为（，）．①若点M和点A重合，则点N为线段BC的中点，则﹣=﹣1，且=，解得a=b=．②若点M在点O和点A之间，则点N在点B和点C之间，由题意可得三角形NMB的面积等于，即=，即=，解得a=＞0，故有b＜．③若点M在点A的左侧，则﹣＜﹣1，b＜a，设直线y=ax+b和AC的交点为P，则由求得点P的坐标为（，），此时，NP====•．此时，点C（0，1）到直线y=ax+b的距离等于．由题意可得，三角形CPN的面积等于，即•••=．化简可得2（1﹣b）2=|a2﹣1|．由于此时0＜b＜a＜1，所以2（1﹣b）2=|a2﹣1|=1﹣a2．两边开方可得（1﹣b）=＜1，所以1﹣b＜，化简可得b＞1﹣．综合以上可得，b=可以，且b＜，且b＞1﹣，即b的取值范围是，故选B2．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））过点(3,1)作圆22(1)1xy的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB的方程为（）A．230xyB．230xyC．430xyD．430xy答案：A由图象可知，(1,1)A是一个切点，所以代入选项知，,BD不成立，排除。又AB直线的斜率为负，所以排除C，选A.3．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD版））已知点30,0,0,,,.ABC,OAbBaa若为直角三角形则必有（）A．3baB．31baaC．3310babaaD．3310babaa答案：C若A为直角，则根据A、B纵坐标相等，所以30ba；若B为直角，则利用1OBABKK得310baa，所以选C4．（2013年高考江西卷（理））过点(2,0)引直线与曲线21yx相交于A,B两点,O为坐标原点,当AOB的面积取最大值时,直线的斜率等于（）A．33B．33C．33D．3答案：B本题考查直线与圆的位置关系以及三角形的面积公式。由21yx得，221,(0)xyy设直线方程为2xmy，0m代入221,(0)xyy整理得22(1)2210mymy，设2211(,),(,)AxyBxy,则121222221,11myyyymm。则三角形AOB的面积为121212222yyyy。因为2212121222224()4()11myyyyyymm22222222212122221212212111mmmmmmmm，当且仅当22211mm，即212m，3m时取等号。此时直线方程为32xy，即3633yx，所以直线的斜率为33，选B.5．（2013年高考江西卷（理））如图,半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在两平行线,12,ll之间//1l,与半圆相交于F,G两点,与三角形ABC两边相交于E,D两点,设弧FG的长为(0)xx,yEBBCCD,若从1l平行移动到2l,则函数()yfx的图像大致是答案：D本题考查函数图象的识别和判断。设与1l的距离为，根据题意易知tx12cos，即2cos1xt。又,332tCDBE332BC。所以332)2cos1(334332334xtBCCDEBy2cos33432x，所以易得函数图像为D。6．（2013年高考湖南卷（理））在等腰三角形ABC中,=4ABAC，点P是边AB上异于,AB的一点,光线从点P出发,经,BCCA发射后又回到原点P(如图).若光线QR经过ABC的中心,则AP等（）A．2B．C．83D．43答案：D本题考查直线的斜率以及向量的基本应用。以A为原点AB为x轴建立直角坐标系，取三角形ABC的重心M，其关于y轴的对称点为,'M关于BC的对称点为N，则)34,34('),34,34(MM，)38,38(N，设)0,(aP，则,3838,3434'akakNPPM又PQNPPQPMkkkk1,'，所以,38383434aa解得34a。7．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））已知圆221:231Cxy,圆222:349Cxy,,MN分别是圆12,CC上的动点,P为x轴上的动点,则PMPN的最小值为（）A．524B．171C．622D．17答案：A【命题立意】本题考查圆与圆的位置关系以及距离公式。两圆的圆心和半径分别为12(2,3),(3,4)CC，121,3rr。两圆相离。221:231Cxy关于x的对称圆的方程为223:231Cxy，圆心3(2,3)C，所以13PCPC，所以动点P到圆心32(2,3),(3,4)CC的距离之和的最小值为2223(23)(34)5052CC，所以PMPN的最小值为2313524CC，选A.二、解答题8．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD版含附加题））本小题满分14分.如图,在平面直角坐标系xOy中,点)3,0(A,直线42:xyl,设圆C的半径为,圆心在上.(1)若圆心C也在直线1xy上,过点A作圆C的切线,求切线的方程;(2)若圆C上存在点M,使MOMA2,求圆心C的横坐标a的取值范围.解:(1)由142xyxy得圆心C为(3,2),∵圆C的半径为∴圆C的方程为:1)2()3(22yx显然切线的斜率一定存在,设所求圆C的切线方程为3kxy,即03ykx∴113232kk∴1132kk∴0)34(2kk∴0k或者43kxyAlO∴所求圆C的切线方程为:3y或者343xy即3y或者01243yx(2)解:∵圆C的圆心在在直线42:xyl上,所以,设圆心C为(a,2a-4)则圆C的方程为:1)42()(22ayax又∵MOMA2∴设M为(x,y)则22222)3(yxyx整理得:4)1(22yx设为圆D∴点M应该既在圆C上又在圆D上即:圆C和圆D有交点∴12)1()42(1222aa由08852aa得Rx由01252aa得5120x终上所述,a的取值范围为:512,02012年高考题9．（2012天津理）设m,nR,若直线(1)+(1)2=0mxny与圆22(1)+(y1)=1x相切,则+mn的取值范围是（）A．[13,1+3]B．(,13][1+3,+)C．[222,2+22]D．(,222][2+22,+)【答案】D【命题意图】本试题主要考查了直线与圆的位置关系,点到直线的距离公式,重要不等式,一元二次不等式的解法,并借助于直线与圆相切的几何性质求解的能力.【解析】∵直线(1)+(1)2=0mxny与圆22(1)+(y1)=1x相切,∴圆心(1,1)到直线的距离为22|(1)+(1)2|==1(1)+(1)mndmn,所以21()2mnmnmn,设=tmn,则21+14tt,解得(,222][2+22,+)t.10．（2012浙江理）设aR,则“a=1”是“直线l1:ax+2y-1=0与直线l2:x+(a+1)y+4=0平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当a=1时,直线l1:x+2y-1=0与直线l2:x+2y+4=0显然平行;若直线l1与yxO3(,0)7E73(,1)7F619(0,)74F519(,0)73F42(1,)74F323(0,)74F25(,1)73F13(1,)7F直线l2平行,则有:211aa,解之得:a=1ora=﹣2.所以为充分不必要条件.11．（2012重庆理）对任意的实数k,直线y=kx+1与圆222yx的位置关系一定是（）A．相离B．相切C．相交但直线不过圆心D．相交且直线过圆心【答案】C【解析】圆心(0,0)C到直线10kxy的距离为211211drk,且圆心(0,0)C不在该直线上.法二:直线10kxy恒过定点(0,1),而该点在圆C内,且圆心不在该直线上,故选C.【考点定位】此题考查了直线与圆的位置关系,涉及的知识有:两点间接距离公式,点与圆的位置关系,以及恒过定点的直线方程.直线与圆的位置关系利用d与r的大小为判断.当0dr时,直线与圆相交,当dr时,直线与圆相切,当dr时,直线与圆相离.12．（2012陕西理）已知圆22:40Cxyx,过点(3,0)P的直线,则（）A．与C相交B．与C相切C．与C相离D．以上三个选项均有可能解析:22304330,所以点(3,0)P在圆C内部,故选A.13．（2012大纲理）正方形ABCD的边长为1,点E在边AB上,点F在边BC上,37AEBF,动点P从E出发沿直线向F运动,每当碰到正方形的边时反弹,反弹时反射角等于入射角.当点P第一次碰到E时,P与正方形的边碰撞的次数为（）A．16B．14C．12D．10答案B【命题意图】本试题主要考查了反射原理与三角形相似知识的运用.通过相似三角形,来确定反射后的点的落的位置,结合图像分析反射的次数即可.【解析】如图,易知3(,0)7E.记点F为1F,则13(1,)7F由反射角等于入射角知,44173,得25(,1)73F又由531734得323(0,)74F,依此类推,42(1,)74F、519(,0)73F、619(0,)74F、73(,1)7F.由对称性知,P点与正方形的边碰撞14次,可第一次回到E点.法二:结合已知中的点E,F的位置,进行作图,推理可知,在反射的过程中,直线是平行的,那么利用平行关系,作图,可以得到回到EA点时,需要碰撞14次即可.14．（2012年天津理）如图,已知AB和AC是圆的两条弦.过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D,FECDBA过点C作BD的平行线与圆相交于点E,与AB相交于点F,=3AF,=1FB,3=2EF,则线段CD的长为______________.【答案】43【命题意图】本试题主要考查了平面几何中直线与圆的位置关系,相交弦定理,切割线定理,相似三角形的概念、判定与性质.【解析】∵=3AF,=1FB,3=2EF,由相交弦定理得=AFFBEFFC,所以=2FC,又∵BD∥CE,∴=AFFCABBD,4==23ABBDFCAF=83,设=CDx,则=4ADx,再由切割线定理得2=BDCDAD,即284=()3xx,解得4=3x,故4=3CD.15．（2012浙江理）定义:曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离.已知曲线C1:y=x2+a到直线l:y=x的距离等于C2:x2+(y+4)2=2到直线l:y=x的距离,则实数a=______________.【答案】94【解析】C2:x2+(y+4)2=2,圆心(0,—4),圆心到直线l:y=x的距离为:0(4)222d,故曲线C2到直线l:y=x的距离为22ddrd.另一