【最新北师大版】数学八下易错题(含答案)

1八年级下册易错题第第一一章章三三角角形形的的证证明明1.已知等腰三角形的两边长分别为5㎝、2㎝，则该等腰三角形的周长是（D）A．7㎝B．9㎝C．12㎝或者9㎝D．12㎝考查知识点：三角形的基本知识及等腰三角形边的关系：任意两边之和大于第三边，等腰三角形两腰相等，因此只能是：5cm，5cm,2cm.2.一个等腰三角形的一个角是40°，则它的底角是（D）A．40°B．50°C．60°D．40°或70°考查知识点：三角形的内角和及等腰三角形两底角相等：①当40°是顶角时，底角就是70°；②40°就是一个底角.3.已知△ABC的三边长分别是6cm、8cm、10cm，则最长边上的高是（D）A.2.4cmB.3cmC.4cmD.4.8cm提示：设最长边上的高为h,由题意可得△ABC是直角三角形，利用面积相等求，即h.10.218.6.21解得h=4.84.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为300，腰长为6，则其底边上的高是3或33.解：①三角形是钝角三角形时，如图1，∵∠ABD=30°∴AD=21AB=21×6=3，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=21∠BAD=21(90°-30°)=30°，∴∠ABD=∠ABC，∴底边上的高AE=AD=3；②三角形是锐角三角形时，如图2，∵∠ABD=30°∴∠A=90°-30°=60°，∴△ABC是等边三角形，∴底边上的高为23×6=33综上所述，底边上的高是3或335.到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形（B）的交点.A.三个内角平分线B.三边垂直平分线C.三条中线D.三条高考查的知识点：三角形三边垂直平分线的交点到到三角形三个顶点的距离相等【归纳为：点到点距离相等，为垂直平分线上的点】还有一个：三角形三个内角平分线的交点到三角形三2边的距离相等【归纳为：点到线的距离相等，为角平分线的交点，此时的距离有“垂直”】6.如图，在△ABC中，AB=5，AC=3，BC的垂直平分线交AB于D，交BC于E，则△ADC的周长等于8考查的知识点：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等7.用反证法证明：一个三角形中至少有一个内角小于或等于60°.答案：已知：△ABC,求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°证明：假设△ABC中没有一个内角小于或等于60°，即每一内角都大于60°则∠A60°,∠B60°,∠C60°∴∠A+∠B+∠C60°+60°+60°=180°即∠A+∠B+∠C180°，这与三角形的内角和为180度矛盾．假设不成立．∴△ABC中至少有一个内角小于或等于60°考查知识：反证法，用反证法进行证明时先写出已知、求证，再假设求证的反面成立，推出与题设、定理等相矛盾的结论，从而肯定原结论成立【注意：反证法一般很少用到，除非是题目要求用反证法证明，否则一般不考虑该方法】8.如图所示，∠AOB=30°，OC平分∠AOB，P为OC上任意一点，PD∥OA交OB于点D，PE⊥OA于点E，若PE=2cm，则PD=_________cm．解：过点P作PF⊥OB于F，∵∠AOB=30°，OC平分∠AOB，∴∠AOC=∠BOC=15°，∵PD∥OA，∴∠DPO=∠AOP=15°，∴∠DPO=∠AOP=15°，∴∠BOC=∠DPO，∴PD=OD=4cm，∵∠AOB=30°，PD∥OA，∴∠BDP=30°，∴在Rt△PDF中，PF=21PD=2cm，∵OC为角平分线，PE⊥OA，PF⊥OB,∴PE=PF，∴PE=PF=2cm39.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN=9，则线段MN的长为（）A.6B.7C.8D.9解：∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E，∴∠MBE=∠EBC，∠ECN=∠ECB，∵MN∥BC，∴∠EBC=∠EBC，∠ECN=∠ECB，∴BM=ME，EN=CN，∴MN=BM+CN，∵BM+CN=9，∴MN=9考查知识点：平行+平分，必有等腰三角形10.如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为（B）A.11B.5.5C.7D.3.5解：作DM=DE交AC于M，作DN⊥AC，∵在△AED和△AMD中∴△AED≌△AMD∴ADMADESSVV∵DE=DG，DM=DE，∴DM=DG，∵AD是△ABC的外角平分线，DF⊥AB，4∴DF=DN，在Rt△DEF和Rt△DMN中，Rt△DEF≌Rt△DMN（HL），∵△ADG和△AED的面积分别为50和39，∴ADMADGMDGSSSVVV=50-39=11MDGDEFDNMSSSVVV21=21×11=5.5考查知识点：角平分线上的点到角两边的距离相等及三角形的全等11．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点C到AB的距离是（A）A.B.C.D.解：在Rt△ABC中，AC=9，BC=12，根据勾股定理得：AB=151292222BCAC过C作CD⊥AB，交AB于点D，则由ABCSV=21AC．BC=21AB．CD，得CD=ABBCAC.=1512x91=536考查知识：利用面积相等法12.如图，在△ABC中AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，已知EH=EB=3，AE=4，则CH的长是（A）A.1B.2C.3D.45解：∵AD⊥BC，∴∠EAH+∠B=90°，∵CE⊥AB，∴∠EAH+∠AHE=90°，∴∠B=∠AHE，∵EH=EB，在△AEH和△CEB中，∴△AEH≌△CEB（ASA）∴CE=AE，∵EH=EB=3，AE=4，∴CH=CE-EH=4-3=1考查知识：利用三角形全等求线段长度.13.如图，在△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF⊥AE于点F，AB=5,AC=2,则DF的长为23.解：延长CF交AB于点G，∵AE平分∠BAC，∴∠GAF=∠CAF，∵AF垂直CG，∴∠AFG=∠AFC，在△AFG和△AFC中，6∴△AFG≌△AFC（ASA）∴AC=AG，GF=CF，又∵点D是BC的中点，∴DF是△CBG的中位线，∴DF=21BG=21（AB-AG）=21（AB-AC）=23点评：本题考查了三角形的中位线定理，解答本题的关键是作出辅助线，一般出现既是角平分线又是高的情况，我们就需要寻找等腰三角形．14.如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，FE垂直平分AD，交AD于E，交BC的延长线于F.求证：∠CAF=∠B.解：∠B=∠CAF.∵FE垂直平分AD，∴FA=FD，∴∠FAD=∠ADF∵AD为∠BAC的平分线，∴∠CAD=∠BAD又∵∠CAF=∠FAD=∠CAD，∠B=∠ADF-∠BAD，∴∠B=∠CAF点评：此题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的定义及三角形的外角等知识点.15.如图，OA、OB表示两条相交的公路，点M、N是两个工厂，现在要在∠AOB内建立一个货物中转站P，使中转站到公路OA、OB的距离相等，并且到工厂M、N的距离也相等，用尺规作出货物中转站P的位置．解：①作∠AOB的角平分线；②连接MN，作MN的垂直平分线，交OM于一点，交点就是所求货物中转站的位置．716.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E．（1）求证：△ACD≌△AED；（2）若∠B=30°，CD=1，求BD的长．(1)证明：∵AD平分∠CAB∴∠CAD=∠EAD∵DE⊥AB，∠C=90°，∴∠ACD=∠AED=90°又∵AD=AD，∴△ACD≌△AED（2）解：∵△ACD≌△AED∴DE=CD=1∵∠B=30°，∠DEB=90°，∴BD=2DE=217.如图，△ABC中，AB=BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD=45°，AD与BE交于点F，连接CF．（1）求证：BF=2AE；（2）若CD=，求AD的长．（1）证明：∵AD⊥BC，∠BAD=45°∴∠ABD=∠45°=∠BAD∴AD=BD∵BE⊥AC∴∠CAD+∠AFE=90°∵AD⊥BC∴∠FBD=∠BFD=90°8又∠AFE=∠BFD∴∠CAD=∠FBD又∠ADC=∠BDF=90°∴△ADC≌△BDF∴AC=BF∵AB=BC，BE⊥AC∴AC=2AE∴BF=2AE(2)解：设AD=x，则BD=x∴AB=BC=2+x∵△ABD是等腰直角三角形∴AB=2AD∴2+x=2x解得x=2+2即AD=2+218.如图，已知△ABC是等边三角形，D、E分别在BA、BC的延长线上，且AD=BE.求证：DC=DE证明：延长BE至F，使EF=BC∵△ABC是等边三角形∴∠B=60°，AB=BC∴AB=BC=EF∵AD=BE，BD=AB+AD,BF=BE+EF∴BD=BF∴△BDF是等边三角形∴∠F=60°，BD=FD在△BCD和△FED中，BC=EF∠B=∠F=60°BD=FD∴△BCD≌△FED（SAS）9∴DC=DE19.如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D是AC上一点，AE⊥BD交BD的延长线于E，且AE=21BD，求证：BD是∠ABC的角平分线.证明：延长AE、BC交于点F∵AE⊥BE∴∠BEF=90°，又∠ACF=∠ACB=90°∴∠DBC+∠AFC=∠FAC+∠AFC=90°∴∠DBC=∠FAC在△ACF和△BCD中∴△ACF≌△BCD（ASA）∴AF=BD又AE=21BD∴AE=EF,即点E是AF的中点∴AB=BF∴BD是∠ABC的角平分线20.如图，在△ABC中，分别以AC、AB为边，向外作正△ACD，正△ABE，BD与AE相交于F，连接AF，求证：AF平分∠DME10证明：过点A分别作AM⊥BD,AN⊥CE,分别交BD，CE于M，N两点∵△ABE和△ACD均为等边三角形，∴∠EAB=∠CAD=60°，AD=AC，AB=AE∵∠EAC=∠BAD=60°+∠BAC，∴△EAC≌△BAD，∴AMBDSANCESBADEAC.21.21VVCE=BD∴AN=AM∴AF平分∠DME（在角的内部到角两边距离相等的点在该角的平分线上）21.如图，已知：AB=AC，∠A=90°，AF=BE,BD=DC.求证：FD⊥ED.证明：连接AD.∵∠A=90°AB=ACD是BC的中点∴AD⊥BC∠ADB=90°∠B=45°=∠CADAD=BD（直角三角形中，中线等于斜边的一半）且BE=AF∴易证△BED≌△AFD（SAS）∴∠BDE=∠ADF∵∠ADE+∠EDB=∠ADB=90°∴∠ADF+∠ADE=90°∴ED⊥FD11第二章不不等等式式((组组))不等式基本性质例：如果x＞y，那么下列各式中正确的是（C）A．x-2＜y-2B．2x＜2yC．-2x＜-2yD．-x＞-y1.系数含有字母的不等式（组）解题思路：先把字母系数当做已知数，解除未知数的取值范围，再根据题意及不等式的性质或解不等式组的方法进行计算【特别注意：“=”一定要考虑，如果满足题意则要取，不满足题意就不取】【自己做】（1）已知关于x的方程3k－5x＝－9的解是非负数，求k的取值范围.(2)已知关于x的不等式（1-a）x＞2的解集为x＜a12，则a的取值范围是a＞1.提示：利用不等式的基本性质三：a-1＜0（3）如果不等式组00bxax的解集是3x5,那么a=3,b=-5.提示：解得不等式组的解集为：ax-b而不等式组的解集为：3x5∴a=3,b=-5(4)如果不等式mxx8无解,那么m的取值范围是（B）A．m＞8B.m≥8C.m＜8D.m≤8提示：不等式组无解的条件是：比大的还大，比小的还小；∴m≥8【“=”一定要考虑，这个题取“=”就满足题意】(5)如果不等式组mxxx148的解集是3x，则m的取值范围是(A)．A．m≤3B．m≥3C．m=3D．m＜3提示：不等式组解集：同大取大；解不等式组得而该不等式组的解集是3x，∴m≤3【“=”一定要考虑，这个题取“=”就满足题意】(6)